Approssimazione della d.d.p. di Rice per SNR elevato

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13.5 Appendice

13.5.1 Approssimazione della d.d.p. di Rice per SNR elevato

Come già osservato a pag. 1↑, la funzione modificata di Bessel può essere approssimata come I₀(^ρA⁄_σ²) ~ ^{exp⎛⎝(ρA)/(σ²)⎞⎠}⁄_{√(2π(ρA)/(σ²))} per (ρA)/(σ²)≫1, e quindi in tal caso la funzione integranda che compare al secondo termine di (16.7↑) diviene

(16.13) p_RICE(ρ) ≃ (ρ)/(σ²)e^{− (ρ² + A²)/(2σ²)}I₀⎛⎝(ρA)/(σ²)⎞⎠ = (ρ)/(σ²)e^{− (ρ²)/(2σ²)}e^{− (A²)/(2σ²)}e^(ρA)/(σ²)(σ)/(√(2πρA)) = = √((ρ)/(2πσ²A))exp⎛⎝ − ((ρ − A)²)/(2σ²)⎞⎠ < (1)/(√(2π)σ)exp⎛⎝ − ((ρ − A)²)/(2σ²)⎞⎠

in cui l’ultimo passaggio tiene conto che nelle ipotesi poste risulta anche (A)/(σ)≫1, permettendo di scrivere ρ≃A + ε con ε≪A, e dunque √((ρ)/(2πσ²A))≃√((A + ε)/(2πσ²A)) < √((A)/(2πσ²A)) = (1)/(√(2π)σ).

Dato che la (16.13↑) è a tutti gli effetti la d.d.p. di una gaussiana con media A e varianza σ², l’integrale a secondo membro di (16.7↑) risulta inferiore a

(16.14) ^(A)/(2)⌠⌡_− ∞(1)/(√(2π)σ)exp⎛⎝ − ((ρ − A)²)/(2σ²)⎞⎠dρ = (1)/(2)erfc⎧⎩(^A⁄₂)/(√(2)σ)⎫⎭

Considerando di nuovo il verificarsi di ^A⁄_σ≫1, anche per l’argomento dell’erfc risulta z = (^A⁄₂)/(√(2)σ)≫1, ed in tal caso vale l’approssimazione [567] [567] Vedi https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_degli_errori erfc(z)≃(1)/(z√(π))e^− z². Sostituendo questa in (16.14↑) e quindi nella (16.7↑), il secondo membro di (16.7↑) si approssima come

(1)/(2)⋅(1)/(2)⋅(1)/(√(π))⋅(√(2)σ)/(^A⁄₂)⋅exp⎛⎝ − (A²)/(4⋅2⋅σ²)⎞⎠ = (σ)/(√(2π)A)exp⎛⎝ − (A²)/(8σ²)⎞⎠

che, essendo per ipotesi (A)/(σ)≫1, risulta trascurabile rispetto al primo termine (1)/(2)exp⎛⎝ − (A²)/(8σ²)⎞⎠ della (16.7↑).

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