Torniamo ad occuparci della demodulazione in fase e quadratura introdotta al § 10.2.4↑, ora applicata al problema di rilevare la presenza o meno di una sinusoide s(t) immersa nel rumore entro una banda B_N, esigenza che affronteremo mediante il formalismo della verifica di ipotesi (§ 5.6.1↑) basata sul confronto tra il valore di una variabile di osservazione ρ, e quello di una soglia di decisione γ. In fig. 13.7↓ si mostra lo schema simbolico rappresentativo dei passaggi svolti per arrivare a ρ. Al § 14.6↓ verrà adottato uno schema analogo, applicato al caso della trasmissione numerica.

Nel caso in cui la sinusoide s(t) sia assente, le c.a. demodulate x(t) e y(t) sono rispettivamente pari a quelle del processo di rumore ν_c(t) e ν_s(t), che come sappiamo (§ 13.1.2↑) sono processi congiuntamente gaussiani ed incorrelati, con media nulla e varianza σ²  = N₀B_N, come rappresentato in fig. 13.3↑. Viceversa, qualora s(t) = Acosω₀t sia presente, all’uscita del ramo in fase x(t) si somma la componente in fase di s(t), pari ad A, che diventa dunque il nuovo valor medio della v.a. estratta da x(t), come rappresentato nella figura alla pagina seguente.

In assenza di segnale x ed y sono due v.a. gaussiane↓ indipendenti↓, a media nulla e uguale varianza σ², la cui d.d.p. congiunta di (x,  y) si ottiene [557]   [557] Vedi anche il § 5.5.1↑ come prodotto delle d.d.p. marginali, e vale La p_P, Φ(ρ,  φ) viene quindi calcolata come prescritto dalla (10.15↑) di pag. 1↑, valutando [558]  [558] 

Il calcolo dei due termini si esegue come

p_X, Y(x(ρ,  φ),  y(ρ,  φ))  = (1)/(2πσ²)exp⎛⎝  − (ρ²(cos²φ + sin²φ))/(2σ²)⎞⎠  = (1)/(2πσ²)exp⎛⎝  − (ρ²)/(2σ²)⎞⎠

|J(x,  y ⁄ ρ, φ)| = |||⎡⎢⎣ (∂x)/(∂ρ) (∂x)/(∂φ)     (∂y)/(∂ρ) (∂y)/(∂φ) ⎤⎥⎦|||  = |||⎡⎢⎣ cosφ  − ρsinφ     sinφ ρcosφ ⎤⎥⎦|||  = ρ(cos²φ  + sin²φ) = ρ

le espressioni per p_{X,  Y}(x(ρ,  φ), y(ρ,  φ)) e |J(x,  y ⁄ ρ, φ)|, e ottenendo così Le d.d.p. marginali p_P(ρ) e p_Φ(φ) si ottengono quindi saturando [559]   [559] Svolgiamo il calcolo solo per la prima relazione:

p_P(ρ) = ^π⌠⌡_− πp_P, Φ(ρ,  φ)dφ = (ρ)/(2πσ²)exp⎛⎝  − (ρ²)/(2σ²)⎞⎠⋅^π⌠⌡_− πdφ  = (ρ)/(σ²)exp⎛⎝  − (ρ²)/(2σ²)⎞⎠

la d.d.p. congiunta rispetto all’altra variabile, ricavando L’espressione di p_P(ρ) in (16.3↑) prende nome di d.d.p. di Rayleigh, graficata in fig. 13.9↓, mentre il valor medio e la varianza della v.a. ρ valgono rispettivamente E’ inoltre possibile mostrare che per essa vale la proprietà Quest’ultimo valore può rappresentare la probabilità di mancare un bersaglio per una distanza superiore a γ, nell’ipotesi che gli errori di puntamento orizzontale e verticale siano entrambi gaussiani, indipendenti, a media nulla ed uguale varianza.

Torniamo ora a considerare il caso in cui il tono s(t) sia presente, ed allora le relazioni (16.1↑) possono ancora essere applicate considerando, al posto di x, la v.a. x’, sempre gaussiana con varianza σ², ma ora con media pari ad A, ovvero la componente in fase di s(t).

Consideriamo ora il caso in cui il segnale s(t) (quando presente) giunga con una fase diversa da quella del demodulatore i-q, ovvero s(t) = Acos(ω₀t  + φ): come discusso al § 10.2.3.1↑, a ciò corrisponde una semplice rotazione degli assi dell’inviluppo complesso z = x  + jy, e quindi il suo modulo ρ  = √(z) continua ad essere descritto dalla medesima d.d.p. di Rice eq. (16.5↑). Inoltre, nel caso in cui anche la frequenza di s(t) è diversa [562]   [562] Purché la nuova frequenza f₀  + Δf rientri nella banda di ricerca B_N. da quella del demodulatore ovvero s(t) = Acos(ω₀ + Δω)t, l’inviluppo complesso z = x  + jy ruota con velocità angolare Δω, ma il suo modulo ρ rimane costante e pari ad A, dando luogo anche in questo caso alla d.d.p. di Rice.

in cui gli ultimi due valori sono riferiti ad eventi di errore.