Formula di Eulero

La formula di Eulero allargata

A prima vista sembra una cosa metafisica calata dall’alto, e ci si chiede dove sia il trucco di cotanta magia, al punto che se non potessimo scrivere e^{jy}=\cos y+j\sin y se ne verrebbe giù tutta l’analisi di Fourier e chissà quant’altro! E pensare che ai tempi di Eulero (solamente tre secoli fa) non solo non esistevano Internet e TV, ma neanche la luce elettrica. Ma forse, non potendo che lavorare a lume di candela, avevano tutto il tempo per far galoppare la fantasia, e rifare mille volte i conti…

Al giorno d’oggi siamo invece pieni di strumenti, di visualizzazione come di calcolo, da rendere estremamente facile passare dall’espressione matematica di una mappa conforme come \underline{w}=e^{\underline{z}}=e^{x+jy}=e^{x}\cdot e^{jy} ai grafici delle superfici di parte reale, immaginaria, modulo e fase del risultato \underline{w} al variare di \underline{z}={x+jy}, mostrati nella figura di intestazione (realizzata con Genius). Possiamo dunque constatare come e^{\underline{z}} sia effettivamente il prolungamento analitico di e^{x}, semplicemente notando l’andamento di \left|e^{\underline{z}}\right| per \underline{z}=x reale, che effettivamente coincide con quello dell’esponenziale reale.

Allo stesso tempo, osservando l’andamento delle parti reale ed immaginaria di e^{\underline{z}} constatiamo l’effettiva presenza delle oscillazioni tipiche di coseno (pari) e seno (dispari) al variare di y, con un fattore di amplificazione dato da e^{x}, che per x=0 hanno ampiezza unitaria, mentre il periodo… sembra proprio uguale a 2 \pi! Quanto a quella specie di fisarmonica in basso a destra… beh quello è il piano della fase, infatti \arg{\left(e^{\underline{z}}\right)}=\arctan2{\left(\frac{\Re{\left(e^{\underline{z}}\right)}}{\Im{\left(e^{\underline{z}}\right)}}\right)}=\arctan2\left(\frac{e^{x}\sin y}{e^{x}\cos y}\right)=\arctan\left(\tan\left(y\right)\right)=y indipendente da x, e che quando arriva a \pi wrappa e rientra da sotto a -\pi

A questo punto, mi lascio tentare dal chiedermi:

Cosa ha il numero di Nepero e di tanto speciale? Cosa accade se calcolo un esponenziale complesso utilizzando come base un numero diverso da e, ad esempio se calcolo \underline{w}=2^{x+jy}?

Per provare a capirci qualcosa, ricorro nuovamente alla grafica, e qui di lato possiamo ammirare l’andamento di \Re(2^{x+jy}) Ooooh! è molto simile all’esponenziale con base e! Però… notiamo subito che all’aumentare di x il fattore di amplificazione aumenta più lentamente. Mah, in definitiva era una cosa da attendersi, essendo 2^{x}<e^{x}.
Ma non è la sola differenza, in quanto ora il periodo di oscillazione lungo l’asse immaginario y appare più lento, e dunque il risultato per x=0 non è più un \cos y! Uhmmm mi sa che non resta che tornare ad affidarsi ai calcoli che finora abbiamo dribblato!

Una via per dimostrare la validità della formula di Eulero è quella di eguagliare lo sviluppo in serie di potenze dell’esponenziale con quello delle funzioni trigonometriche. Infatti mentre e^{z} contiene tutte le potenze, con tutti segni +, ovvero e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{z^5}{5!} + \frac{z^6}{6!} + \cdots lo sviluppo del coseno ha solo le potenze pari, e quello del seno solo le dispari, con segni alternati, ovvero \cos z = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \cdots \sin z = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots Dunque, ponendo z=jy immaginario puro, e tenendo conto che le potenze pari di j valgono \pm 1 mentre quelle dispari \pm j, si perviene alla famosa formula di Eulero.

A questo punto per sciogliere definitivamente il dubbio relativo a cosa abbia la costante e=2.71828.. di tanto speciale, ripeschiamo l’espressione della serie di potenze per una base a \neq e qualsiasi: a^z = 1 + z\ln a + \frac{(z\ln a)^2}{2!} + \frac{(z\ln a)^3}{3!} + \frac{(z\ln a)^4}{4!} + \frac{(z\ln a)^5}{5!} + \cdots che quando a=e restituisce la serie precedente, essendo \ln e=1, e che permette di scrivere a^{jy}=\cos (y\ln a)+j\sin (y\ln a) che conferma l’osservazione del grafico: essendo a=2<e, ne deriva che \ln a<1 e dunque le oscillazioni risultano rallentate, causando una periodicità lungo l’asse y pari a \frac{2\pi}{\ln a}

Dunque la risposta sembra essere che il numero di Nepero e=2.71828.. non ha nulla di speciale, tranne… l’essere la base del logaritmo naturale! Non so, mi sembra quasi troppo banale, sicuramente mi perdo qualcosa di essenziale ma invisibile agli occhi… però una cosa l’ho capita, e cioè che la distanza tra le formule ed i grafici è la stessa che intercorre tra uno spartito e la musica suonata. E trovo incredibile che al giorno d’oggi siano ancora molto rari i docenti che adottano strumenti di visualizzazione a supporto delle loro dimostrazioni fatte a colpi di gesso. Va bene trecento anni fa, ma ora siamo nel 2020, altrimenti qui il digital divide non è più un fatto tecnologico, ma neuronale.

Post Scriptum: questo post vuole essere il primo di una serie che accompagnerà la revisione 1.8 del testo di cui il Blog è a supporto, revisione che ho iniziato la scorsa settimana, ed in cui vorrei includere alcuni nuovi contenuti. Stay tuned!

Post post Scriptum: in effetti e=2.71828.. è veramente qualcosa di unico, a parte che non solo è irrazionale, ma pure trascendente. Ricorre in tanti e tanti problemi di matematica e di fisica, ma forse la cosa più buffa me la racconta Wikipedia, che dice

Il numero e è il punto centrale della commutazione dell’elevamento a potenza. Siano date tutte le coppie (x, y) per le quali x^{y}=y^{x}. Oltre al caso banale x=y, l’unica coppia intera (e razionale) per cui vale la proprietà è formata dai numeri 2 e 4, ma vale anche per infinite coppie irrazionali distribuite lungo una curva nel primo quadrante, asintotica alle rette x=1 e y=1. Tale curva e la retta y=x si intersecano nel punto (e,e)

Chapeau!

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