13.2
Prestazioni delle trasmissioni AM↓
Per valutare il rapporto
SNR per
le diverse tecniche di modulazione
am,
esprimiamo il segnale modulato nei termini delle sue componenti
analogiche
xAM(t) = xc(t)cosω0t − xs(t)sinω0t
Demodulando in modo coerente in fase e quadratura il segnale
x(t)
affetto da rumore bianco
n(t) e filtrato da
HR(f)
come in figura,
si ottengono le due componenti analogiche per il segnale
demodulato:
⎧⎨⎩ dc(t)
=
xc(t) + νc(t)
ds(t)
=
xs(t) + νs(t) .
Tra la potenza del segnale ricevuto e quella delle sue c.a.
di
b.f.
sussiste la
relazione:
Px
= (1)/(2) Pxc
+ (1)/(2) Pxs.
13.2.1
Potenza di segnale e di rumore dopo demodulazione ed SNR ↓
Nel caso di modulazione am,
siamo interessati alla sola componente in fase, che è sufficiente a
fornire m(t); il rapporto tra Pxc
e Pνc
fornirà dunque il valore di SNR
che stiamo cercando. La tabella che segue mostra i valori delle
componenti di segnale e di rumore, assieme alle rispettive potenze
espresse in funzione di una medesima potenza di messaggio Pm, per tre casi
di modulazione am, di cui discutiamo
individualmente.
|
xc(t)
|
xs(t)
|
Pxc
|
Px
|
BN
|
Pνc
|
BLD-PS
|
m(t)
|
0
|
Pm
|
(1)/(2)
Pm |
2W
|
2WN0
|
BLD-PI |
√(η)(ap + m(t)) |
0
|
η⋅α
|
(1)/(2)η⋅α = (1)/(2)
Pm |
2W
|
2WN0
|
BLU-PS
|
(1)/(√(2))m(t) |
∓(1)/(√(2))^m(t)
|
(1)/(2)
Pm |
(1)/(2)
Pm |
W
|
WN0
|
Questa tabella estende quella al §
10.1.4↑, rispetto alla quale si considera il
termine
ka ora
inglobato in
m(t), e quindi non più posto in evidenza;
inoltre, si pone
α = (a2p
+ Pm).
Inoltre, la banda di rumore
BN
presa in considerazione nella tabella è
la minima possibile,
pari a quella del segnale modulato
BRF,
direttamente legata (nella modulazione
am)
a quella (
±W) del segnale
modulante. Pertanto, i risultati che otterremo sono
i migliori
possibili: infatti, se
BN
> BRF, l’
SNR
risulterà peggiore. Precisiamo infine che nella valutazione dell’
SNR
che segue, ci si riferisce sempre ad una medesima potenza ricevuta
Px
e ad una densità di rumore
Pn(f) = (N0)/(2), allo scopo di rendere
confrontabili i risultati.
13.2.1.1
Modulazione BLD-PS
In questo caso si ha
Pxc
= Pm e
Px
= (1)/(2) Pm;
dopo demodulazione il segnale
dc(t) = xc(t) + νc(t)
presenta dunque una potenza di segnale utile
Pxc =
Pm = 2
Px (con
Px pari alla
potenza del segnale ricevuto) ed una potenza di rumore
Pνc =
2WN0; dunque un rapporto segnale-rumore pari
a
SNR = (Pxc)/(Pνc) = (Pm)/(2WN0) = ( Px)/(WN0) = SNR0
in cui nell’ultima eguaglianza si definisce:
SNR di riferimento↓ La grandezza SNR0
è denominata rapporto segnale-rumore di riferimento, ed è il
rapporto tra la potenza di segnale ricevuto e la potenza di
rumore in una banda pari a quella del messaggio di banda base.
Osserviamo dunque che la modulazione
bld-ps
non altera il rapporto
SNR0
di banda base, ovvero è come se il processo di modulazione fosse
assente.
Notiamo infine (e questo è valido anche per i casi che seguono) che
SNR può riferirsi indifferentemente sia
alle potenze di segnale che a quelle disponibili (vedi §
15.1.1.3↓), in quanto
SNR0
= ( Px)/(WN0)
= ( Px)/(WN0)(4Rg)/(4Rg) = (Wdx)/(WdN).
13.2.1.2
Modulazione BLU-PS
In questo caso, per ottenere una
Px = (1)/(2) Pm uguale al
caso
bld-ps, le componenti
xc(t)
ed
xs(t) devono essere poste rispettivamente
pari a
(1)/(√(2))m(t) e
(1)/(√(2))^m(t)
(vedi §
10.1.4↑).
A seguito del processo di demodulazione, si ottiene (vedi §
9.6.2↑) un rumore in banda base che occupa
ancora una banda
±BN
come nel caso
am-bld,
ma possiede una
densità
uguale a quella del rumore a radio frequenza (e non
doppia
come al §
13.1.2↑),
in quanto i contenuti a frequenze positive e negative
non si
sovrappongono, come mostrato in figura. Pertanto risulta:
SNR = (Pxc)/(Pνc) = ((1)/(2) Pm)/(WN0)
= ( Px)/(WN0)
= SNR0
Dunque, si ottengono prestazioni
identiche a quelle del caso
am-bld. Si noti che il risultato è valido
solo se
ν(t) è effettivamente limitato alla sola
banda
BRF del
segnale
blu: se infatti si fosse
adottato un filtro con banda più larga, come ad esempio un
HR(f)
con
BN = 2W,
si sarebbe ottenuto
Pνc(f) = N0,
ed
SNR risulterebbe dimezzato.
13.2.1.3
Modulazione BLD-PI
Per ottenere una potenza di segnale ricevuto
Px
= (1)/(2) Pm
uguale ai due casi precedenti, si considera la ricezione di un segnale
x(t) = √(η)(ap
+ m(t))cosω0t in cui η = (Pm)/(a2p
+ Pm)
dove
η è proprio pari
all’efficienza della
bld-pi introdotta
al §
10.1.1.4↑.
Nel valutare l’
SNR, faremo
riferimento alla sola componente di messaggio
√(η)m(t)
del segnale demodulato
Px,
che ha potenza
ηPm
= 2ηPx:
la quantità
a2p
si riferisce infatti alla portante non modulata, e non trasporta
informazione. Si ha pertanto:
SNR = (Pxc)/(Pνc) = (2ηPx)/(2WN0) = η(2
Px)/(2WN0)
= ηSNR0
Dunque in questo caso constatiamo che la presenza della portante
comporta una riduzione di prestazioni proprio pari all’efficienza
η = (Pm)/(a2p
+ Pm).
L’analisi fin qui esposta si riferisce però al
caso di demodulazione coerente: invece per
bld-pi
si usa il demodulatore di inviluppo (§
10.2.5↑) ! In tal caso, il segnale demodulato è
il modulo dell’inviluppo complesso, ovvero
d(t) = |x(t) + ν(t)| = √([√(η)(ap + m(t)) + νc(t)]2
+ ν2s(t))
Nel caso in cui
ν(t)
sia piccolo, si può ottenere una approssimazione che ci riconduce al
caso precedente.
In caso contrario, sorgono termini
prodotto tra
m(t) e
νc(t),
ed in definitiva l’
SNR risulta
peggiore (per bassi
SNR0)
del caso di demodulazione sincrona omodina, come illustrato nella curva
riportata a fianco.