Modulazione di ampiezza

Prec Capitolo 10: Modulazione per segnali analogici Su Capitolo 10: Modulazione per segnali analogici Sezione 10.2: Demodulazione di ampiezza Segue

10.1 Modulazione di ampiezza↓ - AM

Al § 9.2↑ si è mostrato che un segnale modulato x(t) può essere rappresentato nei termini delle sue componenti analogiche di bassa frequenza x_c(t) e x_s(t): nel caso in cui queste rappresentino due segnali indipendenti, la loro trasmissione congiunta sulla medesima portante realizza un segnale qam (quadrature amplitude modulation). Al contrario, nei casi più tipici x_c ed x_s non sono qualsiasi, ma sussiste tra loro una relazione, in base alla quale si distinguono le seguenti classi di segnali modulati in ampiezza:

banda laterale doppia: la componente x_s(t) è nulla, cosicché P_x(f) è simmetrico rispetto ad f₀. Si tratta del caso a noi già noto, ed è indicato dagli acronimi bld o dsb (double side band).
banda laterale unica: sono presenti sia x_c(t) che x_s(t), e risulta x_s(t) = ^x_c(t). Questo fa sì che (come vedremo) la densità P_x(f) del segnale modulato giaccia tutta all’esterno (od all’interno) di ±f₀ (blu o ssb - single side band)
banda laterale ridotta: è una via di mezzo tra i due casi precedenti, e cioè P_x(f) non è simmetrica rispetto ad f₀, ma comunque giace da ambo i lati (blr o vsb - vestigial side band [390] [390] Come sarà più chiaro nel seguito, l’acronimo vsb simboleggia che, anziché sopprimere completamente una delle due bande laterali, se ne mantengono delle vestigia. ).

Per completare la classificazione, per ognuna delle possibilità precedenti può verificarsi uno tra tre sottocasi, che si riferiscono alla presenza o meno, in P_x(f), di una concentrazione di potenza (ossia un impulso) a frequenza f₀, corrispondente alla trasmissione di potenza non associata al messaggio m(t), ma solamente alla portante, e quindi priva di contenuto informativo ai fini della trasmissione. I tre sottocasi citati sono indicati come:

o sc - suppressed carrier);
portante intera (pi o lc - large carrier);
portante parzialmente soppressa (pps).

10.1.1 Banda laterale doppia↓ - BLD

In questo caso l’inviluppo complesso x(t) del segnale modulato presenta una sola componente analogica di bassa frequenza, che per convenzione è posta pari a x_c(t) [391] [391] Considerando che la portante di modulazione può avere una fase iniziale arbitraria, e che con una traslazione temporale ci si può sempre ricondurre ad usare una funzione cosω₀t, la convenzione posta tratta il caso di un segnale modulato x(t) = a(t)cos(ω_ot + φ) generico, con φ costante.. La dipendenza di x_c(t) da m(t) è posta nella forma generale x_c(t) = a_p + k_am(t), e quindi

x_BLD(t) = (a_p + k_am(t))cosω₀t

L’inviluppo complesso risulta perciò x(t) = a_p + k_am(t), mentre la sua densità di potenza vale

P_x(f) = a²_pδ(f) + k²_aP_m(f)

e quindi, dato che P_x(f) = P_x⁺(f) + P_x⁻(f) e che, in base alla (11.9↑) risulta

⎧⎨⎩ P_x⁺(f) = (1)/(4) P_x(f − f₀) P_x⁻(f) = (1)/(4) P_x(f + f₀)

si ottiene una densità di potenza per il segnale modulato pari a↓

(11.22) P_x(f) = (a²_p)/(4)[δ(f − f₀) + δ(f + f₀)] + (k²_a)/(4)[ P_m(f − f₀) + P_m(f + f₀)]

La potenza totale di x(t) vale perciò P_x = (a²_p)/(2) + (k²_a)/(2) P_m, mentre la sua densità spettrale è riportata in figura, dove si è posto k_a = 1.

10.1.1.1 Portante soppressa↓ - PS

Esaminando l’espressione trovata per P_x per am-bld, notiamo che il termine (a²_p)/(2) rappresenta la potenza della portante non modulata (concentrata per metà ad f₀ e per metà a − f₀), che quindi svanisce [392] [392] Come d’altra parte giustificabile anche osservando che (vedi fig. 10.2↓) in questo caso x_c(t) ha media nulla (se m(t) è a media nulla) e la portante cambia frequentemente segno, cosicché per f = f₀ non compaiono impulsi in P_x(f). per a_p = 0, dando luogo in quest’ultima circostanza al sottocaso di portante soppressa, con P_x(f) = (k²_a)/(4)[ P_m(f − f₀) + P_m(f + f₀)].

La demodulazione di am-bld-ps si effettua in modo coerente (§ 10.2.1↓), dopo aver ricostruito la portante per quadratura (§ 10.2.2.1↓), oppure mediante demodulatore ad inviluppo (§ 10.2.5↓), dopo aver elaborato la portante ricostruita come spiegato al § 10.1.1.3↓.

10.1.1.2 Portante intera↓ - PI

Nel caso in cui si ponga a_p ≠ 0 si può scegliere a_p ≥ k_a⋅max{|m(t)|}, in modo che risulti sempre x_c(t) = a_p + k_am(t) ≥ 0; questa diseguaglianza può essere scritta in modo equivalente come

(11.23) a²_p ≥ k²_am²(t) per ∀t

che rappresenta la condizione che caratterizza il caso di portante intera, ovvero in cui x_c(t) non inverte mai il segno

Figura 10.2 Modulazione di ampiezza bld

(vedi fig. 10.2↑). Indicando con P^Max_I [393] [393] Il segnale P_I(t) = m²(t) può essere indicato come potenza istantanea↓ di m(t), e P^Max_I indicato come la sua ↓potenza di picco. il massimo valore di m²(t) per qualunque t, la condizione (11.23↑) può essere verificata purché ⎛⎝(a_p)/(k_a)⎞⎠² > P^Max_I, permettendo così di dimensionare l’uno rispetto all’altro [394] [394] Ad esempio, nel caso in cui m(t) sia un processo con densità di probabilità uniforme tra ±(Δ)/(2), la potenza di picco risulta essere (Δ²)/(4) = 3σ²_M, dato che (come mostrato al § 5.2.3↑) in quel caso risulta σ²_M = (Δ²)/(12); se invece m(t) = asin2πf_Mt, allora si ha una potenza di picco a² = 2σ²_M (dato che P_M = σ²_M = (a²)/(2)). Oppure ancora, se m(t) è gaussiano la potenza di picco (e dunque a²_P ⁄ k²_a per ottenere la portante intera) risulta infinita. E cosa accade allora? Si avrà necessariamente una portante ridotta....

Il rapporto

(11.24) I_a = (k_a⋅max{|m(t)|})/(a_p)⋅100

prende il nome di indice di modulazione↓, e nel caso di portante intera prende un valore tra zero e 100, nel qual caso si sta sfruttando (vedi fig. 10.2↑) tutta la dinamica della portante [395] [395] Se I_a < 100 la dinamica della portante non è infatti sfruttata appieno, mentre se I_a > 100 ci troviamo in condizioni di sovramodulazione, e non più di portante intera., fatto importante ai fini delle considerazioni svolte al § 10.1.1.4↓.

La ragione principale dell’utilizzo della portante intera è che in tal caso il processo di decodifica non richiede la conoscenza di f₀, e può svolgersi facendo uso di un semplice demodulatore di inviluppo, descritto al § 10.2.5↓.

10.1.1.3 Portante parzialmente soppressa↓ - PPS

Se a_p è inferiore al valore necessario per avere la portante intera, ma non è nullo, si ottiene il caso della portante parzialmente soppressa, che ci permette di risparmiare potenza (vedi § 10.1.1.4↓). Il residuo di portante presente può essere usato per la sua ri-generazione al lato ricevente, utilizzando un pll (§ 10.2.2.2↓), in modo da sommarla al segnale ricevuto, ri-producendo così il termine a_pcosω₀t. In tal modo ci si riconduce al caso PI, e si può effettuare la demodulazione di inviluppo (§ 10.2.5↓).

10.1.1.4 Efficienza di PI-PPS↓

Nell’espressione della potenza totale P_x = (1)/(2)(a²_p + k²_aP_m) per un generico segnale am, notiamo che solo P_u = (k²_a)/(2) P_m è relativa al segnale utile, mentre (a²_p)/(2) viene spesa sulla portante, che non trasporta informazione. Pertanto, si definisce una efficienza energetica

η = (P_u)/(P_x) = ((1)/(2)k²_aP_m)/((1)/(2)(a²_p + k²_aP_m)) = (1)/(1 + (a²_p)/(k²_aP_m))

che rappresenta la frazione di potenza trasmessa utile ai fini della ricostruzione del messaggio [396] [396] Ad esempio, se m(t) = sin2πf_Mt si ha P_M = 1 ⁄ 2 e, nel caso di portante intera, deve risultare a_p = k_a e dunque η = (1)/(1 + 2) = 0.33. Ovvero solo 1/3 della potenza trasmessa è utile al ricevitore!.

10.1.2 Banda laterale unica↓ - BLU

Mentre con la modulazione bld si determina una occupazione di banda per il segnale modulato x(t) doppia di quella del segnale modulante, la tecnica blu impegna invece una banda uguale a quella di m(t). Un tale risultato è ottenuto rendendo le componenti analogiche x_c(t) ed x_s(t) del segnale modulato x(t) dipendenti tra loro, ed in particolare imponendo che x_c(t) = m(t) e x_s(t) = ^m(t): infatti, in tal modo si ottiene

x_BLU(t) = m(t)cosω₀t − ^m(t)sinω₀t = = m(t)(e^jω₀t + e^{− jω₀t})/(2) − ^m(t)(e^jω₀t − e^{− jω₀t})/(2j) = = e^jω₀t(1)/(2)[m(t) + j^m(t)] + e^{− jω₀t}(1)/(2)[m(t) − j^m(t)]

Ricordando ora che (1)/(2)[m(t)±j^m(t)] = m^±(t) (vedi eq. (11.7↑)) è proprio il contenuto a frequenze positive (negative), allora se x(t) è di energia, effettuando la trasformata di Fourier di ambo i membri si ottiene

X_BLU(f) = δ(f − f₀)*M⁺(f) + δ(f + f₀)*M⁻(f) = = M⁺(f − f₀) + M⁻(f + f₀)

e quindi il segnale modulato am-blu è costituito dal contenuto a frequenze positive e negative di m(t), traslato ai lati della portante f₀.

Qualora invece si consideri il segnale modulante m(t) come una realizzazione di un processo ergodico, si può dimostrare [397] [397] In qualche prossima edizione... (passando dalla trasformata di ℛ_x(τ)) un risultato del tutto analogo, ovvero

P_x(f) = P_m⁺(f − f₀) + P_m⁻(f + f₀)

Nel caso descritto abbiamo considerato soppressa la portante, ed il segnale modulato (considerato nel dominio della frequenza) risulta esterno ad f₀: questa circostanza è indicata con il termine di banda laterale superiore. Il caso opposto (banda laterale inferiore) si ottiene cambiando segno a x_s(t). Scriviamo dunque

x_BLU(t) = (k_a)/(√(2))m(t)cosω₀t∓(k_a)/(√(2))^m(t)sinω₀t

con − e + rispettivamente per ottenere un segnale blu con banda superiore o inferiore. In entrambi i casi il segnale modulato blu ha una potenza P_x = 2⋅((k²_a)/(2)⋅ P_m⋅(1)/(2)) = (k²_a)/(2) P_m (vedi § 10.4.2↓), eguale a quella di un segnale am-bld in cui x_c(t) = k_am(t) e x_s(t) = 0.

I vantaggi di un tale metodo di modulazione sono subito evidenti: consente infatti di risparmiare banda, permettendo la trasmissione di più messaggi in divisione di frequenza fdm, vedi pag. 1↑.

10.1.2.1 Generazione di segnali BLU

Un segnale blu può essere generato in due diversi modi, rappresentati alla figura seguente. Il primo consiste

generazione di segnali a banda laterale unica

nell’uso di un filtro di Hilbert per calcolare ^m(t), da usare assieme ad m(t) in un modulatore in fase ed in quadratura. E’ subito evidente come si possano presentare problemi se m(t) ha contenuti energetici prossimi a frequenza zero, che rendono assai stringenti le specifiche per approssimare il filtro di Hilbert.

Un problema simile si presenta anche con il secondo metodo di generazione del segnale blu, in cui viene prima prodotto un segnale bld, e quindi lo si filtra in modo da eliminare una delle bande laterali: la necessità di trasmettere frequenze di m(t) prossime allo zero, complica infatti la realizzazione del filtro.

La trasmissione fdm di segnali blu è stata lungamente usata per i ponti radio telefonici (vedi § 9.1.1.2↑). Pertanto, la limitazione sulla minima frequenza di un canale telefonico a 300 Hz è motivata anche dalla necessità di effettuare modulazioni blu.

10.1.3 Banda laterale ridotta ↓ - BLR

Si può verificare il caso in cui non si possa assolutamente fare a meno di componenti di segnale a frequenza molto bassa, come avviene, ad esempio, nel segnale televisivo [398] [398] Nel caso ad esempio di ampie zone di immagine uniformi ed a luminosità costante, il segnale è praticamente costante. (vedi appendice 20.1↓). Si ricorre allora alla modulazione a banda laterale ridotta (blr), ottenuta facendo transitare

il segnale modulato bld attraverso uno specifico filtro, che presenta una regione di transizione tra la banda passante e quella attenuata più dolce di quella di un passa-banda ideale, e che si estende oltre f₀.

10.1.4 Potenza di un segnale AM↓

Alla pagina seguente è mostrato uno schema riassuntivo dell’espressione del segnale modulato per i diversi tipi di modulazione am, assieme ai valori k_a ed a_p tali da determinare una potenza totale [399] [399] Lo schema di calcolo per P_x è discusso ai §§10.4.2↓ e 10.4.2.1↓ P_x.

	Segnale modulato x(t)	Potenza P_x	k_a per P_x dato
BLD-PS	k_am(t)cos(ω₀t)	(k²_a)/(2) P_m	√((2 P_x)/(P_m))
BLU-PS	(k_a)/(√(2))m(t)cos(ω₀t) − (k_a)/(√(2))^m(t)sin(ω₀t)	(k²_a)/(2) P_m	√((2 P_x)/(P_m))
BLD-PI	[a_p + k_am(t)]cos(ω₀t)	(a²_p)/(2) + (k²_a)/(2) P_m	√((2 P_x − a²_p)/(P_m))
	con a_p ≥ k_a⋅max{\|m(t)\|}