13.1
Il rumore nei segnali modulati
Consideriamo un segnale modulato, affetto da un
rumore additivo gaussiano bianco
n(t) (§
6.2.3↑),
con densità di potenza
Pn(f) = (N0)/(2)
Similmente a quanto già illustrato al §
8.3.1↑
per trasmissioni di banda base, prima di essere demodulato il segnale
ricevuto attraversa un
filtro di ricezione passa-banda
HR(f),
allo scopo di limitare la banda del rumore ricevuto, e quindi ridurre
l’entità della potenza di rumore in ingresso al ricevitore. Il filtro
HR(f) presenta un modulo costante nella
banda del segnale, mentre tende a zero al di fuori di tale banda. In
questo modo, il segnale utile
x(t) transita inalterato, ed il rumore
n(t)
viene limitato in banda, producendo
ν(t).
13.1.1
Rapporto segnale-rumore↓
e banda di rumore↓
Considerando la densità di potenza del segnale
modulato
Px(f)
e quella del rumore
Pν(f),
la qualità di ricezione (in funzione della frequenza) è descritta dal
rapporto
SNRRF(f) = (Px(f))/(Pν(f))
in cui
Px(f)
dipende dal tipo di modulazione (cap.
10↑),
mentre dopo il filtraggio passa-banda,
Pν(f)
risulta pari a
Pν(f) = Pn(f)|HR(f)|2 = (N0)/(2)|HR(f)|2
D’altra parte, ha senso valutare l’
SNR
complessivo, ovvero il rapporto tra le potenze di segnale e di
rumore
totali: la potenza di segnale risulta allora pari a
Px
= ∫∞ − ∞Px(f)df, mentre perquella di rumore
si ottiene
Pν
= ∫∞ − ∞(N0)/(2)|HR(f)|2df, valutando cioè
la potenza che attraversa il filtro di ricezione
HR(f).
A questo proposito, data l’impossibilità pratica di realizzare un filtro
passa-banda ideale (rettangolare),
HR(f)
è caratterizzata da una banda (a frequenze positive, vedi §
9.1.4↑)
Bν,
più estesa di
BRF
(che è la banda di segnale). La potenza totale del rumore uscente da
HR(f) risulta pertanto pari a
Pν
=
(N0)/(2)⋅∞⌠⌡ − ∞|HR(f)|2df =
=
N0∞⌠⌡0|HR(f)|2df
= N0BN|HR(f0)|2
Il termine
BRF
≤ BN ≤ Bυ
rappresenta la cosiddetta
banda di rumore definita come
BN = (∞⌠⌡0|HR(f)|2df)/(|HR(f0)|2)
ossia come la banda di un filtro ideale (rettangolare) che lascia
passare la stessa quantità di rumore.
13.1.2
Demodulazione di un processo di rumore↓↓
Il
rumore
ν(t) che esce dal filtro di ricezione
HR(f) è di tipo
passa-banda, e può
quindi essere descritto nei termini delle sue componenti analogiche di
bassa frequenza:
ν(t) = νc(t)cosω0t − νs(t)sinω0t
in cui, ricordando i risultati ottenuti al §
9.6.2↑,
νc(t) e
νs(t)
sono entrambe gaussiane se
ν(t) lo è; osserviamo inoltre che nel
caso in cui la banda di
ν(t) sia
stretta rispetto a f0, l’inviluppo complesso
ν(t) = νc(t) + jνs(t)
evolve
lentamente rispetto alla velocità di rotazione di
ν(t)ejω0t.
La figura
13.3↑
rappresenta la situazione in cui il rumore
n(t)
in ingresso a
HR(f) sia un processo ergodico bianco con
densità di potenza
Pn(f) = (N0)/(2), ed il filtro di ricezione
possegga una risposta in frequenza unitaria
|HR(f0)|2 =
1; in questo caso si ottiene che
Pν(f) = (N0)/(2) rectBN(f
− f0) + (N0)/(2) rectBN(f
+ f0)
e quindi
Pνc(f) = Pνs(f) = 2 P
+ ν(f
+ f0) = N0 rectBN(f)
Pertanto,
νc(t) e
νs(t)
risultano essere due processi congiuntamente gaussiani, ergodici, a
media nulla ed uguale varianza (e potenza)
σ2νc = σ2νs
= Pν = N0BN
In definitiva quindi, operando una demodulazione coerente in fase ed in
quadratura del segnale ricevuto, nelle componenti analogiche risultanti
saranno presenti i termini additivi
νc(t)
e
νs(t), entrambi di potenza
Pν = N0BN.