Prestazioni della trasmissione FM

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13.4 Prestazioni della trasmissione FM

Quando si è analizzata la tecnica di modulazione fm, si è fatta più volte notare la sua natura non lineare (pag. 1↑). E’ lecito aspettarsi che questa caratteristica determini dei risvolti “bizzarri” per quanto riguarda l’SNR del segnale demodulato, e difatti è proprio così. In particolare, nel caso in cui la potenza del rumore in ingresso al ricevitore non sia eccessiva, avviene che:

la potenza del rumore dopo demodulazione diminuisce all’aumentare della potenza ricevuta;
l’SNR dopo demodulazione migliora all’aumentare della banda occupata.

Nel seguito sviluppiamo l’analisi che porta a questi risultati, valutando prima ciò che accade nella ricezione di una portante non modulata, e quindi discutendo come lo scenario si modifica in presenza di segnale. Infine, illustriamo i motivi che determinano il rapido degrado di prestazioni nel caso di rumore elevato.

13.4.1 Rumore dopo demodulazione FM↓

Analizziamo innanzitutto il comportamento di un demodulatore a discriminatore↓ [564] [564] Discusso al § 10.3.1.2↑, e che si basa sul demodulatore di inviluppo introdotto al § 10.2.5↑.,

Demodulatore FM a discriminatore

quando in ingresso è presente una portante non modulata di ampiezza [565] [565] Con questa posizione, la potenza della portante risulta ((√(2 P_x))²)/(2) = (2 P_x)/(2) = P_x. A = √(2 P_x) sovrapposta ad un rumore gaussiano bianco limitato in banda:

r(t) = Acosω₀t + ν_c(t)cosω₀t − ν_s(t)sinω₀t

A differenza del caso am, ora il filtro H_R(f) deve lasciar passare una banda di frequenze di estensione almeno pari alla banda che sarebbe occupata se la portate fosse modulata fm, e stimata applicando ad esempio la regola di Carson (eq. 11.31↑), ossia B_C≃2W(β + 1).

E’ allora immediato verificare come nel caso di portante non modulata le componenti analogiche di bassa frequenza di

r(t) = r_c(t) + jr_s(t)

valgono ⎧⎨⎩ r_c(t) = A + ν_c(t) r_s(t) = ν_s(t) come illustrato in figura. Notiamo quindi che, per piccoli valori (rispetto ad A) di ν_c(t) e ν_s(t), l’inviluppo complesso ricevuto r(t) rimane prossimo a quello (A) della portante non modulata. Come noto, ν_c(t) e ν_s(t) appartengono a due processi congiuntamente gaussiani, a media nulla e deviazione standard σ_{ν_c} = σ_{ν_s} = √(N₀B_N), in cui B_N ≥ B_RF è la banda di rumore del ricevitore, ed N₀ ⁄ 2 è la densità di potenza del rumore in ingresso.

Ricordiamo ora che nel caso fm il segnale informativo è legato alla derivata della fase θ(t): esprimiamo dunque r(t) mettendo θ(t) in evidenza:

r(t) = ℜ{r(t)e^jω₀t} = ℜ{|r(t)|e^jθ(t)e^jω₀t} = |r(t)|cos(ω₀t + θ(t))

Osserviamo quindi che il termine |r(t)| viene rimosso dal limitatore (vedi § 10.3.1.2↑) che usualmente è anteposto al discriminatore. Il segnale y(t) in uscita dal derivatore è quindi dato da

y(t) = ⎛⎝(f₀)/(k_f) + (1)/(2πk_f)(d)/(dt)θ(t)⎞⎠sin(ω₀t + θ(t))

che viene a sua volta elaborato da parte del demodulatore di inviluppo come fosse un segnale bld-pi, fornendo in definitiva un segnale demodulato

(16.10) d(t) = (1)/(2πk_f)(d)/(dt)θ(t)

13.4.2 Caso di basso rumore

Se P_x = (A²)/(2)≫σ²_{ν_c} = σ²_{ν_s} = N₀B_N allora, come osservato, l’inviluppo complesso del rumore ha modulo abbastanza più piccolo di A. Pertanto si può scrivere

θ(t) = arctan(ν_s(t))/(A + ν_c(t))≃arctan(ν_s(t))/(A)≃(ν_s(t))/(A)

e dunque

(16.11) P_θ(f) = (1)/(A²) P_{ν_s}(f) = (N₀)/(A²)

Ricordiamo ora (vedi § 3.7↑) che l’operazione di derivata (svolta dal discriminatore) equivale a moltiplicare lo spettro di ampiezza del segnale che si deriva per j2πf, ovvero moltiplicare la sua densità di potenza per (2πf)²: applicando questo risultato alla densità di potenza di (16.10↑) e tenendo poi conto della (16.11↑), si ottiene che la densità↓ di potenza dopo demodulazione (dovuta al solo rumore sovrapposto alla portante non modulata) risulta pari a

P_{ν_d}(f) = (1)/((2πk_f)²)(2πf)² P_θ(f) = ⎛⎝(f)/(k_f)⎞⎠²(N₀)/(A²) = (N₀)/((k_fA)²)f²

Infine, troviamo che la potenza totale di rumore dopo demodulazione risulta pari a

(16.12) P_{ν_d} = σ²_{ν_d} = 2^W⌠⌡₀(N₀)/((k_fA)²)f²df = (2)/(3)(N₀)/((k_fA)²)W³

in cui W è la banda del segnale modulante (se ci fosse), ed il rumore è limitato in tale banda in virtù del filtro passa basso posto a valle del discriminatore. Si noti che invece le potenze σ²_{ν_c} e σ²_{ν_s} sono relative alla banda B_N, legata a quella del segnale modulato.

Notiamo subito la veridicità della prima affermazione fatta ad inizio sezione: la potenza complessiva del rumore dopo demodulazione fm diminuisce all’aumentare della potenza del segnale ricevuto P_x = (A²)/(2). Una seconda osservazione molto importante è che, per effetto della derivata, la densità di potenza del rumore demodulato ha un andamento parabolico.

Segnale presente

Continuando ad ipotizzare P_x = (A²)/(2)≫σ²_{ν_c} = σ²_{ν_s} = N₀B_N possiamo osservare che, in presenza di una fase modulante α(t), la fase φ(t) dell’inviluppo complesso del segnale ricevuto r(t) è costituita dalla somma di α(t) con l’angolo θ(t) dovuto al rumore sovrapposto alla portante di ampiezza A.

Pertanto all’uscita del discriminatore si ottiene

d(t) = (1)/(2πk_f)(d)/(dt)(α(t) + θ(t))

Il rapporto SNR↓ è ora definito come SNR = (P_d)/(P_{ν_d}), in cui P_{ν_d} è la potenza del rumore demodulato, calcolata alla (16.12↑), e P_d è la potenza di segnale utile demodulato, pari a d(t) = (1)/(2πk_f)(d)/(dt)α(t). Sappiamo che α(t) = 2πk_f∫^t_− ∞m(τ)dτ, e pertanto la potenza di segnale utile demodulato risulta proprio pari a P_d = P_m = ∫^W_− WP_m(f)df. Quindi:

SNR = (P_d)/(P_{ν_d}) = (P_m)/((2)/(3)(N₀)/((k_fA)²)W³) = 3( P_mk²_f)/(W²N₀W)(A²)/(2) = 3(σ²_{f_d})/(W²)( P_x)/(N₀W) = 3β²SNR₀

Il risultato ottenuto conferma la seconda affermazione di inizio sezione: si ha un miglioramento rispetto all’SNR di riferimento SNR₀ (e dunque rispetto all’am) tanto maggiore quanto più è grande l’indice di modulazione β, ovvero quanto maggiore è la banda occupata dal segnale modulato (vedi eq. (11.31↑) a pag. 1↑).

Discussione dei passaggi

Innanzi tutto osserviamo che (A²)/(2) = P_x (la potenza ricevuta non cambia, ed è sempre uguale a quella della portante non modulata) e che (P_x)/(N₀W) = SNR₀, ovvero il rapporto tra potenza ricevuta e potenza di rumore nella banda del messaggio. Per mostrare che P_mk²_f = σ²_{f_d}, indichiamo con f_d(t) = f_i(t) − f₀ la deviazione della frequenza↓ istantanea f_i(t) rispetto ad f₀, ovvero la differenza tra la derivata della fase istantanea diviso 2π, e la frequenza portante:

f_d(t) = (1)/(2π)(d)/(dt)(2πf₀t + 2πk_f^t⌠⌡_− ∞m(τ)dτ) − f₀ = (f₀ + k_fm(t)) − f₀ = k_fm(t)

Pertanto si ha σ²_{f_d} = k²_fσ²_m = k²_fP_m se m(t) è a media nulla: praticamente, σ_{f_d} rappresenta la deviazione standard della frequenza istantanea, e per questo è una grandezza rappresentativa della larghezza di banda del segnale modulato. Infine, il rapporto (σ_{f_d})/(W) = β è identificato con l’indice di modulazione↓ β, in quanto rappresenta appunto una misura del rapporto tra l’occupazione di banda del segnale modulato, e la massima frequenza W presente nel segnale modulante.

Discussione del risultato

SNR = 3β²SNR₀. Notiamo innanzitutto che se β < (1)/(√(3))≃0, 58 non si ha miglioramento, anzi si peggiora. Ma con bassi indici di modulazione abbiamo già visto che fm ha un comportamento che può avvicinarsi a quello lineare dell’am, e dunque ci possiamo non-sorprendere. D’altra parte, SNR può migliorare (e di molto) con β > (1)/(√(3)): ad esempio, se β = 5 ⇒ 3β² = 75 volte meglio, ovvero 17,75 dB di miglioramento! In compenso, la regola di Carson ci dice che la banda occupata aumenta di circa 2(β + 1) = 12 volte quella di banda base... dunque il miglioramento di SNR avviene a spese dell’occupazione di banda [566] [566] In questo senso, il fenomeno può essere visto come una manifestazione del compromesso banda-potenza↓, vedi pagg. 1↑ e 1↑.. Ma ad esempio, non è una cosa tanto grave nel caso di trasmissioni via satellite, in quanto c’è riuso di frequenze in diversità di spazio.

Potrebbe ora sembrare che si possa aumentare indefinitamente β (nei limiti della banda disponibile) per migliorare a piacere l’SNR. In realtà non è così, dato che ad un certo punto l’analisi effettuata perde validità. Questo accade perché se β è troppo elevato, occorre che la banda di rumore del ricevitore sia più ampia (essendo aumentata la banda del segnale modulato) e perciò non si verifica più che P_x = (A²)/(2)≫σ²_{ν_c} = σ²_{ν_s} = N₀B_N. Le conseguenze di questo fatto sono illustrate alla sottosezione successiva.

Esercizio

Sia dato un trasmettitore FM con potenza trasmessa 1 Watt e segnale modulante m(t) con banda ±B = ±10 MHz. Un collegamento con attenuazione disponibile A_d = 100 dB lo interfaccia ad un ricevitore con temperatura di sistema T_ei = 2900 ^oK. Desiderando un SNR = 40 dB, calcolare:

1) Il fattore di rumore del ricevitore in dB;

2) Il minimo valore dell’indice di modulazione e la banda occupata a radiofrequenza B_RF;

3) Se il valore di β trovato in 2) non sia troppo piccolo, e quale sia il suo massimo valore;

4) Il nuovo valore β’, volendo dotare il collegamento di un margine pari a 25 dB.

Soluzione

1) Questa domanda va affrontata dopo lo studio del capitolo ↓, dove è mostrato che T_{e_i} = T₀(F − 1) + T_g = T₀F se T_g = T₀; assumiamo quest’ipotesi per vera e dunque F = (T_{e_i})/(T₀) = 10; pertanto F_dB = 10 dB. Per proseguire l’esercizio con le nozioni fin qui acquisite, esplicitiamo che P_n(f) = (N₀)/(2) = (1)/(2)kT_ei = (1)/(2)⋅1.38⋅10^− 23⋅2900≃2⋅10^− 20 Watt/Hz.

2) SNR = 3β²SNR₀ = 3β²(W_R)/(N₀W) = 3β²(W_TG_d)/(N₀B); il valore numerico di SNR risulta 10^{(SNR_dB)/(10)} = 10⁴, mentre quello di A_d è 10^{(A_d(dB))/(10)} = 10¹⁰ e quindi G_d = 1 ⁄ A_d = 10^− 10. Sostituendo i valori, ed invertendo la relazione, si ottiene β_min = √((SNR⋅N₀B)/(3⋅W_TG_d)) = √((10⁴⋅4⋅10^− 20⋅10⁷)/(3⋅10^− 10)) = 3.65. Applicando la regola di Carson per la banda: B_RF≃2B⋅(β + 1) = 2⋅10⁷⋅4.65 = 9.3⋅10⁷ = 93 MHz.

3) Perché l’analisi svolta abbia valore, deve risultare W_R≫σ²_{n_c} = σ²_{n_s} = N₀B_N = N₀B_RF = 4⋅10^− 20⋅9.3⋅10⁷ = 3.72⋅10^− 12 Watt, ma poiché W_R = (W_T)/(A_d) = (1)/(10¹⁰) = 10^− 10, si ha (W_R)/(σ²_{n_c}) = (10^− 10)/(3.72⋅10^− 12) = 26. Il valore di 26 soddisfa quindi pienamente l’esigenza di grande segnale. Per trovare β_Max, scriviamo allora β_Max ⇒ W_R = 10⋅σ²_{n_c} = 10⋅N₀⋅B_RF = 10⋅N₀⋅2B⋅(β_Max + 1), e dunque β_Max = (W_R)/(10⋅N₀⋅2B) − 1 = (10^− 10)/(8⋅10^− 12) − 1 = 12.5 − 1 = 11.5, a cui corrisponde una banda B_RF = 2B⋅(β_Max + 1) = 2⋅10⁷⋅12.5 = 250 MHZ, ed un guadagno di SNR = 10lg₁₀3β²_Max≃26 dB, mentre con β_min nominale si sarebbe ottenuto 10lg₁₀(3⋅3.65²) = 16 dB.

4) Il concetto di margine è introdotto al § 16.1↓; un margine di 25 dB equivale a far fronte ad una attenuazione supplementare A_d’ = 10^2.5 = 316 volte. Proviamo ad ottenere lo stesso SNR con un nuovo valore β’: SNR = 10⁴ = 3β’²(W_TG_dG_d’)/(N₀B) = 3β²(W_TG_d)/(N₀B)(β’²)/(β²)G_d’; dunque deve risultare (β’²)/(β²)G_d’ = 1 e quindi β’² = β²√((1)/(G_d’)) = 3.65√(316) = 3.65⋅17.7 = 64.88 .... non ce la facciamo. Infatti, al più (con β = β_Max = 11.5) si ha un margine di 10 dB.

13.4.3 Caso di elevato rumore

Qualora il valore efficace del rumore in ingresso al discriminatore sia confrontabile con quello del segnale utile ricevuto, si verifica un effetto soglia↓ all’aumentare del rumore, e l’SNR degrada molto rapidamente.

Per indagarne le cause facciamo riferimento allo schema a lato, che mostra l’inviluppo complesso della portante non modulata A, del rumore in ingresso ν(t), e del segnale ricevuto r(t), notando che se i valori efficaci dei primi due sono comparabili, può verificarsi il caso che r(t) ruoti attorno all’origine.

Quando ciò si verifica, a valle del derivatore che è presente nel discriminatore si determina un click, ovvero un segnale impulsivo di area pari a 2π, come illustrato nella figura seguente.

Questo fatto è facilmente verificabile, ascoltando una radio fm broadcast, che in condizioni di cattiva ricezione manifesta la comparsa di un rumore, appunto, impulsivo.

All’aumentare della potenza di rumore, aumenta la frequenza con la quale r(t) “aggira” l’origine, e pertanto aumenta la frequenza dei click, che tendono a produrre un crepitìo indistinto. Si è trovato che questo effetto si manifesta a partire da un SNR di ingresso pari a 10 dB, e per SNR peggiori di tale valore l’effetto aumenta molto rapidamente, cosicché si parla di effetto soglia.

Nel grafico a lato è riportato un tipico andamento dell’SNR dopo demodulazione, con l’indice di modulazione β che svolge il ruolo di parametro, e possiamo osservare come con un SNR di ingresso inferiore alla soglia, le prestazioni degradino rapidamente. Si è trovato che demodulando con un PLL, anziché con un discriminatore, la soglia si riduce a circa 7 dB.

Nella pratica comune il segnale di rumore può essere costituito da una interferenza dovuta ad una emittente adiacente (ossia con una portante prossima alla nostra) che sovramodula, ovvero adotta un indice di modulazione troppo elevato, ed invade la banda delle emittenti contigue.

13.4.4 Enfasi e de-enfasi↓

Abbiamo osservato che, in presenza di rumore bianco in ingresso, il rumore dopo demodulazione ha un andamento parabolico. Questo comporta che, se il messaggio modulante m(t) avesse un P_m(f) a sua volta bianco, l’SNR(f) alle frequenze più elevate sarebbe molto peggiore, rispetto al suo valore per frequenze inferiori. Nella pratica, si possono verificare (ad esempio) i seguenti problemi:

Nelle trasmissioni fdm-fm (vedi § 9.1.1.2↑), in cui più canali vengono modulati am-blu, multiplati in frequenza, e ri-modulati congiuntamente in fm a basso indice, i canali agli estremi della banda fdm sono più rumorosi;
nell’fm commerciale (vedi § 20.2↓), il segnale modulante è molto più ricco di energia alle basse frequenze, dunque il problema del rumore elevato in alta frequenza è aggravato dal “basso segnale”.

Il rimedio a tutto ciò consiste nel modificare m(t) mediante un circuito detto di enfasi, in modo tale che anch’esso presenti uno spettro “parabolico”, e poi aggiungere una rete di de-enfasi in ricezione (praticamente un integratore, ovvero un passa-basso) tale da ripristinare l’originale sagoma spettrale del segnale e rendere la densità di potenza del rumore nuovamente uniforme.

Con un pò di riflessione, ci si accorge che l’uso di una coppia enfasi-deenfasi equivale ad effettuare una trasmissione pm (vedi pag. 1↑) ! In realtà, la rete di enfasi non è un derivatore perfetto (altrimenti annullerebbe le componenti del segnale a frequenza prossima allo zero), ed esalta le frequenze solo se queste sono maggiori di un valore minimo. Pertanto, si realizza un metodo di modulazione “misto”, fm in bassa frequenza e pm a frequenze (di messaggio) più elevate.

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