14.2
Modulazione di fase
Prendiamo ora in esame il caso in cui
l’informazione viene rappresentata dalla fase della portante.
14.2.1
Modulazione QPSK↓↓ ed
L-PSK↓
Questi due acronimi si riferiscono alla
possibilità di usare rispettivamente
quattro oppure
L
> 4 scelte diverse per la
fase, dando luogo ad un segnale modulato con espressione
xL − PSK(t) = acos(ω0t
+ φ(t))
e quindi un inviluppo complesso
in cui
La generica fase
φi = (π)/(L) + i⋅(2π)/(L) con
i
= 0, 1, ⋯L − 1 rappresenta una delle
L
= 2M possibili combinazioni di
M
bit di ingresso, e corrisponde ad uno dei punti mostrati nelle
costellazioni
di figura, che individuano il valore dell’inviluppo complesso ricevuto
in assenza di rumore negli istanti di simbolo
t
= kTs ed a cui si fanno corrispondere
gruppi di bit in accordo alla codifica di Gray (§
8.3.5.1↑). Lo stesso
valore di fase è quindi mantenuto per tutto il periodo di simbolo se
φ(t)
è realizzata mediante rettangoli come indicato nella
(16.24↑). Ma
l’espressione
(16.23↑)
di
xL − PSK(t)
in termini di
{xc,
xs}
evidenzia come il risultato sia ottenibile mediante una modulazione
am in fase e quadratura,
suggerendo l’implementazione del modulatore secondo lo schema di fig.
14.8↓,
in cui i valori di
cosφi
e
sinφi per gli
L diversi gruppi di
M
bit sono precalcolati in una memoria a sola lettura, ed impiegati come
ampiezze per realizzare due segnali dati di banda base, usati quindi
come c.a di b.f. per il modulatore in fase e quadratura.
L’uso di un codice
nrz
per
φ(t), e quindi per
xc
ed
xs, produce
una occupazione di banda elevata per
xL
− PSK(t),
la cui densità di potenza in tal caso
acquisisce un andamento
⎛⎝(sinx)/(x)⎞⎠2
centrato in
f0 e con
lobo principale di estensione pari ad
2fs = 2fb⁄M,
come rappresentato in figura per una densità di potenza in dB.
L’occupazione di banda può essere limitata a
BL − PSK = fs(1 + γ)
se si realizza
φ(t) mediante impulsi
g(t)
a coseno rialzato, potendo così scrivere
Adottando un impulso
g(t) a coseno rialzato anziché
rettangolare,
x(t) passa dai punti della costellazione
solo negli istanti di simbolo, mentre nell’intervallo tradue di
essi segue traiettorie con ampiezza variabile, come illustrato nella figura a fianco,
non permettendo al segnale modulato di rispettare la proprietà di
ampiezza costante che una modulazione angolare dovrebbe avere. Pertanto la scelta tra
nrz
o coseno rialzato dipende dalla necessità di limitare la dinamica delle
ampiezze, piuttosto che l’estensione della banda.
Altrettanto interessante può essere riflettere
sulla fig.
14.11↓
in cui si mostrano
xc
ed
xs ancora per
una modulazione
qpsk, valutate con
g(t)
a coseno rialzato (
γ = 0.5) per 10
campioni per simbolo, e mostrate per 10 simboli in coordinate cartesiane
e polari; al centro è mostrato la corrispondente evoluzione per
x(t),
mentre a destra si mostra la traiettoria di
x(t)
visualizzata per 100 simboli.
Per
l-psk
l’efficienza spettrale è identica a quanto ottenuto per l’
ask
con ugual numero di livelli, dato che per entrambe la frequenza di
simbolo risulta pari a
fs
= (fb)/(log2L), e dunque (per coseno
rialzato con
γ = 0) si ottiene
ρL − PSK = (fb)/(B) = (fslog2L)/(fs) = log2L
Dal punto di vista delle prestazioni, occorre distinguere il caso in cui
L = 4 (indicato come
qpsk
=
Quadrature Phase Shift Keying) da quello con
L
generico, in quanto sussistono due diverse architetture per il
demodulatore.
14.2.2
Prestazioni QPSK↓
In questo caso (
psk
con 4 livelli) il demodulatore coerente è costituito da due rami
indipendenti in fase e quadratura (vedi fig.
14.13↓),
che operano ad una frequenza di simbolo
fs
pari a metà di quella binaria. In virtù di come la codifica di Gray
dispone la costellazione (vedi fig.
14.12↓),
ogni ramo del decisore opera su di uno solo della coppia di bit
associati al simbolo trasmesso; le due decisioni vengono poi
ri-serializzate. Entrambi i rami si comportano quindi come un
demodulatore
l-
ask
(§
14.1.2↑)
con
L=2, ovvero un
bpsk,
e per un segnale dati a coseno rialzato
a banda minima (
γ
= 0) la probabilità di errore relativa ad ogni singolo ramo è
espressa dalla
(16.22↑),
fornendo
Pce = Pse
= (1)/(2) erfc{√((Eb)/(N0))}
che rappresenta la probabilità che una componente analogica di
b.f. ottenuta demodulando il segnale con sovrapposto rumore, valutata
all’istante di decisione
kTs,
giaccia nell’area mostrata in basso della figura
14.12↑.
La probabilità di errore
↓
(per impulso a banda minima)
in un bit della sequenza
re-serializzata risulta quindi
in cui
Pr{c} = Pr{s} = 1⁄2 sono le probabilità che
il bit ricevuto provenga dal ramo in fase o da quello in quadratura;
d’altra parte, la probabilità di errore
per simbolo risulta
Pe(simbolo)≃Pce + Pse
= erfc{√((Eb)/(N0))}
(trascurando nuovamente la probabilità di un errore contemporaneo su
entrambi i rami, vedi nota
14.2.2↑).
Osserviamo quindi come il
qpsk
consenta di ottenere
le stesse prestazioni del
bpsk,
graficate in fig.
14.6↑,
utilizzando solo
metà banda, in virtù del
Ts
doppio
:
BQPSK = fs
= (fb)/(2)(1 + γ)
Quest’ultima osservazione permette di scrivere
ρQPSK
= (fb)/(BQPSK) = 2 = 2⋅ρBPSK,
e suggerisce un ulteriore
punto di vista rispetto all’invarianza delle prestazioni rispetto al
bpsk: infatti, dimezzando la banda si
dimezza anche la varianza del rumore in ingresso al demodulatore, e ciò
compensa la riduzione di ampiezza delle c.a. di b.f. del segnale per il
caso
qpsk.
Ottimalità
di BPSK e QPSK
Se queste tecniche sono attuate mediante un
G(f)
= rectfs⁄2(f) ovvero a banda minima, in presenza
di demodulazione
coerente il filtro passabasso che precede il
campionatore del decisore costituisce
un filtro adattato (vedi
§
6.5.1↑)
con segnalazione
antipodale, e le prestazioni sono quelle
ottime, come si verifica confrontando l’eq.
(10.35↑)
con le
(16.22↑)
e
(16.26↑).
Se viceversa
G(f) non è a banda minima, ma di
Nyquist, la coerenza di demodulazione permette comunque di adottare in
ricezione un filtro adattato (§
8.7↑)
al posto del passabasso mostrato in fig.
14.5↑,
e dunque ottenere le medesime prestazioni.
14.2.3
Prestazioni L-PSK↓
In questo caso il demodulatore ha una differente
architettura (vedi fig.
14.14↓),
ed il decisore opera congiuntamente su entrambi i rami, per ottenere la
stima del gruppo di
M = log2L
bit associati ad una delle possibili fasi
φk.
Indicando con
dkc, s
le c.a. di b.f. demodulate all’istante
t
= kTs, la decisione avviene calcolando
φdk = arctan(dks)/(dkc) e stabilendo all’interno
di quale regione di decisione
^φk
cada la fase ricevuta
φdk,
a cui il decisore fa corrispondere una codeword di Gray (fig.
14.16↓).
All’aumentare del numero di livelli
L,
la potenza di rumore (che concorre alla probabilità di errore)
diminuisce con la stessa legge di riduzione della banda, ovvero con il
log2L, mentre la spaziatura
tra le regioni di decisione diminuisce con legge lineare rispetto ad
L. Pertanto, l’aumento del numero di
livelli produce un peggioramento della
Pe.
Senza approfondire i relativi conti, forniamo direttamente il risultato
(con
γ = 0) della probabilità di
errore sul simbolo
↓
che rappresenta la probabilità di decidere di aver ricevuto un
^φk
≠ φk (diverso da quello trasmesso) e
che, se
Pe≪1, è
approssimata con la probabilità di invadere (a causa del rumore) una
regione di decisione contigua (vedi fig.
14.14↓).
Confrontando il risultato con quello (eq.
16.21↑) per l’
ask,
osserviamo che l’assenza del termine
⎛⎝1
− (1)/(L)⎞⎠ è
dovuto alla
circolarità della costellazione, che il termine
sin⎛⎝(π)/(L)⎞⎠ è un
fattore che rappresenta il peggioramento all’aumentare di
L,
ed il
log2L sotto
radice è il miglioramento dovuto alla riduzione di banda. Il risultato (
16.27↑) è
una approssimazione valida se
Pe≪1,
e via via più accurata con
L
crescente.
Nella tabella che segue è riportato il risultato del
confronto, per uno stesso valore di
Pe,
dei valori
(Eb)/(N0)
necessari per
l-psk (
16.27↑), contro quelli
necessari
(16.21↑)
per
l-
ask:
si è eseguito il rapporto tra gli argomenti degli
erfc{},
si è elevato al quadrato, indicato come
Δ,
ed il risultato è espresso in dB: quest’ultimo rappresenta (a parte il
termine
⎛⎝1 − (1)/(L)⎞⎠dell’
l-
ask) il
miglioramento di prestazioni in dB dell’
l-psk
rispetto ad
l-
ask,
ovvero i dB di potenza risparmiata a parità di probabilità di errore.
Tale risultato (4-5 dB di miglioramento) porta a prediligere sempre il
psk rispetto all’
ask.
E’ opportuno osservare che, qualora si desideri
ottenere un valore di probabilità di errore
per bit, questo è
pari a
Pe(bit) = (Pe(simbolo))/(log2L)
a patto di associare, a livelli contigui, gruppi di bit differenti in
una sola posizione, come previsto dal codice di Gray
(mostrato nella figura
14.16↓),
in modo che l’errore tra due fasi
φk
contigue provochi l’errore di un solo bit nel gruppo di
log2L
bit associati a ciascun livello. Le curve di probabilità di errore per
bit, riportate anch’esse in fig.
14.16↓,
sono calcolate in questo modo.