13.3
Detezione di sinusoide nel rumore
Torniamo ad occuparci della
demodulazione in
fase e quadratura introdotta al §
10.2.4↑,
ora applicata al problema di rilevare la presenza o meno di una
sinusoide
s(t) immersa nel rumore entro una
banda
BN,
esigenza che affronteremo mediante il formalismo della
verifica di
ipotesi (§
5.6.1↑)
basata sul confronto tra il valore di una variabile di osservazione
ρ, e quello di una soglia di decisione
γ. In fig.
13.7↓
si mostra lo schema simbolico rappresentativo dei passaggi svolti per
arrivare a
ρ. Al §
14.6↓ verrà adottato uno
schema analogo, applicato al caso della trasmissione numerica.
13.3.1
Statistica della grandezza di osservazione
Nel caso in cui la sinusoide
s(t)
sia assente, le c.a. demodulate
x(t) e
y(t)
sono rispettivamente pari a quelle del processo di rumore
νc(t)
e
νs(t), che come sappiamo (§
13.1.2↑) sono processi
congiuntamente gaussiani ed incorrelati, con media nulla e varianza
σ2 = N0BN,
come rappresentato in fig.
13.3↑.
Viceversa, qualora
s(t) = Acosω0t
sia presente, all’uscita del ramo in fase
x(t)
si somma la
componente in fase di
s(t),
pari ad
A, che diventa dunque il
nuovo valor medio della v.a. estratta da
x(t),
come rappresentato nella figura alla pagina seguente.
Applichiamo dunque la teoria affrontata al §
5.4.2↑
sulle trasformazioni di v.a. per definire la d.d.p. della v.a.
ρ
= √(x2 + y2) che sarà confrontata con
la soglia
γ, e che corrisponde al
modulo
ρ = |z| dell’inviluppo complesso demodulato
z = x + jy,
ovvero
z = ρejφ
quando espresso in coordinate polari. Definiamo dunque la trasformazione
in oggetto, assieme alle rispettive funzioni inverse, come
e mostriamo come, nei due casi di segnale assente o presente, la v.a.
ρ assume rispettivamente la d.d.p. di
Rayleigh
oppure quella di
Rice.
Variabile
aleatoria di Rayleigh
↓↓
In assenza di segnale
x
ed
y sono due v.a. gaussiane
↓
indipendenti
↓,
a media nulla e uguale varianza
σ2,
la cui d.d.p. congiunta di
(x,
y) si ottiene
come prodotto delle d.d.p. marginali, e vale
La
pP, Φ(ρ,
φ) viene quindi calcolata
come prescritto dalla
(10.15↑)
di pag.
1↑,
valutando le espressioni per
pX,
Y(x(ρ,
φ), y(ρ,
φ))
e
|J(x,
y ⁄ ρ, φ)|,
e ottenendo così
pP, Φ(ρ,
φ) = (ρ)/(2πσ2)exp⎛⎝ − (ρ2)/(2σ2)⎞⎠
con ⎧⎨⎩
0 < ρ
< ∞
− π < φ
< π
Le d.d.p. marginali
pP(ρ)
e
pΦ(φ) si ottengono quindi saturando la d.d.p. congiunta rispetto all’altra variabile,
ricavando
L’espressione di
pP(ρ)
in (
16.3↑)
prende nome di d.d.p. di
Rayleigh,
graficata in fig.
13.9↓,
mentre il valor medio e la varianza della v.a.
ρ
valgono rispettivamente
mP = σ√((π)/(2))
e σ2P = σ2⎛⎝2
− (π)/(2)⎞⎠
E’ inoltre possibile mostrare che per essa vale la proprietà
Quest’ultimo valore può rappresentare la probabilità di
mancare un
bersaglio per una distanza superiore a
γ,
nell’ipotesi che gli errori di puntamento orizzontale e verticale siano
entrambi gaussiani, indipendenti, a media nulla ed uguale varianza.
Variabile
aleatoria di Rice
↓
Torniamo ora a considerare il caso in cui il
tono
s(t) sia presente, ed allora le relazioni
(
16.1↑)
possono ancora essere applicate considerando, al posto di
x,
la v.a.
x’, sempre gaussiana con
varianza
σ2, ma ora con
media pari ad
A, ovvero la
componente in fase di
s(t).
In tal caso, la d.d.p.
pP(ρ)
è detta di
Rice, ed ha espressione
dove
I0(z) = (1)/(2π)∫2π0 ezcosφdφ
è la funzione
modificata di Bessel
↓ del
primo tipo ed ordine zero,
la cui espressione non ne permette il calcolo in forma chiusa, ma che
può essere approssimata come
I0(z) ~ e(z2)/(4)
per
z≪1, e come
I0(z) ~ (ez)/(√(2πz))
per
z≫1.
Nella parte a sinistra in fig.
13.10↓ è mostrato
l’andamento di
pP(ρ)
con
σ = 1 e tre diversi valori di
A, che possiamo confrontare a
quello della seconda curva per la d.d.p. di Rayleigh alla pagina
precedente, ottenuto per lo stesso valore di
σ.
Notiamo infine che per
A = 0 si
torna al caso di Rayleigh, mentre per valori crescenti di
A,
l’andamento della d.d.p. di Rice approssima sempre più quello di una
gaussiana. Nella parte a destra di fig.
13.10↓
sono invece raffigurate le gaussiane bidimensionali che danno luogo alle
distribuzioni di Rayleigh e di Rice.
13.3.2
Detezione incoerente di sinusoide↓ nel rumore↓
Consideriamo
ora il caso in cui il segnale
s(t) (quando presente) giunga con una
fase diversa da quella del demodulatore
i-q,
ovvero
s(t) = Acos(ω0t
+ φ): come discusso al §
10.2.3.1↑,
a ciò corrisponde una semplice
rotazione degli assi
dell’inviluppo complesso
z = x
+ jy, e quindi il suo modulo
ρ
= √(z)
continua ad essere descritto dalla medesima d.d.p. di Rice eq.
(16.5↑). Inoltre, nel caso in cui
anche la frequenza di
s(t) è diversa
da quella del demodulatore ovvero
s(t) = Acos(ω0 + Δω)t,
l’inviluppo complesso
z = x
+ jy ruota con velocità angolare
Δω,
ma il suo modulo
ρ rimane costante
e pari ad
A, dando luogo anche in
questo caso alla d.d.p. di Rice.
Applichiamo ora i principi della decisione
statistica (§
5.6.1↑)
allo schema raffigurato in fig.
13.7↑,
sfruttando i risultati fin qui ottenuti: nel caso di segnale assente,
indicato come
ipotesi H0,
la v.a. di osservazione
ρ ha
d.d.p. di Rayleigh, mentre con
s(t) presente (
ipotesi H1),
d.d.p. di Rice. In entrambi i casi la dinamica dei valori di
ρ
è direttamente legata (attraverso le
(16.3↑)
e
(16.5↑)) alla
potenza di rumore in ingresso
σ2
= N0BN, pari a
quella delle c.a. di b.f.
νc(t)
e
νs(t), mentre per quanto riguarda il suo
valor medio, nell’ipotesi
H0
si ha
mρ = 0, e
per
H1 risulta
mρ
→ A con
A > σ.
In figura
13.11↓
si mostra dunque il confronto tra le due d.d.p. condizionate alle
ipotesi
p(ρ
⁄ H0) e
p(ρ ⁄ H1),
considerando (ad esempio)
σ = 1 ed
A = 4. Viene inoltre mostrato un
possibile
valore per la soglia
γ, contro il
quale confrontare
ρ per effettuare
la decisione, a seconda se
ρ≶γ,
a favore rispettivamente di
H0
ed
H1. La migliore
scelta per
γ si basa sulla
probabilità
a priori della presenza di
s(t),
e su criteri di utilità, o di rischio, guidati dalle probabilità dei
seguenti eventi:
- probabilità di detezione↓ Pd = ∫∞γp(ρ
⁄ H1)dρ
- probabilità di falso allarme↓
Pfa = ∫∞γp(ρ
⁄ H0)dρ
- probabilità di perdita↓ Pp = ∫γ0p(ρ
⁄ H1)dρ
in cui gli ultimi due valori sono riferiti ad
eventi di errore.
La nomenclatura adottata è quella tipica dei
radar; in tale contesto, può aver senso tentare di spostare γ
in modo da favorire l’uno o l’altro evento in base a considerazioni
strategiche. Nel caso in cui la gravità dei due errori
sia equivalente, e se le probabilità a priori di H0
ed H1 sono uguali, la
probabilità di errore
risulta minimizzata qualora si adotti una decisione di
massima
verosimiglianza↓
(vedi §
5.6.3↑),
ponendo
γ nel punto in cui le due
curve si intersecano (come in figura
13.11↑),
in modo da preferire l’ipotesi
Hi
per la quale la probabilità condizionata
Pr(ρ ⁄ Hi), ossia la verosimiglianza
ℒ(Hi ⁄ ρ), è più grande.
Una valutazione
asintotica delle
prestazioni può essere svolta notando che all’aumentare di
(A)/(σ), il valore di
γ
si avvicina (da destra) ad
(A)/(2); ponendo quindi
γ
= (A)/(2) e sostituendo le
espressioni di Rayleigh (
16.3↑)
e di Rice (
16.5↑)
per le d.d.p. condizionate in quella (
16.6↑)
della
Pe,
otteniamo
Per ciò che riguarda il primo termine, applicando il risultato (
16.4↑) si trova il valore
∞⌠⌡(A)/(2)(ρ)/(σ2)exp⎛⎝ − (ρ2)/(2σ2)⎞⎠dρ
= exp⎛⎝
− (A2)/(8σ2)⎞⎠
Per il secondo termine, osserviamo che il suo valore è ben più piccolo
del primo (si veda la figura tracciata per
A
= 4, o le considerazioni riportate al §
13.5.1↓),
e quindi può essere trascurato, fornendo in definitiva
per
(A)/(σ)≫1.
Ricordando ora che
(A2)/(2) rappresenta la potenza
della sinusoide, e che
σ2
è la potenza del rumore, il risultato trovato ha una immediata
interpretazione in termini di
SNR = (A2
⁄ 2)/(σ2):