Prestazioni delle trasmissioni AM

Prec Sezione 13.1: Il rumore nei segnali modulati Su Capitolo 13: Prestazioni delle trasmissioni modulate Sezione 13.3: Detezione di sinusoide nel rumore Segue

13.2 Prestazioni delle trasmissioni AM↓

Per valutare il rapporto SNR per le diverse tecniche di modulazione am, esprimiamo il segnale modulato nei termini delle sue componenti analogiche

x_AM(t) = x_c(t)cosω₀t − x_s(t)sinω₀t

Demodulando in modo coerente in fase e quadratura il segnale x(t) affetto da rumore bianco n(t) e filtrato da H_R(f) come in figura,

Demodulazione coerente in fase e quadratura

si ottengono le due componenti analogiche per il segnale demodulato: ⎧⎨⎩ d_c(t) = x_c(t) + ν_c(t) d_s(t) = x_s(t) + ν_s(t) . Tra la potenza del segnale ricevuto e quella delle sue c.a. di b.f. sussiste [555] [555] Infatti i segnali x_c(t)cosω₀t e x_s(t)sinω₀t risultano ortogonali, e le potenze si sommano. la relazione: P_x = (1)/(2) P_{x_c} + (1)/(2) P_{x_s}.

13.2.1 Potenza di segnale e di rumore dopo demodulazione ed SNR ↓

Nel caso di modulazione am, siamo interessati alla sola componente in fase, che è sufficiente a fornire m(t); il rapporto tra P_{x_c} e P_{ν_c} fornirà dunque il valore di SNR che stiamo cercando. La tabella che segue mostra i valori delle componenti di segnale e di rumore, assieme alle rispettive potenze espresse in funzione di una medesima potenza di messaggio P_m, per tre casi di modulazione am, di cui discutiamo individualmente.

	x_c(t)	x_s(t)	P_{x_c}	P_x	B_N	P_{ν_c}
BLD-PS	m(t)	0	P_m	(1)/(2) P_m	2W	2WN₀
BLD-PI	√(η)(a_p + m(t))	0	η⋅α	(1)/(2)η⋅α = (1)/(2) P_m	2W	2WN₀
BLU-PS	(1)/(√(2))m(t)	∓(1)/(√(2))^m(t)	(1)/(2) P_m	(1)/(2) P_m	W	WN₀

Questa tabella estende quella al § 10.1.4↑, rispetto alla quale si considera il termine k_a ora inglobato in m(t), e quindi non più posto in evidenza; inoltre, si pone α = (a²_p + P_m). Inoltre, la banda di rumore B_N presa in considerazione nella tabella è la minima possibile, pari a quella del segnale modulato B_RF, direttamente legata (nella modulazione am) a quella (±W) del segnale modulante. Pertanto, i risultati che otterremo sono i migliori possibili: infatti, se B_N > B_RF, l’SNR risulterà peggiore. Precisiamo infine che nella valutazione dell’SNR che segue, ci si riferisce sempre ad una medesima potenza ricevuta P_x e ad una densità di rumore P_n(f) = (N₀)/(2), allo scopo di rendere confrontabili i risultati.

13.2.1.1 Modulazione BLD-PS

In questo caso si ha P_{x_c} = P_m e P_x = (1)/(2) P_m; dopo demodulazione il segnale d_c(t) = x_c(t) + ν_c(t) presenta dunque una potenza di segnale utile P_{x_c} = P_m = 2 P_x (con P_x pari alla potenza del segnale ricevuto) ed una potenza di rumore P_{ν_c} = 2WN₀; dunque un rapporto segnale-rumore pari a

SNR = (P_{x_c})/(P_{ν_c}) = (P_m)/(2WN₀) = ( P_x)/(WN₀) = SNR₀

in cui nell’ultima eguaglianza si definisce:

SNR di riferimento↓ La grandezza SNR₀ è denominata rapporto segnale-rumore di riferimento, ed è il rapporto tra la potenza di segnale ricevuto e la potenza di rumore in una banda pari a quella del messaggio di banda base. [556] [556] In virtù di questa definizione, SNR₀ è una grandezza che caratterizza le condizioni operative (P_x, P_n(f) = (N₀)/(2) e W sono grandezze indipendenti) ma non è legata alla particolare tecnica di modulazione adottata. Pertanto, esprimere SNR in funzione di SNR₀ permette il confronto tra i diversi tipi di modulazione a parità di condizioni operative.

Osserviamo dunque che la modulazione bld-ps non altera il rapporto SNR₀ di banda base, ovvero è come se il processo di modulazione fosse assente. Notiamo infine (e questo è valido anche per i casi che seguono) che SNR può riferirsi indifferentemente sia alle potenze di segnale che a quelle disponibili (vedi § 15.1.1.3↓), in quanto SNR₀ = ( P_x)/(WN₀) = ( P_x)/(WN₀)(4R_g)/(4R_g) = (W_{d_x})/(W_{d_N}).

13.2.1.2 Modulazione BLU-PS

In questo caso, per ottenere una P_x = (1)/(2) P_m uguale al caso bld-ps, le componenti x_c(t) ed x_s(t) devono essere poste rispettivamente pari a (1)/(√(2))m(t) e (1)/(√(2))^m(t) (vedi § 10.1.4↑).

A seguito del processo di demodulazione, si ottiene (vedi § 9.6.2↑) un rumore in banda base che occupa ancora una banda ±B_N come nel caso am-bld,

ma possiede una densità uguale a quella del rumore a radio frequenza (e non doppia come al § 13.1.2↑), in quanto i contenuti a frequenze positive e negative non si sovrappongono, come mostrato in figura. Pertanto risulta:

SNR = (P_{x_c})/(P_{ν_c}) = ((1)/(2) P_m)/(WN₀) = ( P_x)/(WN₀) = SNR₀

Dunque, si ottengono prestazioni identiche a quelle del caso am-bld. Si noti che il risultato è valido solo se ν(t) è effettivamente limitato alla sola banda B_RF del segnale blu: se infatti si fosse adottato un filtro con banda più larga, come ad esempio un H_R(f) con B_N = 2W, si sarebbe ottenuto P_{ν_c}(f) = N₀, ed SNR risulterebbe dimezzato.

13.2.1.3 Modulazione BLD-PI

Per ottenere una potenza di segnale ricevuto P_x = (1)/(2) P_m uguale ai due casi precedenti, si considera la ricezione di un segnale

x(t) = √(η)(a_p + m(t))cosω₀t in cui η = (P_m)/(a²_p + P_m)

dove η è proprio pari all’efficienza della bld-pi introdotta al § 10.1.1.4↑. Nel valutare l’SNR, faremo riferimento alla sola componente di messaggio √(η)m(t) del segnale demodulato P_x, che ha potenza ηP_m = 2ηP_x: la quantità a²_p si riferisce infatti alla portante non modulata, e non trasporta informazione. Si ha pertanto:

SNR = (P_{x_c})/(P_{ν_c}) = (2ηP_x)/(2WN₀) = η(2 P_x)/(2WN₀) = ηSNR₀

Dunque in questo caso constatiamo che la presenza della portante comporta una riduzione di prestazioni proprio pari all’efficienza η = (P_m)/(a²_p + P_m).

L’analisi fin qui esposta si riferisce però al caso di demodulazione coerente: invece per bld-pi si usa il demodulatore di inviluppo (§ 10.2.5↑) ! In tal caso, il segnale demodulato è il modulo dell’inviluppo complesso, ovvero

d(t) = |x(t) + ν(t)| = √([√(η)(a_p + m(t)) + ν_c(t)]² + ν²_s(t))

Nel caso in cui ν(t) sia piccolo, si può ottenere una approssimazione che ci riconduce al caso precedente.

In caso contrario, sorgono termini prodotto tra m(t) e ν_c(t), ed in definitiva l’SNR risulta peggiore (per bassi SNR₀) del caso di demodulazione sincrona omodina, come illustrato nella curva riportata a fianco.