Affrontiamo ora la caratterizazione degli elementi fondamentali nei cui termini sono descritti i sistemi di telecomunicazione, ovvero segnali e sistemi.

Da un punto di vista analitico, un segnale è una funzione del tempo, del tipo descritto al §  1.3↑, e per esso si possono operare le classificazioni:

Un segnale analogico può avere una estensione temporale limitata, oppure si può immaginare che si estenda da meno infinito a infinito. Nel secondo caso il segnale si dice di potenza se ne esiste (ed è diversa da zero) la media quadratica Un segnale di potenza è inoltre detto

di periodo T, nel caso in cui si verifichi che per qualsiasi valore di t, mentre si dice

un segnale di durata limitata o illimitata, se esiste il valore Perché ciò avvenga occorre [16]  [16] Una funzione f(t) è detta sommabile (o integrabile) nell’intervallo (  − ∞, ∞) se il suo integrale è finito, ed una condizione sufficiente perché ciò avvenga è che lim_{t  →  ∞}f(t) sia un infinitesimo di ordine superiore a 1, ovvero che lim_{t  →  ∞}t⋅f(t) =  0. che per t  → ∞ il segnale s(t) tenda a zero più velocemente di (1)/(√(t)), e quindi |s(t)|² vi tenda più in fretta di (1)/(t). La fig. 1.4↑ riporta un paio di esempi di segnale di energia; notiamo infine che lo spazio descritto dalle funzioni a quadrato sommabile è indicato in matematica come spazio L², e costituisce un spazio di Hilbert [17]   [17] Vedi ad es. https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_a_quadrato_sommabile.

un segnale di energia che tende a zero più velocemente di (1)/(t), ovvero E’ il caso delle funzioni assolutamente sommabili, per le quali |s(t)| tende a zero più velocemente di (1)/(t), e che dunque sono anche di energia.

Se consideriamo una resistenza R, ed applichiamo ai suoi capi una tensione v(t), in essa scorre una corrente i(t) = (v(t))/(R), e la potenza ceduta alla resistenza ad ogni istante t è pari a che si misura in Watt (equivalente a Joule/secondo), e che rappresenta la potenza istantanea assorbita. Ricordando che i(t)  = (v(t))/(R), si ottiene anche p(t) = (v²(t))/(R) = i²(t)R.

Se integriamo p(t) su di un intervallo temporale T, si ottiene l’energia complessiva assorbita da R nell’intervallo T: Nello stesso intervallo T, la resistenza assorbe una potenza p_T(t) = e_T(t) = (1)/(T)e_T(t) [Watt], che costituisce una media a breve termine dell’energia assorbita nell’intervallo [18]  [18] Anticipando una notazione che verrà usata nel corso del testo, il pedice _T indica l’estensione temporale a cui è riferita la grandezza che presenta il pedice, mentre la sopralineatura di una grandezza che dipende dal tempo, indica una media temporale della grandezza stessa..

Se la resistenza è diversa da 1 Ω, le due quantità non coincidono più. Nelle misure fisiche in genere si ottiene la potenza dissipata sullo strumento di misura (o irradiata dall’antenna, o dagli altoparlanti) espressa in Watt. Per risalire alla potenza/energia di segnale delle grandezze elettriche presenti ai suoi capi (tensione o corrente) occorre dividere (o moltiplicare) la potenza in Watt per R. Ad esempio, una potenza assorbita P di 10 Watt su 8 Ohm equivale ad una potenza di segnale P⋅R = 80 (Volt)², ovvero di (P)/(R) = 1.25 (Ampere)².

Si indica allora come valore efficace quel livello di segnale continuo che produrrebbe lo stesso effetto energetico. Nell’esempio precedente, otteniamo: V_eff  = √(80) =  8.94 Volt; I_eff  = 1.118 Ampere. Infatti:

Uno dei primi concetti da affrontare nella analisi dei segnali è quello di contenuto spettrale, che indica come la potenza (o energia) complessiva sia distribuita su di un insieme di frequenze, mediante gli strumenti forniti dalla analisi di Fourier che associa ad un segnale di energia x(t) lo spettro X(f) = ∫^∞_{−  ∞}x(t)e^− j2πftdt (cap. 3↓). Dato che ciò è possibile anche per la risposta impulsiva h(t) che caratterizza un sistema lineare e permanente, tale concetto si rivelerà unificante per entrambi.

In termini molto generali, un sistema può essere descritto come una trasformazione T[.], tale che ad ogni segnale di ingresso x(t) corrisponda una uscita y(t): T[x(t)] = y(t). Iniziamo quindi a porre dei paletti concettuali entro cui classificare il tipo di sistema.

Un sistema è lineare se, in presenza di una combinazione lineare di ingressi, l’uscita è la combinazione lineare delle uscite, ossia sussiste la legge di sovrapposizione degli effetti, ovvero: Un sistema è permanente (o stazionario) se la risposta ad un ingresso traslato nel tempo, è la traslazione temporale dell’uscita che si avrebbe per lo stesso ingresso non traslato, ovvero Nel caso contrario, il sistema è detto tempo-variante, non stazionario, o non permanente.

Al § 3.5.2↓ scopriremo che nel caso di un sistema lineare e permanente, il legame T[x(t)] = y(t) tra le coppie di segnali di ingresso ed uscita è espresso dall’integrale di convoluzione y(t) = x(t)*h(t) = ∫^∞_{−  ∞}x(τ)h(t  − τ)dτ, in cui la risposta impulsiva h(t) caratterizza completamente il sistema nei termini dell’uscita che corrisponde ad un ingresso impulsivo x(t) = δ(t). Alla convoluzione si associa il concetto di filtraggio del segnale, che verifichiamo essere un operatore lineare in virtù della distributività dell’integrale, e permanente in quanto h(t) dipende solo dal tempo trascorso dalla applicazione del segnale [19]   [19] In realtà nulla vieta ad un filtro di modificare la propria risposta impulsiva nel tempo, ma in tal caso in uscita compaiono componenti frequenziali non presenti in ingresso, e viene dunque persa la linearità..

Notiamo che un sistema descritto da una risposta impulsiva h(t) con estensione temporale non nulla è detto con memoria, in quanto i singoli valori di uscita dipendono da tutti i valori di ingresso raccolti dalla risposta impulsiva.

Un sistema è detto idealmente realizzabile se h(t) è reale.

E’ una proprietà indicata anche causalità↓, poiché descrive l’impossibilità di osservare una uscita prima di aver applicato un qualunque ingresso. Una definizione alternativa asserisce che i valori di uscita y(t) ad un istante t  = t₀ non possono dipendere da valori di ingresso x(t) per istanti futuri t  > t₀. Ciò è automaticamente verificato se h(t) = 0 con t  < 0. Osserveremo (nota 137↓ a pag. 1↓) come sistemi non realizzabili fisicamente possano essere approssimati da sistemi realizzabili, accettando un ritardo dell’uscita.

è definita come la proprietà di fornire uscite limitate (in ampiezza) per ingressi limitati, ed equivale alla condizione ∫|h(t)|dt <  ∞, ovvero che h(t) sia un segnale impulsivo. Notiamo che questa circostanza garantisce l’esistenza della sua trasformata H(f).

Se un sistema, oltre che stabile, è anche idealmente realizzabile, allora H(f) = H^*(  − f), e dunque è sufficiente conoscere la parte a frequenze positive indicata con H⁺(f), dato che quella a frequenze negative è ottenibile mediante una operazione di coniugazione. Questo fatto permette di misurare modulo e fase di H(f) = M(f)e^jφ(f), che prende il nome di risposta in frequenza, utilizzando come ingresso una funzione sinusoidale x(t) = Acos(2πf₀t + θ) con ampiezza A e fase θ note, come illustrato a pag. 1↓.

Corrisponde ad un legame ingresso-uscita senza memoria [20]   [20] Un operatore si dice senza memoria quando ogni valore dell’uscita dipende da un unico valore di ingresso. del tipo y(t) = g(x(t)), in cui g(.) è una generica funzione non lineare [21]  [21] Una funzione y(x) è lineare quando il suo sviluppo in serie di potenze si arresta al primo ordine, ed è quindi esprimibile in forma y  = ax +  b, che è l’equazione di una retta.. Pertanto, un operatore basato sulla elevazione a potenza è non lineare. Come approfondiremo al § 7.3↓, una delle più evidenti conseguenze della non linearità è l’insorgenza in uscita di contenuti frequenziali assenti in ingresso.