10.1
Modulazione di ampiezza↓
- AM
Al §
9.2↑ si è mostrato che un segnale modulato
x(t) può essere rappresentato
nei termini delle sue
componenti analogiche di bassa frequenza xc(t) e
xs(t): nel
caso in cui queste rappresentino due segnali indipendenti, la loro
trasmissione congiunta sulla medesima portante realizza un segnale
qam (
quadrature amplitude
modulation). Al contrario, nei casi più tipici
xc
ed
xs non sono
qualsiasi, ma sussiste tra loro una relazione, in base alla quale si
distinguono le seguenti classi di segnali
modulati in ampiezza:
- banda laterale doppia: la componente xs(t)
è nulla, cosicché Px(f)
è simmetrico rispetto ad f0.
Si tratta del caso a noi già noto, ed è indicato dagli acronimi bld o dsb
(double side band).
- banda laterale unica: sono presenti sia xc(t)
che xs(t),
e risulta xs(t)
= ^xc(t).
Questo fa sì che (come vedremo) la densità Px(f)
del segnale modulato giaccia tutta all’esterno (od all’interno)
di ±f0 (blu
o ssb - single side band)
- banda laterale ridotta: è una via di mezzo tra i due casi
precedenti, e cioè Px(f)
non è simmetrica rispetto ad f0,
ma comunque giace da ambo i lati (blr
o vsb - vestigial side
band
).
Per completare la classificazione, per ognuna
delle possibilità precedenti può verificarsi uno tra tre sottocasi, che
si riferiscono alla presenza o meno, in Px(f),
di una concentrazione di potenza (ossia un impulso) a frequenza f0,
corrispondente alla trasmissione di potenza non associata al messaggio m(t), ma solamente alla
portante, e quindi priva di contenuto informativo ai fini della
trasmissione. I tre sottocasi citati sono indicati come:
- o sc - suppressed carrier);
- portante intera (pi o lc
- large carrier);
- portante parzialmente soppressa (pps).
10.1.1
Banda laterale doppia↓ -
BLD
In questo caso l’inviluppo complesso
x(t)
del segnale modulato presenta
una sola componente analogica di
bassa frequenza, che per convenzione è posta pari a
xc(t). La
dipendenza di
xc(t)
da
m(t) è posta nella forma
generale
xc(t) =
ap + kam(t),
e quindi
xBLD(t) = (ap
+ kam(t))cosω0t
L’inviluppo complesso risulta perciò
x(t) = ap
+ kam(t), mentre la sua densità di potenza
vale
Px(f) = a2pδ(f) + k2aPm(f)
e quindi, dato che
Px(f) = Px + (f) + Px
− (f)
e che, in base alla (
11.9↑)
risulta
⎧⎨⎩
Px
+ (f)
= (1)/(4) Px(f − f0)
Px − (f)
= (1)/(4) Px(f + f0)
si ottiene una densità di potenza per il segnale modulato pari a
↓
La potenza totale di
x(t)
vale perciò
Px
= (a2p)/(2) + (k2a)/(2) Pm, mentre la
sua densità spettrale è riportata in figura, dove si è posto
ka
= 1.
10.1.1.1
Portante soppressa↓ - PS
Esaminando l’espressione trovata per Px per am-bld,
notiamo che il termine (a2p)/(2) rappresenta la potenza
della portante non modulata (concentrata per metà ad f0
e per metà a − f0),
che quindi svanisce per ap
= 0, dando luogo in quest’ultima circostanza al sottocaso di portante
soppressa, con Px(f) = (k2a)/(4)[ Pm(f
− f0) +
Pm(f + f0)].
La demodulazione di
am-bld-ps
si effettua in modo coerente (§
10.2.1↓),
dopo aver ricostruito la portante per quadratura (§
10.2.2.1↓), oppure mediante demodulatore ad
inviluppo (§
10.2.5↓),
dopo aver elaborato la portante ricostruita come spiegato al §
10.1.1.3↓.
10.1.1.2
Portante intera↓ - PI
Nel caso in cui si ponga
ap
≠ 0 si può scegliere
ap
≥ ka⋅max{|m(t)|}, in modo che risulti sempre
xc(t) = ap
+ kam(t) ≥ 0; questa
diseguaglianza può essere scritta in modo equivalente come
che rappresenta la condizione che caratterizza il caso di
portante
intera, ovvero in cui
xc(t)
non inverte mai il segno
(vedi fig.
10.2↑). Indicando con
PMaxI
il massimo valore di
m2(t)
per qualunque
t, la condizione
(11.23↑)
può essere verificata purché
⎛⎝(ap)/(ka)⎞⎠2
> PMaxI, permettendo così di
dimensionare l’uno rispetto all’altro.
Il rapporto
prende il nome di
indice di modulazione↓,
e nel caso di portante intera prende un valore tra zero e 100, nel qual
caso si sta sfruttando (vedi fig.
10.2↑)
tutta la dinamica della portante, fatto importante ai
fini delle considerazioni svolte al §
10.1.1.4↓.
La ragione principale dell’utilizzo della portante
intera è che in tal caso il processo di decodifica non richiede la
conoscenza di
f0, e può
svolgersi facendo uso di un semplice demodulatore di inviluppo,
descritto al §
10.2.5↓.
10.1.1.3 Portante parzialmente soppressa↓
- PPS
Se
ap
è inferiore al valore necessario per avere la portante intera, ma non è
nullo, si ottiene il caso della portante
parzialmente soppressa,
che ci permette di risparmiare potenza (vedi §
10.1.1.4↓). Il residuo di portante presente può
essere usato per la sua
ri-generazione al lato ricevente,
utilizzando un
pll (§
10.2.2.2↓), in modo da
sommarla al
segnale ricevuto, ri-producendo così il termine
apcosω0t.
In tal modo ci si riconduce al caso
PI, e si può effettuare la
demodulazione di inviluppo (§
10.2.5↓).
10.1.1.4
Efficienza di PI-PPS↓
Nell’espressione
della potenza totale
Px
= (1)/(2)(a2p
+ k2aPm)
per un generico segnale
am, notiamo
che solo
Pu
= (k2a)/(2) Pm
è relativa al segnale utile, mentre
(a2p)/(2) viene spesa sulla
portante, che non trasporta informazione. Pertanto, si definisce una
efficienza
energetica
η = (Pu)/(Px) = ((1)/(2)k2aPm)/((1)/(2)(a2p + k2aPm)) = (1)/(1 + (a2p)/(k2aPm))
che rappresenta la frazione di potenza trasmessa utile ai fini della
ricostruzione del messaggio.
10.1.2
Banda laterale unica↓ - BLU
Mentre
con la modulazione
bld si determina
una occupazione di banda per il segnale modulato
x(t)
doppia di quella del segnale modulante, la tecnica
blu
impegna invece una banda
uguale a quella di
m(t).
Un tale risultato è ottenuto rendendo le componenti analogiche
xc(t)
ed
xs(t)
del segnale modulato
x(t) dipendenti
tra loro, ed in particolare imponendo che
xc(t)
= m(t) e
xs(t)
= ^m(t):
infatti, in tal modo si ottiene
xBLU(t)
=
m(t)cosω0t
− ^m(t)sinω0t =
= m(t)(ejω0t
+ e − jω0t)/(2) − ^m(t)(ejω0t
− e − jω0t)/(2j) =
=
ejω0t(1)/(2)[m(t)
+ j^m(t)] + e − jω0t(1)/(2)[m(t)
− j^m(t)]
Ricordando ora che
(1)/(2)[m(t)±j^m(t)] = m±(t) (vedi eq.
(11.7↑)) è proprio il contenuto a frequenze
positive (negative), allora se
x(t)
è di energia, effettuando la trasformata di Fourier di ambo i membri si
ottiene
XBLU(f)
=
δ(f − f0)*M + (f) + δ(f
+ f0)*M
− (f)
=
= M +
(f − f0) + M − (f
+ f0)
e quindi il segnale modulato
am-blu è
costituito dal contenuto a frequenze positive e negative di
m(t),
traslato ai lati della portante
f0.
Qualora invece si consideri il segnale modulante
m(t)
come una realizzazione di un processo ergodico, si può dimostrare
(passando dalla trasformata di
ℛx(τ))
un risultato del tutto analogo, ovvero
Px(f) = Pm + (f − f0)
+ Pm − (f + f0)
Nel caso descritto abbiamo considerato soppressa la portante, ed il
segnale modulato (considerato nel dominio della frequenza) risulta
esterno
ad
f0: questa
circostanza è indicata con il termine di
banda laterale superiore.
Il caso opposto (
banda laterale inferiore) si ottiene cambiando
segno a
xs(t). Scriviamo dunque
xBLU(t) = (ka)/(√(2))m(t)cosω0t∓(ka)/(√(2))^m(t)sinω0t
con
− e
+
rispettivamente per ottenere un segnale
blu
con banda superiore o inferiore. In entrambi i casi il segnale modulato
blu ha una potenza
Px = 2⋅((k2a)/(2)⋅ Pm⋅(1)/(2)) = (k2a)/(2) Pm
(vedi §
10.4.2↓),
eguale a quella di un segnale
am-bld
in cui
xc(t) = kam(t)
e
xs(t) = 0.
I vantaggi di un tale metodo di modulazione sono
subito evidenti: consente infatti di risparmiare banda, permettendo la
trasmissione di più messaggi in divisione di frequenza
fdm,
vedi pag.
1↑.
10.1.2.1
Generazione di segnali BLU
Un segnale
blu può essere generato in
due diversi modi, rappresentati alla figura seguente. Il primo consiste
nell’uso di un filtro di Hilbert per calcolare
^m(t),
da usare assieme ad
m(t) in
un modulatore in fase ed in quadratura. E’ subito evidente come si
possano presentare problemi se
m(t)
ha contenuti energetici prossimi a frequenza zero, che rendono assai
stringenti le specifiche per approssimare il filtro di Hilbert.
Un problema simile si presenta anche con il
secondo metodo di generazione del segnale blu,
in cui viene prima prodotto un segnale bld,
e quindi lo si filtra in modo da eliminare una delle bande laterali: la
necessità di trasmettere frequenze di m(t)
prossime allo zero, complica infatti la realizzazione del filtro.
La trasmissione
fdm
di segnali
blu è stata lungamente
usata per i ponti radio telefonici (vedi §
9.1.1.2↑). Pertanto, la limitazione sulla
minima frequenza di un canale telefonico a 300 Hz è motivata anche dalla
necessità di effettuare modulazioni
blu.
10.1.3
Banda laterale ridotta ↓ - BLR
Si può verificare il caso in cui non si possa
assolutamente fare a meno di componenti di segnale a frequenza molto
bassa, come avviene, ad esempio, nel segnale televisivo (vedi appendice
20.1↓). Si ricorre allora alla modulazione a
banda
laterale ridotta (
blr), ottenuta
facendo transitare
il segnale modulato
bld attraverso uno
specifico filtro, che presenta una regione di transizione tra la banda
passante e quella attenuata
più dolce di quella di un
passa-banda ideale, e che si estende oltre
f0.
10.1.4
Potenza di un segnale AM↓
Alla pagina seguente è mostrato uno schema
riassuntivo dell’espressione del segnale modulato per i diversi tipi di
modulazione am, assieme ai valori ka ed ap
tali da determinare una potenza totale
Px.
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kam(t)cos(ω0t)
|
(k2a)/(2)
Pm |
√((2 Px)/(Pm))
|
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(ka)/(√(2))m(t)cos(ω0t)
− (ka)/(√(2))^m(t)sin(ω0t)
|
(k2a)/(2)
Pm |
√((2 Px)/(Pm))
|
|
[ap + kam(t)]cos(ω0t)
|
(a2p)/(2) + (k2a)/(2)
Pm |
√((2 Px
− a2p)/(Pm))
|
|
con ap ≥ ka⋅max{|m(t)|}
|
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