Demodulazione di ampiezza

Prec Sezione 10.1: Modulazione di ampiezza - AM Su Capitolo 10: Modulazione per segnali analogici Sezione 10.3: Modulazione angolare Segue

10.2 Demodulazione di ampiezza↓

Il messaggio m(t) può essere recuperato a partire da quello modulato x(t) mediante il preocesso di demodulazione, e nel caso am la demodulazione può avvenire mediante diverse tecniche, denominate omodina, inviluppo, in fase e quadratura, eterodina; ognuna di esse ha il suo campo di applicazione, assieme a pregi e difetti.

10.2.1 Demodulazione coerente o omodina↓

Si tratta del circuito già noto (vedi § 9.5↑) di estrazione della componente in fase x_c(t) mediante moltiplicazione [400] [400] In appendice 10.4.3↓ sono illustrate due tecniche di realizzazione del moltiplicatore. di x(t) per una portante di demodulazione cosω₀t, e di rimozione delle componenti a frequenza 2f₀ mediante un filtro passa-basso, come mostrato in figura. La portante generata localmente deve presentare la stessa fase e frequenza di quella in arrivo [401] [401] Dato che un qualunque canale presenta un ritardo di propagazione τ, la portante del segnale ricevuto sarà nella forma cos2πf₀(t − τ) = cos(2πf₀t − 2πf₀τ) = cos(2πf₀t − θ), ovvero sarà sempre presente una fase incognita. Nel caso poi di un collegamento radiomobile, può anche essere presente un errore di frequenza, dovuto all’effetto doppler., condizione indicata anche con il nome di demodulazione omodina, sincrona o coerente. Il metodo è applicabile a tutti i tipi di modulazione di ampiezza, in quanto per tutti m(t) è direttamente legato alla componente in fase; nella pratica, nei casi di bld-pi ed in quelli ad esso riconducibili, viene invece adottato il demodulatore di inviluppo (§ 10.2.5↓).

10.2.2 Sincronizzazione di portante ↓

Descriviamo un paio di metodi che mirano a generare, presso il demodulatore, una copia della portante quanto più possibile coerente con la fase di quella ricevuta.

10.2.2.1 Metodo della quadratura↓

Anche se nel segnale ricevuto non vi è traccia della portante, come per bld-ps, la portante di demodulazione può comunque essere ottenuta, mediante lo schema elaborativo di figura, a partire dal segnale modulato ricevuto

sincronizzazione di portate con il metodo della quadratura

x(t) = m(t)cos(ω₀t + φ), che viene innanzitutto elevato al quadrato producendo

(1)/(2)m²(t)[1 + cos(2ω₀t + 2φ)]

Il termine di banda base (1)/(2)m²(t) viene rimosso dal filtro passa alto; quindi lo squadratore produce un’onda quadra a frequenza 2f₀ che viene divisa per 2 da un contatore binario. Infine, un passa basso provvede ad eliminare le armoniche dell’onda quadra a frequenza nf₀, fornendo così la portante desiderata, a meno di una ambiguità di segno introdotta dal divisore, e che corrisponde ad un eventuale errore di fase pari a π.

10.2.2.2 Phase Locked Loop - PLL↓

Una seconda tecnica (nota come circuito ad aggancio di fase) adotta invece un approccio a controreazione, e si basa su di un dispositivo chiamato oscillatore controllato in tensione (vco↓, voltage controlled oscillator) il quale genera una sinusoide

y(t) = sin(ω₀t + 2πk_f^t⌠⌡_− ∞ε(τ)dτ)

la cui fase varia nel tempo con l’integrale del segnale di ingresso ε(τ) [402] [402] Se ad esempio ε(τ) = Δ ossia è costante, si ottiene y(t) = sin(2πf₀t + 2πΔt) = sin[2π(f₀ + Δ)t], ovvero la frequenza si è alterata di una quantità pari a Δ. Infatti, il vco realizza il processo di modulazione di frequenza, vedi eq. (11.5↑) a pag. 1↑.. In un pll, il vco ha il ruolo di generare una portante sfasata di ^π⁄₂ rispetto a quella del segnale in arrivo, che sua volta deve invece mantenerne almeno un residuo (di portante) [403] [403] Un diverso circuito in grado di operare anche per segnali a portante soppressa è discusso presso https://en.wikipedia.org/wiki/Costas_loop..

Come indicato nello schema a lato, in uscita dal vco è dunque presente il segnale y(t) = sin(ω₀t + ^θ(t)) in cui

(11.25) ^θ(t) = 2πk_f^t⌠⌡_− ∞ε(τ)dτ

rappresenta la stima locale della fase del segnale in arrivo, valutata all’istante t. Eseguendo il prodotto tra y(t) ed il segnale ricevuto [404] [404] Trascuriamo la presenza di eventuali modulazioni, il cui effetto si intende mediato dalla caratteristica passa-basso del pll, dovuta sia all’integratore presente nel vco, che al filtro di loop. x(t) = cos(ω₀t + θ(t)) si ottiene [405] [405] Utilizziamo qui la relazione cosαsinβ = (1)/(2)[sin(α + β) + sin(α − β)].

(1)/(2)sin[2ω₀t + θ(t) + ^θ(t)] + (1)/(2)sin[θ(t) − ^θ(t)]

Il termine centrato a frequenza doppia (2ω₀) viene ora eliminato dal filtro passa basso (detto anche filtro di loop), alla cui uscita troviamo dunque

ε(t) = (1)/(2)sin[θ(t) − ^θ(t)] = (1)/(2)sin(Δθ(t))

in cui Δθ(t) rappresenta l’errore di fase, e ε(t) è la grandezza in ingresso al vco.

Pensiamo ora di avere una θ(t) di ingresso costante: nel caso in cui risulti Δθ = 0, si ottiene che anche ε = 0, ed il vco non altera la fase (esatta) della portante generata. Se invece Δθ≷0 (e |Δθ| < π) [406] [406] La grandezza di controllo ε(t) proporzionale a sin(Δθ) si azzera per Δθ = kπ con k intero, positivo o negativo. Per k dispari si hanno condizioni di instabilità, in quanto ad es. per Δθ che aumenta o diminuisce rispetto a Δθ = π, il segno di ε è rispettivamente negativo e positivo, causando un ulteriore ritardo o aumento di ^θ(t) che causa un ulteriore aumento o diminuzione di Δθ, finché questo non raggiunge il valore 0 o 2π, corrispondenti a condizioni di stabilità. In altre parole, se |Δθ| < π si determina un transitorio alla fine del quale ε → 0, mentre se π < |Δθ| < 3π il transitorio converge verso ε → 2π, e così via., allora ε≷0, e dunque il vco è portato ad aumentare (diminuire) la fase della propria portante, riducendo di conseguenza l’errore di fase [407] [407] Notiamo che un moltiplicatore, seguito da un filtro passabasso, esegue il calcolo dell’intercorrelazione tra gli ingressi del moltiplicatore (vedi § 6.6.3↑), che nel nostro caso è una sinusoide. . Nel caso in cui, infine, la fase θ(t) del segnale in arrivo vari nel tempo, allora il pll insegue tali variazioni tanto più da vicino, quanto più è elevato il coefficiente di proporzionalità k_f tra ^θ(t) e l’integrale di ε(t) che compare nella (11.25↑) [408] [408] Inoltre, le prestazioni del PLL dipendono fortemente anche dalla banda e dall’ordine del filtro di loop, che limita la velocità di variazione di ε(t) e l’estensione dell’intervallo di aggancio. Lo studio teorico si basa sull’uso della trasformata di Laplace e sulla approssimazione sin(Δθ)≃Δθ, in quanto così il PLL può essere studiato come un sistema di controllo linearizzato, sommariamente descritto al § 10.3.1.1↓. Per approfondimenti, vedi http://it.wikipedia.org/wiki/Phase-locked_loop..

10.2.3 Errori di fase e di frequenza↓

Esaminiamo ora cosa accade nel caso in cui la sincronizzazione di portante non sia perfetta, ma tra la portante del demodulatore omodina (§ 10.2.1↑) e quella del segnale in arrivo cos(2π(f_o + Δf)t + θ) siano presenti errori di fase θ e/o di frequenza Δf: in tali condizioni il risultato della demodulazione coerente risulta [409] [409] Si applichi cosαcosβ = (1)/(2)[cos(α + β) + cos(α − β)].:

y(t) = x_c(t)cosω₀tcos[(ω_o + Δω)t + θ] = (1)/(2)x_c(t)[cos(Δωt + θ) + cos((2ω₀ + Δω)t + θ)]

Pertanto, mentre il termine a frequenza (circa) doppia viene eliminato come di consueto dall’apposito filtro, sul segnale demodulato si manifestano le seguenti distorsioni:

per errori di fase, si ottiene (1)/(2)x_c(t)cosθ ≤ (1)/(2)x_c(t) che... può annullarsi per θ = ±(π)/(2), mentre per θ = π si ottiene una inversione di segno di x_c(t);
per errori di frequenza, si ottiene (1)/(2)x_c(t)cos(Δωt) e dunque il segnale demodulato, oltre ad invertire periodicamente polarità, presenta una notevole oscillazione di ampiezza che, ad esempio, nel caso di segnale audio può rendere il risultato inintelligibile già con Δf pari a pochi Hertz.

10.2.3.1 Demodulazione I e Q presenza di errore di fase

Poniamoci ora nel caso in cui nel segnale modulato siano presenti entrambe le c.a. di b.f., ovvero x(t) = x_c(t)cosω₀t − x_s(t)sinω₀t, e si desideri demodularle entrambe. Si ricorre allora al demodulatore in fase e quadratura (§ 9.5↑), che prevede due rami (detti anche i e q) con portanti di demodulazione, appunto, in quadratura.

Applicando i risultati del § 9.5↑, e con riferimento alla notazione adottata nello schema a lato, in condizioni di coerenza si ottiene che y_c(t) = (1)/(2)x_c(t) e y_s(t) = (1)/(2)x_s(t). Se viceversa il segnale ricevuto presenta una fase incognita θ, e dunque x(t) = x_c(t)cos(ω₀t + θ) − x_s(t)sin(ω₀t + θ), si ottiene invece [410] [410] Per il ramo in fase risulta

y_c(t) = (x_c(t)cos(ω₀t + θ) − x_s(t)sin(ω₀t + θ))⋅cosω₀t = = x_c(t)cos(ω₀t + θ)cosω₀t − x_s(t)sin(ω₀t + θ)cosω₀t = = (1)/(2)x_c(t)[cos(2ω₀t + θ) + cosθ] − (1)/(2)x_s(t)[sin(2ω₀t + θ) − sin( − θ)]

mentre svolgendo simili sviluppi per il ramo in quadratura, si giunge a y_s(t) = (1)/(2)x_c(t)[sinθ − sin(2ω₀t + θ)] + (1)/(2)x_s(t)[cos(θ) − cos(2ω₀t + θ)]. Anche in questo caso i filtri passabasso eliminano le componenti centrate a 2f₀, permettendo di ottenere la (11.26↓).

(11.26) y_c(t) = ¹⁄₂(x_c(t)cosθ − x_s(t)sinθ) y_s(t) = ¹⁄₂(x_c(t)sinθ + x_s(t)cosθ)

Ovviamente, per θ = 0 le (11.26↑) si riducono al caso noto, mentre curiosamente per uno sfasamento θ = (π)/(2) le due c.a. di b.f. (a parte un segno) si invertono di ruolo. Un ragionamento più approfondito è fornito a pag. 1↑, e dimostra che θ rappresenta l’angolo di cui ruota il piano dell’inviluppo complesso tra x(t) e y(t). Ad ogni modo le (11.26↑), sebbene vagamente somiglianti alle (11.11↑), sono perfettamente invertibili nel caso in cui θ sia noto.

10.2.4 Demodulazione incoerente in fase e quadratura↓

Si tratta di uno schema utile nella fase di ricerca della regione di frequenza in cui è presente un segnale [411] [411] La ricerca dell’emittente può essere l’azione banale di sintonizzare a mano la propria radio sul programma preferito, oppure (come si dice, in modalità ricerca automatica), mediante un circuito del tipo di cui stiamo discutendo, con il quale vengono provate diverse portanti di demodulazione, finché non si riscontra un segnale in uscita.

In generale, la fase della comunicazione vera e propria viene preceduta da quella di acquisizione della portante, svolta ad esempio come qui accennato, e quindi la sincronizzazione mantenuta mediante interventi automatici (ad es. via pll), qualora si tratti di dover compensare le variazioni di frequenza dovute al movimento reciproco di trasmettitore e ricevitore (effetto doppler), come per il caso delle comunicazioni con mezzi mobili, vedi §16.3.4.6↓.

, oppure se si desidera verificare la presenza o meno di un segnale ad una determinata

Demodulazione incoerente in fase e quadratura

frequenza, come ad esempio nel caso del radar [412] [412] Un radar trasmette ad elevata potenza per periodi molto brevi, e stima la presenza di oggetti basandosi sul ritardo con cui il segnale, riflesso da questi, torna indietro. Perciò il ritardo di fase rappresenta proprio la grandezza che fornirà l’informazione relativa alla distanza, e può essere qualsiasi. Prima di iniziare a stimare tale informazione, è essenziale per il sistema accertarsi che ci sia un segnale da stimare.. In tale schema la coerenza di fase tra portante ricevuta e di demodulazione viene deliberatamente trascurata, adottando una architettura che utilizza anche il ramo in quadratura.

Se consideriamo un segnale ricevuto am-bld-ps che presenti una fase θ incognita rispetto alla portante del ramo I, ovvero

x(t) = m(t)cos(ω₀t + θ)

il suo inviluppo complesso rispetto ad f₀ risulta

x(t) = m(t)e^jθ = m(t)cosθ + jm(t)sinθ

le cui parti reale ed immaginaria corrispondono all’uscita dei filtri passa-basso posti sui due rami, ossia y_c(t) = m(t)cosθ e y_s(t) = m(t)sinθ, come si ottiene (a parte un fattore ¹⁄₂) dalle (11.26↑) avendo posto x_c(t) = m(t) e x_s(t) = 0. Dunque il segnale z(t) di uscita risulta pari a

z(t) = √(y²_c(t) + y²_s(t)) = |m(t)|√(cos²θ + sin²θ) = |m(t)|

Pertanto, nonostante l’ignoranza della fase θ, siamo ancora in grado di individuare la presenza di un segnale modulante. L’operazione di modulo impedisce l’uso dello schema per demodulare generici segnali bld-ps (mentre il caso pi sarebbe perfettamente demodulabile, ma in tal caso è più che sufficiente un demodulatore di inviluppo (§ 10.2.5↓)). Al § 13.3.2↓ si discute di come usare il demodulatore incoerente al fine di decidere per la presenza o meno di una sinusoide immersa nel rumore, e della relativa probabilità di errore.

10.2.5 Demodulatore di inviluppo↓ per AM-BLD-PI

Si tratta del semplice circuito non lineare riportato in figura [413] [413] Il simbolo figure f9.8b.png

rappresenta un diodo, costituito da un bipolo di materiale semiconduttore drogato, che ha la particolarità di condurre in un solo verso (quello della freccia).. Durante i periodi in cui il segnale in ingresso x(t) è positivo rispetto alla tensione d(t) accumulata dal condensatore, quest’ultimo si carica, inseguendo l’andamento dell’ingresso. Quando diviene x(t) < d(t), il condensatore si scarica sulla resistenza con una costante di tempo τ = RC, abbastanza grande rispetto ad (1)/(f₀), e tale da permettere la ricostruzione dell’andamento di x_c(t). Le oscillazioni a frequenza f₀ (e sue armoniche) possono quindi essere rimosse da un successivo filtro passa-basso, mentre la costante a_p è rimossa mediante un passa alto. D’altra parte, il valore di τ deve essere scelto né troppo piccolo né troppo grande, per evitare una eccessiva seghettatura, oppure di non riuscire ad inseguire il messaggio abbastanza rapidamente [414] [414] Presso http://it.wikipedia.org/wiki/Rivelatore_d'inviluppo qualche linea guida di progetto..

La semplicità del circuito è tale da farlo usare nel maggior numero di casi possibili, anche se il suo uso prevalente è per la demodulazione di segnali a portante intera. D’altra parte, la contemporanea presenza di altri segnali modulati con portante diversa da quella del segnale desiderato, rendono obbligatoria l’adozione di ulteriori elaborazioni, come discusso nel § 10.2.7↓ relativo alla demodulazione eterodina.

10.2.6 Demodulazione per segnali a banda laterale unica e ridotta↓

Nel caso di segnali BLU, il segnale modulante può essere riottenuto a partire da x(t) utilizzando un demodulatore omodina, in quanto la componente in fase x_c(t) dell’inviluppo complesso è proprio pari al messaggio modulante m(t). In questo caso, occorre prestare particolare attenzione ad eventuali errori di frequenza e di fase (Δf e θ) della portante di demodulazione perché, essendo presenti entrambe le componenti x_c(t) ed x_s(t), in uscita al demodulatore si ottiene (per il caso di banda laterale superiore):

d(t) = k_am(t)cos(Δωt + θ) − k_a^m(t)sin(Δωt + θ)

Pertanto si nota come la modulazione BLU sia più sensibile di quella BLD agli errori della portante di demodulazione, in quanto ora anche un semplice errore di fase θ produce non solo un affievolimento, ma un vero fenomeno di interferenza tra m(t) e ^m(t).

Per i segnali BLU a portante intera è possibile anche usare un demodulatore di inviluppo: in tal caso è necessario che l’ampiezza della portante sia sufficiente a non far invertire x(t) neanche per i picchi di segnale più ampi. L’analisi di questa esigenza determina una efficienza inferiore a quella del caso BLD.

Anche nel caso BLR, è possibile ricorrere ad un demodulatore di tipo omodina, purché il filtro H(f) usato in trasmissione per rimuovere parte di una banda laterale presenti alcune condizioni di simmetria attorno a f₀ [415] [415] Si può dimostrare che per l’inviluppo complesso H(f) di H(f) deve risultare: H(f) + H^*( − f) = cost perché in tal modo il residuo di banda parzialmente soppressa si combina esattamente con ciò che manca alla banda laterale non soppressa..

10.2.7 Demodulatore eterodina↓

Questa tecnica utilizza una frequenza di demodulazione differente da quella della portante, ed è particolarmente idonea (ma non solo) alla ricezione di una tra diverse trasmissioni operanti in bande vicine tra loro, come nel caso della diffusione broadcast (vedi § 9.1.1.1↑).

Infatti, nel caso in cui si volesse usare un demodulatore di inviluppo (a patto che le emittenti trasmettano a portante intera) occorrerebbe sintonizzare l’emittente con un filtro passa banda variabile (rappresentato in figura da una freccia), la cui realizzazione a radio frequenza può presentare difficoltà non trascurabili [416] [416] Le difficoltà nascono sia dall’esigenza di accordare il filtro attorno alla frequenza portante desiderata, sia dalla necessità di attenuare sufficientemente le trasmissioni che avvengono su frequenze limitrofe, determinando la necessità di realizzare un filtro con regione di transizione molto ripida, problema che può divenire insormontabile se il rapporto tra banda del segnale e portante (la cosiddetta banda frazionaria) è particolarmente ridotto..

D’altro canto, adottando un demodulatore omodina, oltre al problema di realizzare il filtro passa-banda centrato sull’emittente desiderata, si introduce anche quello di mantenere

coerenza tra la portante di demodulazione e quella ricevuta, essendo la realizzazione di oscillatori variabili e di precisione, via via più problematica all’aumentare delle frequenze in gioco.

Si ricorre allora ad un diverso schema che potremmo definire in due passi: volendo sintonizzare l’emittente con portante f₀, il segnale ricevuto (vedi fig. a lato) viene innanzitutto moltiplicato per una portante eterodina f_e ≠ f₀, ed in particolare f_e = f₀ − f_M, ottenendo l’effetto di traslare la frequenza zero dei segnali in ingresso, alla frequenza ±f_e. Allo stesso tempo, la componente a frequenze positive P_x⁺(f) centrata in f₀ si trasla in f₀±f_e, così come la componente a frequenze negative P_x⁻(f) centrata in − f_p si riloca in − f₀±f_e. Ma dato che f₀ − f_e = f_M, il risultato è che l’emittente con portante f₀ = f_M + f_e risulta ora centrata in f_M (detta anche detta media frequenza↓ mf), e può essere isolata dalle altre mediante un filtro passa banda, centrato proprio su f_M, e quindi demodulata da un demodulatore omodina fisso.

Per sintonizzare una diversa emittente a frequenza f₀’, è sufficiente porre f_e’ = f₀’ − f_M, mentre il resto del ricevitore (con i suoi amplificatori e filtri) opera su di un segnale centrato sempre alla stessa media frequenza f_M, indipendentemente dall’emittente.

10.2.7.1 Frequenze immagine↓

In realtà un ricevitore eterodina prevede la presenza di un ulteriore filtro posto prima del mixer con f_e, necessario ad evitare che in ingresso al filtro a media frequenza si presenti, oltre all’emittente centrata a ±f₀ = ±(f_e + f_M), anche quella a portante ±f_i = ±(f_e − f_M), per la quale cioè f_e − f_i = f_M.

La frequenza f_i prende il nome di frequenza immagine, in quanto è l’immagine speculare di f₀ rispetto ad f_e; in altre parole, l’utilizzo di una portante eterodina f_e provoca la traslazione a media frequenza sia della emittente desiderata e centrata in f₀ = f_e + f_M, che della sua immagine a distanza 2f_M, centrata in f_i = f_e − f_M. Pertanto, in ingresso al ricevitore va anteposto un filtro, che elimini dal segnale di ingresso le frequenze immagine, ovvero, una volta nota la gamma di frequenze che si vuole sintonizzare, elimini tutte quelle a distanza 2f_M dalla banda di interesse.

Esempio La maggior parte dei ricevitori di trasmissioni am Broadcast (540-1600 KHz) utilizza un ricevitore detto supereterodina, con f_e > f₀ anziché f_e < f₀ come discusso sopra [417] [417] Scegliere f_e < f₀ oppure f_e > f₀ praticamente ha l’effetto di scambiare i ruoli tra la portante desiderata, e la sua immagine. In particolare, il risultato non cambia se la modulazione è a banda laterale doppia, ma dato che nel secondo caso, X⁺(f) si rialloca sull’asse delle frequenze negative (ed il contrario per X⁻(f)), per la modulazione blu o blr questo fenomeno di inversione delle bande laterali deve essere tenuto in conto nel demodulatore omodina finale., e f_M = 455 KHz. Volendo ad esempio sintonizzare una stazione con f_p = 600 KHz, occorre una f_e = f_M + f_p = 1055 KHz. Ma allo stesso tempo anche l’emittente a portante f_i = f_e + f_M = 1510 KHz viene traslata nella stessa banda del filtro mf. Dunque, prima del mixer occorre un filtro che elimini le stazioni centrate su portanti f_i > f_e. La scelta f_M = 455KHz, inferiore alla minima frequenza di 510 KHz, permette di utilizzare una regione di frequenze libera da altre trasmissioni, che altrimenti potrebbero essere amplificate dagli stadi ad alto guadagno posti dopo il filtro mf. La scelta di f_e > f₀ permette di posizionare il filtro di reiezione delle frequenze immagine al disotto della f_e, rendendo più semplice la realizzazione del filtro.

10.2.7.2 Supereterodina↓

La figura seguente mostra lo schema finale del ricevitore con f_e > f₀.

Elenchiamo di seguito i vantaggi conseguiti:

la sintonia avviene mediante la variazione di f_e, ed il resto non cambia;
la distanza tra f₀ ed f_M scongiura il rischio di instabilità, che potrebbe verificarsi se parte del segnale uscente dal filtro di media frequenza, amplificato, fosse ri-captato dallo stadio di ingresso, mentre ora invece l’amplificazione può aver luogo proprio nello stadio a media frequenza;
la scelta di f_M è una opportunità di progetto, che consente di realizzare il filtraggio della emittente desiderata a frequenza sufficientemente bassa da non porre grossi problemi;
lo stadio di eterodina può essere ulteriormente ripartito in due conversioni di frequenza successive (vedi ad es. la fig. 20.8↓ a pag. 1↓), di cui la seconda conversione opera la sintonia, mentre la prima ha il solo scopo di traslare le frequenze in gioco in un intervallo più basso, più idoneo ad esempio alla sua trasmissione via cavo.