10.2
Demodulazione di ampiezza↓
Il messaggio m(t)
può essere recuperato a partire da quello modulato x(t)
mediante il preocesso di demodulazione, e nel caso am
la demodulazione può avvenire mediante diverse tecniche, denominate omodina,
inviluppo, in fase e quadratura, eterodina;
ognuna di esse ha il suo campo di applicazione, assieme a pregi e
difetti.
10.2.1 Demodulazione coerente o omodina↓
Si tratta del circuito già noto (vedi §
9.5↑) di estrazione della componente in fase
xc(t) mediante
moltiplicazione
di
x(t) per una portante di
demodulazione
cosω0t,
e di rimozione delle componenti a frequenza
2f0
mediante un filtro passa-basso, come mostrato in figura. La portante
generata localmente deve presentare la stessa fase e frequenza di quella
in arrivo,
condizione indicata anche con il nome di demodulazione
omodina,
sincrona o
coerente. Il metodo è applicabile a tutti i
tipi di modulazione di ampiezza, in quanto per tutti
m(t)
è direttamente legato alla componente in fase; nella pratica, nei casi
di
bld-pi ed in quelli ad esso
riconducibili, viene invece adottato il demodulatore di inviluppo (§
10.2.5↓).
10.2.2
Sincronizzazione di portante
↓
Descriviamo un paio di metodi che mirano a
generare, presso il demodulatore, una copia della portante quanto più
possibile coerente con la fase di quella ricevuta.
10.2.2.1
Metodo della quadratura↓
Anche se nel segnale ricevuto non vi è traccia
della portante, come per
bld-ps, la
portante di demodulazione può comunque essere ottenuta, mediante lo
schema elaborativo di figura, a partire dal segnale modulato ricevuto
x(t) = m(t)cos(ω0t
+ φ), che viene innanzitutto
elevato al quadrato producendo
(1)/(2)m2(t)[1 + cos(2ω0t + 2φ)]
Il termine di banda base
(1)/(2)m2(t)
viene rimosso dal filtro passa alto; quindi lo squadratore produce
un’onda quadra a frequenza
2f0
che viene divisa per 2 da un contatore binario. Infine, un passa basso
provvede ad eliminare le armoniche dell’onda quadra a frequenza
nf0,
fornendo così la portante desiderata, a meno di una
ambiguità di
segno introdotta dal divisore, e che corrisponde ad un eventuale
errore di fase pari a
π.
10.2.2.2
Phase Locked Loop - PLL↓
Una seconda
tecnica (nota come
circuito ad aggancio di fase) adotta invece
un approccio a
controreazione, e si basa su di un dispositivo
chiamato
oscillatore controllato in tensione (
vco↓,
voltage controlled oscillator) il quale
genera una sinusoide
y(t) = sin(ω0t
+ 2πkft⌠⌡
− ∞ε(τ)dτ)
la cui fase varia nel tempo con l’integrale del segnale di ingresso
ε(τ). In un
pll,
il
vco ha il ruolo di generare una
portante sfasata di
π⁄2
rispetto a quella del segnale in arrivo, che sua volta deve invece
mantenerne almeno
un residuo (di portante).
Come indicato nello schema a lato, in uscita dal
vco
è dunque presente il segnale
y(t) = sin(ω0t + ^θ(t))
in cui
rappresenta la
stima locale della fase del segnale in arrivo,
valutata all’istante
t. Eseguendo
il prodotto tra
y(t) ed il segnale ricevuto
x(t) = cos(ω0t + θ(t)) si ottiene
(1)/(2)sin[2ω0t + θ(t) + ^θ(t)] + (1)/(2)sin[θ(t) − ^θ(t)]
Il termine centrato a frequenza doppia (
2ω0)
viene ora eliminato dal filtro passa basso (detto anche
filtro di
loop), alla cui uscita troviamo dunque
ε(t) = (1)/(2)sin[θ(t) − ^θ(t)] = (1)/(2)sin(Δθ(t))
in cui
Δθ(t) rappresenta l’errore di fase, e
ε(t) è la grandezza in ingresso
al
vco.
Pensiamo ora di avere una
θ(t) di ingresso costante: nel caso in
cui risulti
Δθ = 0, si ottiene che
anche
ε = 0, ed il
vco
non altera la fase (esatta) della portante generata. Se invece
Δθ≷0
(e
|Δθ| < π), allora
ε≷0,
e dunque il
vco è portato ad aumentare
(diminuire) la fase della propria portante, riducendo di conseguenza
l’errore di fase. Nel caso in
cui, infine, la fase
θ(t) del segnale in arrivo vari nel
tempo, allora il
pll insegue
tali variazioni tanto più da vicino, quanto più è elevato il
coefficiente di proporzionalità
kf
tra
^θ(t) e l’integrale di
ε(t)
che compare nella
(11.25↑).
10.2.3
Errori di fase e di frequenza↓
Esaminiamo ora cosa accade nel caso in cui la
sincronizzazione di portante non sia perfetta, ma tra la portante del
demodulatore omodina (§
10.2.1↑)
e quella del segnale in arrivo
cos(2π(fo + Δf)t + θ)
siano presenti errori di fase
θ
e/o di frequenza
Δf: in tali
condizioni il risultato della demodulazione coerente risulta:
y(t)
= xc(t)cosω0tcos[(ωo
+ Δω)t + θ]
=
(1)/(2)xc(t)[cos(Δωt
+ θ) + cos((2ω0 + Δω)t + θ)]
Pertanto, mentre il termine a frequenza (circa) doppia viene eliminato
come di consueto dall’apposito filtro, sul segnale demodulato si
manifestano le seguenti distorsioni:
- per errori di fase, si ottiene (1)/(2)xc(t)cosθ
≤ (1)/(2)xc(t)
che... può annullarsi per θ = ±(π)/(2), mentre per θ
= π si ottiene una inversione di segno di xc(t);
- per errori di frequenza, si ottiene (1)/(2)xc(t)cos(Δωt)
e dunque il segnale demodulato, oltre ad invertire periodicamente
polarità, presenta una notevole oscillazione di ampiezza che, ad
esempio, nel caso di segnale audio può rendere il risultato
inintelligibile già con Δf pari
a pochi Hertz.
10.2.3.1
Demodulazione I e Q presenza di errore di fase
Poniamoci ora nel caso in cui nel segnale
modulato siano presenti entrambe le c.a. di b.f., ovvero
x(t) = xc(t)cosω0t
− xs(t)sinω0t, e si
desideri demodularle entrambe. Si ricorre allora al demodulatore
in
fase e quadratura (§
9.5↑),
che prevede due rami (detti anche
i e
q) con portanti di demodulazione,
appunto, in quadratura.
Applicando i risultati del §
9.5↑,
e con riferimento alla notazione adottata nello schema a lato, in
condizioni di
coerenza si ottiene che
yc(t) = (1)/(2)xc(t) e
ys(t) = (1)/(2)xs(t). Se viceversa il segnale ricevuto
presenta una fase incognita
θ, e
dunque
x(t) = xc(t)cos(ω0t
+ θ) − xs(t)sin(ω0t + θ), si ottiene invece
Ovviamente, per
θ = 0 le
(11.26↑) si riducono al caso noto, mentre
curiosamente
per uno sfasamento
θ = (π)/(2) le due c.a. di b.f. (a
parte un segno) si invertono di ruolo. Un ragionamento più approfondito
è fornito a pag.
1↑,
e dimostra che
θ rappresenta
l’angolo di cui ruota il piano dell’inviluppo complesso tra
x(t)
e
y(t). Ad ogni modo le
(11.26↑), sebbene vagamente
somiglianti
alle
(11.11↑),
sono perfettamente invertibili nel caso in cui
θ
sia noto.
10.2.4
Demodulazione incoerente in fase e quadratura↓
Si
tratta di uno schema utile nella
fase di ricerca della regione
di frequenza in cui è presente un segnale, oppure se si desidera verificare la presenza
o
meno di un segnale ad una determinata
frequenza, come ad esempio nel caso del radar.
In tale schema la coerenza di fase tra portante ricevuta e di
demodulazione viene deliberatamente
trascurata, adottando una
architettura che utilizza anche il ramo
in quadratura.
Se consideriamo un segnale ricevuto
am-bld-ps
che presenti una fase
θ incognita
rispetto alla portante del ramo I, ovvero
x(t) = m(t)cos(ω0t
+ θ)
il suo inviluppo complesso rispetto ad
f0
risulta
x(t) = m(t)ejθ = m(t)cosθ
+ jm(t)sinθ
le cui parti reale ed immaginaria corrispondono all’uscita dei filtri
passa-basso posti sui due rami, ossia
yc(t) = m(t)cosθ
e
ys(t) = m(t)sinθ, come si ottiene (a parte
un fattore
1⁄2) dalle
(11.26↑) avendo posto
xc(t) = m(t)
e
xs(t) = 0. Dunque il segnale
z(t)
di uscita risulta pari a
z(t) = √(y2c(t) +
y2s(t)) = |m(t)|√(cos2θ
+ sin2θ)
= |m(t)|
Pertanto, nonostante l’ignoranza della fase
θ,
siamo ancora in grado di individuare la
presenza di un segnale
modulante. L’operazione di modulo impedisce l’uso dello schema per
demodulare generici segnali
bld-ps
(mentre il caso
pi sarebbe
perfettamente demodulabile, ma in tal caso è più che sufficiente un
demodulatore di inviluppo (§
10.2.5↓)).
Al §
13.3.2↓
si discute di come usare il demodulatore incoerente al fine di decidere
per la presenza o meno di una sinusoide immersa nel rumore, e della
relativa probabilità di errore.
10.2.5 Demodulatore di inviluppo↓
per AM-BLD-PI
Si tratta del semplice circuito
non lineare riportato in figura. Durante i periodi
in cui il segnale in ingresso
x(t) è positivo rispetto alla tensione
d(t)
accumulata dal condensatore, quest’ultimo si carica, inseguendo
l’andamento dell’ingresso. Quando diviene
x(t) < d(t),
il condensatore si scarica sulla resistenza con una costante di tempo
τ = RC, abbastanza grande
rispetto ad
(1)/(f0),
e tale da permettere la ricostruzione dell’andamento di
xc(t).
Le oscillazioni a frequenza
f0
(e sue armoniche) possono quindi essere rimosse da un successivo filtro
passa-basso, mentre la costante
ap
è rimossa mediante un passa alto. D’altra parte, il valore di
τ
deve essere scelto né troppo piccolo né troppo grande, per evitare una
eccessiva seghettatura, oppure di non riuscire ad inseguire il messaggio
abbastanza rapidamente.
La semplicità del circuito è tale da farlo usare
nel maggior numero di casi possibili, anche se il suo uso prevalente è
per la demodulazione di segnali a
portante intera. D’altra
parte, la contemporanea presenza di altri segnali modulati con portante
diversa da quella del segnale desiderato, rendono obbligatoria
l’adozione di ulteriori elaborazioni, come discusso nel §
10.2.7↓ relativo alla demodulazione eterodina.
10.2.6
Demodulazione per segnali a banda laterale unica e ridotta↓
Nel caso di segnali
BLU, il segnale modulante può essere
riottenuto a partire da
x(t) utilizzando un demodulatore omodina,
in quanto la componente in fase
xc(t)
dell’inviluppo complesso è proprio pari al messaggio modulante
m(t).
In questo caso, occorre prestare particolare attenzione ad eventuali
errori di frequenza e di fase (
Δf e
θ) della portante di demodulazione
perché, essendo presenti entrambe le componenti
xc(t)
ed
xs(t), in uscita al demodulatore si
ottiene (per il caso di banda laterale superiore):
d(t) = kam(t)cos(Δωt
+ θ) − ka^m(t)sin(Δωt
+ θ)
Pertanto si nota come la modulazione
BLU sia più sensibile di
quella
BLD agli errori della portante di demodulazione, in
quanto ora anche un semplice errore di fase
θ
produce non solo un affievolimento, ma un vero fenomeno di
interferenza
tra
m(t) e
^m(t).
Per i segnali BLU a portante intera è
possibile anche usare un demodulatore di inviluppo: in tal caso è
necessario che l’ampiezza della portante sia sufficiente a non far
invertire x(t) neanche per i picchi di segnale più
ampi. L’analisi di questa esigenza determina una efficienza inferiore a
quella del caso BLD.
Anche nel caso BLR, è possibile ricorrere
ad un demodulatore di tipo omodina, purché il filtro H(f)
usato in trasmissione per rimuovere parte di una banda laterale presenti
alcune condizioni di simmetria attorno a f0.
10.2.7
Demodulatore eterodina↓
Questa tecnica utilizza una frequenza di
demodulazione
differente da quella della portante, ed è
particolarmente idonea (ma non solo) alla ricezione di una tra diverse
trasmissioni operanti in bande vicine tra loro, come nel caso della
diffusione broadcast (vedi §
9.1.1.1↑).
Infatti, nel caso in cui si volesse usare un demodulatore di inviluppo
(a patto che le emittenti trasmettano a portante intera) occorrerebbe
sintonizzare
l’emittente con un filtro passa banda
variabile (rappresentato
in figura da una freccia), la cui realizzazione a radio frequenza può
presentare difficoltà non trascurabili.
D’altro canto, adottando un demodulatore
omodina,
oltre al problema di realizzare il filtro passa-banda centrato
sull’emittente desiderata, si introduce anche quello di mantenere
coerenza tra la portante di demodulazione e quella ricevuta, essendo la
realizzazione di oscillatori variabili e di precisione, via via più
problematica all’aumentare delle frequenze in gioco.
Si ricorre allora ad un diverso schema che
potremmo definire
in due passi: volendo sintonizzare l’emittente
con portante
f0, il
segnale ricevuto (vedi fig. a lato) viene innanzitutto moltiplicato per
una portante
eterodina fe
≠ f0, ed in particolare
fe
= f0 − fM, ottenendo
l’effetto di
traslare la frequenza zero dei segnali in
ingresso, alla frequenza
±fe.
Allo stesso tempo, la componente a frequenze positive
Px + (f) centrata in
f0
si trasla in
f0±fe,
così come la componente a frequenze negative
Px − (f) centrata in
− fp si riloca in
− f0±fe. Ma dato che
f0 − fe
= fM, il risultato è che l’emittente
con portante
f0 = fM
+ fe risulta ora centrata in
fM
(detta anche detta
media frequenza↓ mf), e può essere isolata dalle altre
mediante un filtro
passa banda, centrato proprio su
fM,
e quindi demodulata da un demodulatore omodina
fisso.
Per sintonizzare una diversa emittente a frequenza
f0’, è sufficiente porre
fe’ = f0’
− fM, mentre il resto del ricevitore
(con i suoi amplificatori e filtri) opera su di un segnale centrato
sempre alla stessa media frequenza fM,
indipendentemente dall’emittente.
10.2.7.1
Frequenze immagine↓
In realtà un ricevitore eterodina prevede la
presenza di un ulteriore filtro posto prima del mixer con fe, necessario ad
evitare che in ingresso al filtro a media frequenza si presenti, oltre
all’emittente centrata a ±f0
= ±(fe + fM), anche quella a portante ±fi
= ±(fe − fM), per la quale cioè fe
− fi = fM.
La frequenza
fi
prende il nome di
frequenza immagine, in quanto è l’immagine
speculare di
f0
rispetto ad
fe;
in altre parole, l’utilizzo di una portante eterodina
fe
provoca la traslazione a media frequenza sia della emittente desiderata
e centrata in
f0 = fe
+ fM, che della sua immagine a
distanza
2fM,
centrata in
fi = fe
− fM.
Pertanto, in ingresso al ricevitore va anteposto un filtro, che elimini
dal segnale di ingresso le frequenze immagine, ovvero, una volta nota la
gamma di frequenze che si vuole sintonizzare, elimini tutte quelle a
distanza
2fM
dalla banda di interesse.
Esempio La
maggior parte dei ricevitori di trasmissioni am
Broadcast (540-1600 KHz) utilizza un ricevitore detto supereterodina,
con fe > f0
anziché fe < f0
come discusso sopra,
e fM = 455
KHz. Volendo ad esempio sintonizzare una stazione con fp
= 600 KHz, occorre una fe
= fM + fp = 1055
KHz. Ma allo stesso tempo anche l’emittente a portante fi
= fe + fM = 1510
KHz viene traslata nella stessa banda del filtro mf.
Dunque, prima del mixer occorre un filtro che elimini le stazioni
centrate su portanti fi
> fe. La scelta fM
= 455KHz, inferiore alla minima frequenza di 510 KHz, permette di utilizzare una
regione di frequenze libera da altre trasmissioni, che altrimenti
potrebbero essere amplificate dagli stadi ad alto guadagno posti
dopo il filtro mf. La scelta di fe
> f0 permette di posizionare il filtro di reiezione
delle frequenze immagine al disotto della fe,
rendendo più semplice la realizzazione del filtro.
La figura seguente mostra lo schema finale del
ricevitore con fe
> f0.
Elenchiamo di seguito i vantaggi conseguiti:
- la sintonia avviene mediante la variazione di fe,
ed il resto non cambia;
- la distanza tra f0
ed fM
scongiura il rischio di instabilità, che potrebbe verificarsi se parte
del segnale uscente dal filtro di media frequenza, amplificato, fosse
ri-captato dallo stadio di ingresso, mentre ora invece
l’amplificazione può aver luogo proprio nello stadio a media
frequenza;
- la scelta di fM
è una opportunità di progetto, che consente di realizzare il
filtraggio della emittente desiderata a frequenza sufficientemente
bassa da non porre grossi problemi;
- lo stadio di eterodina può essere ulteriormente ripartito in due
conversioni di frequenza successive (vedi ad es. la fig. 20.8↓ a pag. 1↓), di cui la seconda conversione opera la
sintonia, mentre la prima ha il solo scopo di traslare le frequenze in
gioco in un intervallo più basso, più idoneo ad esempio alla sua
trasmissione via cavo.