14.1
Modulazione di ampiezza
In questo caso l’informazione numerica è
impressa sulla portante alterando le ampiezze di una (o entrambe, come
mostrato al §
14.3↓)
delle componenti analogiche di bassa frequenza.
14.1.1
Modulazione BPSK↓↓
E’ l’acronimo di
Bi-Phase Shift Keying, e individua una
tecnica per il trasporto dell’informazione basata sull’utilizzo di 2
possibili fasi per la portante:
con i valori
φk
pari a
±(π)/(2)
per rappresentare le cifre binarie
0 ed
1 trasmesse agli istanti
kTb.
Sebbene l’operazione così definita corrisponda ad una modulazione di
fase (§
10.3↑),
è facile mostrare come possa essere realizzata mediante una comune
modulazione di ampiezza
bld-ps (§
10.1.1↑) con segnalazione
antipodale (§
6.5.1↑).
Se definiamo infatti un segnale
m(t) come un codice di linea
nrz
bipolare (§
8.2.1↑),
che assume valori
±1 in corrispondenza
delle cifre binarie
0 ed
1,
allora il segnale
xBPSK(t) = m(t)cosω0t
è equivalente a quelle espresso dalla
(16.15↑),
e la sua mo-demodulazione coerente avviene mediante l’architettura
mostrata alla fig.
14.1↓.
Il segnale uscente dal moltiplicatore di demodulazione
ha espressione
y(t) = x(t)⋅2cosω0t = 2m(t)⋅cos2ω0t
= m(t)
+ m(t)⋅cos2ω0t
e dunque il codice di linea
m(t) può essere riottenuto mediante
filtraggio passa-basso. La parte centrale di fig.
14.1↑ mostra la
forma
d’onda che corrisponde alle elaborazioni previste, mentre nella
parte inferiore sono raffigurate le densità spettrali corrispondenti
(espresse in dB, vedi §
7.1↑),
tenendo conto
di eq.
(10.59↑),
di fig.
3.16↑, e
della mo-demodulazione
bld-ps (§
10.1.1.1↑).
Una buona caratteristica di questa tecnica è
l’andamento
costante dell’ampiezza della portante modulata, che
permette di utilizzare la massima potenza del trasmettitore, appena
inferiore al valore che inizia a produrre fenomeni di distorsione (§
7.3↑).
L’aspetto negativo è l’elevata occupazione di banda, legata all’uso di
forme d’onda rettangolari per
m(t) che, nel caso di trasmissione su
canali con limitazioni di banda, causa vincoli sulla massima frequenza
binaria. Per questi motivi, il metodo è particolarmente indicato nel
caso di collegamenti in cui la potenza di trasmissione è limitata, ma
non la banda.
Alternative
per l’impulso di banda base
g(t)
Riprendendo i concetti discussi al §
8.2↑, in questo
capitolo il segnale dati di
banda base (ovvero pre-modulazione)
è realizzato mediante una delle seguenti possibilità di scelta per
g(t):
- impulso nrz o rettangolare (pag. 1↑), che
determina una occupazione di banda multipla di fb
= 1⁄Tb;
- impulso con trasformata a coseno rialzato (§ 8.2.2.3↑), che
occupa una banda pari a (fs)/(2)(1
+ γ);
- impulso a banda minima (pag. 1↑),
che riduce l’occupazione di frequenza ad (fs)/(2), ma presenta difficoltà
realizzative.
Gli aspetti prima evidenziati per il
bpsk
sono quindi
sovvertiti qualora il segnale
m(t)
sia generato utilizzando forme d’onda
g(t)
con occupazione di banda limitata, come nel caso del coseno rialzato,
per il quale la banda occupata
a frequenze positive risulta pari
a
BBPSK = fb(1 + γ),
doppia rispetto al caso di banda base, a causa della modulazione
bld, mentre l’ampiezza del segnale modulato
non è più costante. Infatti, in corrispondenza degli istanti
kTb l’ampiezza di
xBPSK(t) assume esattamente uno dei valori
(±1)
del segnale dati
m(t), ma nell’intervallo tra due istanti
kTb < t < (k + 1)Tb
l’ampiezza dipende della somma di tutte
le code delle funzioni
g(t)
relative ai simboli trasmessi (vedi fig.
8.13↑
a pag.
1↑).
14.1.2
Modulazione L-ASK↓
Ci riferiamo ora al caso in cui si operi una
classica
am-
bld
(da cui il termine
Amplitude Shift Keying -
ask)
a partire da un segnale dati
m(t) multilivello (§
8.1.2.4↑),
producendo un segnale modulato di espressione
xL − ASK(t) = m(t)cos(2πf0t)
dove m(t) = ∑∞k
= − ∞ak⋅rectTs(t − kTs)
in cui
m(t) agli istanti
kTs
assume valori
ak
distribuiti uniformemente, in un intervallo
Δ,
su
L livelli di ampiezza
centrati sullo zero.
L’ampiezza di l-ask
subisce dunque variazioni, come mostrato nella figura soprastante per un
caso con L = 8, in cui è
rappresentato anche un diagramma detto costellazione, che
rappresenta i valori assunti
dall’inviluppo complesso in corrispondenza degli
istanti di simbolo, che in virtù della am-bld
presenta la sola c.a. di b.f. xc(t).
Ogni ak
rappresenta dunque M = log2L
bit, ed il periodo di simbolo Ts
= MTb ha durata multipla di Tb,
pertanto la banda occupata da l-ask è
minore rispetto a quella del bpsk
di un fattore pari a M = log2L().
Anche in questo caso, se
m(t) è generato mediante un impulso a
coseno rialzato anziché con uno
nrz,
la densità spettrale assume il noto andamento (vedi pag.
1↑) riportato ora in figura
14.4↑, assieme ai
corrispettivi valori in dB. Pertanto la banda a frequenze positive
occupata da
xL − ASK(t)
con
g(t) a coseno rialzato vale
Efficienza
spettrale
↓ o densità di
informazione
E’ definita come il rapporto
ρ
tra la frequenza binaria e la banda occupata
e si esprime in
bit/sec/Hz, rappresentando appunto quanti
bit/sec sono trasmessi per ogni Hz utilizzato. Nel caso di
l-ask
con impulsi a banda minima (
γ = 0)
si trova allora
mentre per altre forme di modulazione e/o di impulsi si ottengono altri
valori,
confrontando i quali si valuta la bontà di un metodo rispetto all’altro
nei termini dell’utilizzo di banda. Ad esempio, se compariamo il
risultato per
ρL − ASK
con quello relativo ad una trasmissione numerica di banda base (vedi
eq.
(10.74↑)),
notiamo un
peggioramento di un fattore 2, dovuto all’uso di una
am-
bld.
Come per il caso analogico, la banda potrebbe essere dimezzata adottando
una
am-
blu,
ma vedremo invece tra breve che si preferisce seguire approcci diversi,
come ad esempio
psk e
qam.
14.1.3
Valutazione delle prestazioni
SNR,
Eb ⁄ N0
ed efficienza spettrale
↓
Nell’analisi delle prestazioni delle tecniche di
modulazione numerica che affronteremo, la probabilità di errore per
simbolo
Pe(simbolo) o per bit
Pe(bit)
sarà espressa in funzione della grandezza
(Eb)/(N0), introdotta a pag.
1↑, che rappresenta
l’equivalente del rapporto segnale rumore
di riferimento↓
SNR0 = (
Px)/(N0W)
definito al §
13.2.1.1↑, nel senso che come
questo, consente il confronto tra tecniche diverse.
D’altra parte, una trasmissione
am-bld
numerica che occupi una banda a frequenze positive
B
si presenta in ingresso al decisore con un
in cui
Pn
è limitata da un filtro di ricezione, e
ρ
è l’efficienza spettrale definita alla
(16.17↑):
pertanto
(Eb)/(N0)
è anche indicato come
SNR normalizzato
o
SNR per bit. Nel caso di
g(t) a banda minima (§
8.2.2.3↑) la
(16.18↑) fornisce
ρL − ASK = log2L
e dunque
SNR = log2L(Eb)/(N0), mentre a pag.
1↑, eq.
(10.69↑), si deriva la
relazione tra
(Eb)/(N0)
e
SNR per il caso particolare di
un segnale dati
a coseno rialzato.
Invertendo la
(16.19↑)
si ottiene
(Eb)/(N0)
= (SNR)/(ρ), che evidenzia come, a
parità di
SNR, al miglioramento
dell’efficienza spettrale corrisponda una diminuzione di
(Eb)/(N0), che a sua volta è causa
di un peggioramento della probabilità di errore, in accordo con il
compromesso
banda-potenza↓, vedi
§
145↑.
Probabilità
di errore BPSK e L-ASK
Viene calcolata per un segnale l-ask
in funzione di Eb ⁄ N0,
al variare del numero di livelli, ottenendo il caso bpsk
per L = 2.
Al §
14.1.2↑
abbiamo osservato come l’
l-ask sia
ottenibile mediante una modulazione
am-bld
di un segnale dati di banda base (vedi anche fig.
14.5↓),
e come discusso al §
13.2.1.1↑,
l’
SNR in uscita dal filtro di
ricezione (e dunque l’
Eb⁄N0,
vedi eq.
(16.19↑))
per una modulazione
am-bld è pari al
rapporto
SNR0 tra
potenza ricevuta e potenza di rumore nella banda del segnale
modulante.
Pertanto, l’
SNR (e l’
Eb⁄N0)
dopo demodulazione di
l-ask è pari a
quello che si avrebbe per il segnale dati di banda base da cui ha
origine. Le prestazioni per un segnale dati
di banda base a
coseno rialzato sono ricavate al §
8.3.5↑,
che riportiamo quindi di seguito come probabilità di errore
↓
per simbolo dell’
l-ask
che è valida per un segnale con
γ = 0,
ossia a
banda minima.
Le curve di
PL − ASKe(bit)
in funzione di
(Eb)/(N0)||dB
sono quelle di fig.
8.24↑
a pag.
1↑,
dove si tiene anche conto dell’uso di un codice di Gray (§
8.3.5.1↑) per associare
i livelli a configurazioni binarie.
Come anticipato, per
L
= 2 la
(16.21↑)
esprime le prestazioni del
bpsk,
ovvero
che come prima si riferisce al caso di banda minima, ed i cui valori
sono graficati in fig.
14.6↑,
identica alla
(10.73↑)
ottenuta per il caso di banda base, ed alla
(10.35↑)
relativa al filtro adattato.
Per completare i confronti, osserviamo che ora
all’aumentare di
L la banda
(16.16↑) (per
γ
= 0)
BL − ASK = fs
= (fb)/(log2L)
si riduce, mentre la
Pe
(16.21↑)
aumenta: ciò può tornare utile in presenza di canali con limitazioni di
banda ma non di potenza, dato che in tal caso la
Pe
può essere ripristinata aumentando la potenza e quindi
Eb⁄N0, in
base al cosiddetto
compromesso banda-potenza↓.
Al §
14.5.1↓
vedremo come nella tecnica di
fsk
ortogonale lo stesso compromesso operi in direzione opposta, ovvero
riuscendo a migliorare
Pe
al prezzo di aumentare l’occupazione di banda.