Al § 14.5.1↑ si è introdotta la modulazione fsk ortogonale, e nelle note è iniziata la discussione relativa alla condizione di ortogonalità tra la forma d’onda sinusoidale di durata T_s ricevuta, e quella prodotta al ricevitore come ingresso ai correlatori di un banco. Prendiamo pertanto ora in considerazione segnali del tipo cos[2π(f₀  + Δf_k)t +  φ_k], in cui è inclusa una differenza (o errore) di fase aleatorio tra le forme d’onda, in modo da esaminare le differenze tra il caso di modulazione coerente ed incoerente.

Si riferisce al caso in cui φ  = 0. Il termine (sin(2πΔT_s))/(2πΔT_s) = sinc(2ΔT_s) si annulla per Δ  = (k)/(2T_s), e quindi la minima spaziatura tra portanti risulta Δ = (1)/(2T_s)  = (f_s)/(2); pertanto, le frequenze utilizzate dovranno essere del tipo f₀  + k(f_s)/(2).

In questo caso si ha φ  ≠ 0. In generale la (16.57↑) presenta entrambi i termini; mentre il primo (come già osservato) si annulla per Δ = (k)/(2T_s), il secondo invece è nullo solo se Δ = (k)/(T_s). Questa circostanza determina il risultato che occorre ora adottare una spaziatura tra portati doppia della precedente, e pari cioè a Δ  = f_s.

In figura 14.64↓ è mostrato il risultato del prodotto di due frequenze distanti (f_s)/(2) e calcolate in assenza di errore di fase (a sinistra) e con un errore di fase pari a φ  = (π)/(2). Si può notare come in questo secondo caso si perda l’ortogonalità tra i segnali, essendo il risultato prevalentemente negativo.

Il calcolo della P_e per bit accennato al § 14.8.5↑ si basa su quello relativo alle probabilità di errore↓ P_en condizionato alle singole portanti. Dato che la portante n-esima trasporta M_n bit/simbolo, la probabilità che un bit generico provenga dalla portante n-esima risulta pari a Pr(n) = (M_n)/(M) e quindi la probabilità che sia errato è pari a

Per determinare il valore di P_en per la portante n-esima si applica il risultato trovato al § 14.3.1↑ per la modulazione qam, che esprime P_en in funzione del numero di livelli L_n  = 2^M_n e dal rapporto ⎛⎝(E_b)/(N₀)⎞⎠_n per tale frequenza. Ma l’eq. (16.29↑) è ricavata considerando la densità di potenza del rumore in ingresso al ricevitore limitata da un filtro con banda pari a quella del segnale qam, mentre ora tale filtro lascia passare l’intera banda NΔ occupata dal segnale ofdm, e quindi occorre valutare l’effetto prodotto da questo rumore sui valori a_n ottenuti mediante fft. Inoltre, vorremmo pervenire ad un risultato valido anche in presenza di rumore non bianco, e/o di una distribuzione di potenza sulle portanti non uniforme. Pertanto, al posto del rapporto ^E_b⁄_N0 che compare nella (16.29↑) utilizziamo ora il rapporto SNR_n tra la quota di potenza di segnale che raggiunge l’n-esimo decisore, e la varianza (dovuta al rumore) della v.a. a_n su cui si basa tale decisione, ottenendo così [671]   [671] La (16.59↓) può essere derivata dalle (16.28↑) e (16.29↑) considerando (Eⁿ_b)/(Nⁿ₀)  = (SNR_n)/(log₂L_n), ovvero invertendo l’eq. (10.69↑) SNR = (E_b)/(N₀)(2log₂L)/((1  + γ)) con γ = 0 e notando che a differenza del caso di banda base, per segnali am la banda (e la potenza di rumore) raddoppia. Ma se questa è una spiegazione troppo sintetica, ripercorriamo tutti i passaggi.

Partiamo dalla probabilità di errore condizionata (10.66↑) P_δ  = erfc⎧⎩(Δ)/(2√(2)σ_N(L − 1))⎫⎭ del caso di multilivello di banda base, ed osserviamo che per un impulso rettangolare g(t) = rect_T0(t) la (10.70↑) si modifica in P_R  = (Δ²)/(12)(L +  1)/(L  − 1) in quanto P_R  = ∫P_R(f)df = ∫σ²_A(|G(f)|²)/(T₀)df dove σ²_A = (Δ²)/(12)(L +  1)/(L  − 1) come ottenuto al § 8.5.4↑, mentre ∫|G(f)|²df  = ∫T²₀sinc²(fT₀)df  = T₀ (vedi nota 14.6↑).

In tal modo, eseguendo i passaggi di cui alla nota 8.3.3.1↑ a pag. 1↑ otteniamo P_δ  = erfc{√((12 P_R^{(L  − 1)}⁄_(L + 1))/(2√(2)σ_n(L − 1)))} =  erfc{√((3)/(2)(1)/(L²  − 1)SNR)} che conduce alla (16.59↓) ricordando che per il qam ogni ramo ha √(L) livelli, e che eseguendo il valore atteso rispetto alle probabilità dei simboli si ottiene P_e(bit)  = ⎛⎝1  − (1)/(√(L))⎞⎠P_δ (vedi eq. (10.67↑)).

ed in cui \strikeout off\uuline off\uwave offP_αn\uuline default\uwave default esprime la probabilità di errore su di uno dei rami (in fase od in quadratura) della n-esima costellazione qam con L_n punti, che rappresentano gruppi di bit secondo la codifica di Gray. Per il calcolo di

SNR_n = (P^c_Rn)/(P^c_Nn) = (P^s_Rn)/(P^s_Nn) = ((1)/(2)  P_Rn)/((1)/(2)  P_Nn) = (P_Rn)/(P_Nn)

osserviamo che la potenza P_Rn dell’inviluppo complesso del segnale ricevuto sulla portante n-esima è pari a

P_Rn  = 2 P_Rn  = 2(T₀)/(T)α_nP

in cui P è la potenza totale ricevuta, e α_n  = (P_n)/(P) è la frazione di potenza assegnata alla n-esima portante. Resta quindi da determinare P_Nn.

Per quanto riguarda P_Nn, si tratta di applicare la (16.47↑) alla sequenza {( − 1)^hn(hT_c)} dei campioni dell’inviluppo complesso del rumore, e determinare il valore tenendo conto del fatto che i valori n(hT_c) sono a media nulla, che (con n fissato) la fft ne effettua una combinazione lineare con coefficienti e^{− j2π(h)/(N)n}, e che essendo n(t) ergodico è possibile scambiare medie temporali e di insieme. Sviluppando e tenendo conto che E{( − 1)^{h  − k}n(hT_c)n^*(kT_c)} = e^{jπ(h − k)}ℛ_N((h − k)T_c) otteniamo [672]  [672] La riduzione da due ad una sommatoria, si ottiene scrivendo esplicitamente tutti i termini della doppia sommatoria, e notando che si ottiene per N volte lo stesso termine ℛ_N(0), N − 1 volte i termini ℛ_N(T_c)e^jπe^{− j2π(1)/(N)n} e ℛ_N(  − T_c)e^− jπe^j2π(1)/(N)n, N − 2 volte quelli ℛ_N(2T_c)e^j2πe^{− j2π(2)/(N)n} e ℛ_N(  − 2T_c)e^− j2πe^j2π(2)/(N)n, e così via. in cui l’ultima riga semplifica l’espressione introducendo la sequenza {z(m)} di lunghezza N, che si ottiene campionando agli istanti t = mT_c con T_c = (1)/(NΔ). Mostriamo ora come, per N sufficientemente elevato, la (16.60↑) possa essere calcolata in funzione dei campioni di Z(f) = ℱ{z(t)}, ed in particolare di come risulti Analizzando i termini che compaiono in (16.61↑), osserviamo che il prodotto ℛ_N(t)e^{j2π(t)/(2T_c)} ha trasformata pari a P_N(f), traslata in frequenza di  − (1)/(2T_c)  =  − (NΔ)/(2), ovvero mentre il termine ⎛⎝1 − (|t|)/(NT_c)⎞⎠  = tri_2NTc(t) = tri_(2)/(Δ)(t) possiede come noto trasformata ℱ{tri_(2)/(Δ)(t)} = (1)/(Δ)sinc²⎛⎝(f)/(Δ)⎞⎠; pertanto per N elevato il prodotto z(t) = ℛ_N(t)e^{j2π(t)/(2T_c)}⋅tri_(2)/(Δ)(t) ha trasformata avendo approssimato (1)/(Δ)sinc²⎛⎝(f)/(Δ)⎞⎠ come un impulso di area unitaria, per NΔ grande rispetto a Δ.

Siamo finalmente in grado di scrivere avendo posto T₀  P = E_s = E_bM pari all’energia di un simbolo di durata T₀  = (1)/(Δ), ed avendo riscritto α_n = (P_n)/(P) come α_n  = (E_bn)/(E_b) in modo da porre in evidenza la E_bn della portante n-esima. La P_e per portante risulta quindi

Se P_N(f) non dipende da f, possiamo scrivere e semplificare la (16.62↑), sostituendo ad N₀(f_n) la costante N₀. In questo caso, il risultato P_Nn  = 2Δ⋅ N₀ può essere ottenuto direttamente dalla (16.60↑): infatti, risulta e dunque ℛ_N(t) = 0 con t  = mT_c = (m)/(NΔ) per m ≠ 0. Ciò permette di scrivere in definitiva

Proviamo a verificare se la modulazione ofdm è vantaggiosa in termini di prestazioni rispetto ad una qam monoportante che trasporti il medesimo flusso binario f_b, occupi la stessa banda, ed a parità di potenza impiegata. Nel caso ofdm, considerando un tempo di guardia T_g = T − T₀ nullo, in presenza di rumore bianco, e scegliendo un intervallo di simbolo T₀ = (1)/(Δ) da cui derivare M^OFDM =  T₀⋅f_b, si ottiene α_n = (1)/(Ñ) e dunque valori E_bn  = α_nE_b = (E_b)/(Ñ) uguali per le diverse portanti; pertanto la 16.62↑ diviene Nel caso qam a portante singola, considerando un impulso a coseno rialzato e roll-off γ  = (N)/(Ñ) − 1 si determina una occupazione di banda pari a B = f_s(1 + γ) che, se eguagliata a quella del caso ofdm, fornisce f_s = ÑΔ  = (Ñ)/(T₀) e quindi M^QAM  = (f_b)/(f_s) = (M^OFDM)/(Ñ). Pertanto, visto il risultato del § 14.3.1↑ si ottiene che risulta identico a P^OFDM_e qualora si noti che L_n  = 2^M_n = 2^{(MOFDM)/(Ñ)} e L  = 2^MQAM = 2^{(MOFDM)/(Ñ)} = L_n.