Prendiamo ora in esame il caso in cui l’informazione viene rappresentata dalla fase della portante.

Questi due acronimi si riferiscono alla possibilità di usare rispettivamente quattro oppure L  > 4 scelte diverse [580]  [580] Il caso in cui L = 2 ricade nel bpsk già discusso per la fase, dando luogo ad un segnale modulato con espressione e quindi un inviluppo complesso in cui La generica fase φ_i = (π)/(L) + i⋅(2π)/(L) con i  = 0, 1, ⋯L − 1 rappresenta una delle L  = 2^M possibili combinazioni di M bit di ingresso, e corrisponde ad uno dei punti mostrati nelle costellazioni di figura, che individuano il valore dell’inviluppo complesso ricevuto in assenza di rumore negli istanti di simbolo t  = kT_s ed a cui si fanno corrispondere gruppi di bit in accordo alla codifica di Gray (§ 8.3.5.1↑). Lo stesso valore di fase è quindi mantenuto per tutto il periodo di simbolo se φ(t) è realizzata mediante rettangoli come indicato nella (16.24↑). Ma l’espressione (16.23↑) di x_{L  − PSK}(t) in termini di {x_c,   x_s} evidenzia come il risultato sia ottenibile mediante una modulazione am in fase e quadratura [581]   [581] che non è una modulazione am-blu dato che x_s ≠ ^x_c, suggerendo l’implementazione del modulatore secondo lo schema di fig. 14.8↓, in cui i valori di cosφ_i e sinφ_i per gli L diversi gruppi di M bit sono precalcolati in una memoria a sola lettura, ed impiegati come ampiezze per realizzare due segnali dati di banda base, usati quindi come c.a di b.f. per il modulatore in fase e quadratura.

L’uso di un codice nrz per φ(t), e quindi per x_c ed x_s, produce una occupazione di banda elevata per x_{L  − PSK}(t), la cui densità di potenza in tal caso acquisisce un andamento ⎛⎝(sinx)/(x)⎞⎠² centrato in f₀ e con lobo principale di estensione [582]  [582] Infatti un rettangolo di durata T_s ha trasformata sinc(T_sf), con il primo zero in f  = ¹⁄_Ts  = f_s, e la modulazione am-bld produce un raddoppio della banda occupata. pari ad 2f_s = ^2f_b⁄_M, come rappresentato in figura per una densità di potenza in dB. L’occupazione di banda può essere limitata a se si realizza φ(t) mediante impulsi g(t) a coseno rialzato, potendo così scrivere

Adottando un impulso g(t) a coseno rialzato anziché rettangolare, x(t) passa dai punti della costellazione solo negli istanti di simbolo, mentre nell’intervallo tradue di essi segue traiettorie con ampiezza variabile [583]   [583] Se viceversa g(t) = rect_Ts(t), |x| giace su di un cerchio, spostandosi istantaneamente da un punto all’altro della costellazione, come illustrato nella figura a fianco, non permettendo al segnale modulato di rispettare la proprietà di ampiezza costante che una modulazione angolare dovrebbe avere [584]   [584] Nella parte superiore della figura è mostrato l’andamento delle c.a. di b.f. per 5 simboli di un qpsk realizzato adottando g(t) a coseno rialzato con γ  = 0.5, e si può notare che ognuna di esse assume il valore ±1 in corrispondenza di ogni periodo di simbolo. Nella parte inferiore è riportato il corrispondente segnale modulato, che come si vede non è affatto ad ampiezza costante.. Pertanto la scelta tra nrz o coseno rialzato dipende dalla necessità di limitare la dinamica delle ampiezze, piuttosto che l’estensione della banda.

Altrettanto interessante può essere riflettere sulla fig. 14.11↓ in cui si mostrano x_c ed x_s ancora per una modulazione qpsk, valutate con g(t) a coseno rialzato (γ = 0.5) per 10 campioni per simbolo, e mostrate per 10 simboli in coordinate cartesiane e polari; al centro è mostrato la corrispondente evoluzione per x(t), mentre a destra si mostra la traiettoria di x(t) visualizzata per 100 simboli.

Per l-psk l’efficienza spettrale è identica a quanto ottenuto per l’ask con ugual numero di livelli, dato che per entrambe la frequenza di simbolo risulta pari a f_s  = (f_b)/(log₂L), e dunque (per coseno rialzato con γ = 0) si ottiene Dal punto di vista delle prestazioni, occorre distinguere il caso in cui L = 4 (indicato come qpsk = Quadrature Phase Shift Keying) da quello con L generico, in quanto sussistono due diverse architetture per il demodulatore.

In questo caso (psk con 4 livelli) il demodulatore coerente è costituito da due rami indipendenti in fase e quadratura (vedi fig. 14.13↓), che operano ad una frequenza di simbolo f_s pari a metà di quella binaria. In virtù di come la codifica di Gray dispone la costellazione (vedi fig. 14.12↓), ogni ramo del decisore opera su di uno solo della coppia di bit associati al simbolo trasmesso; le due decisioni vengono poi ri-serializzate. Entrambi i rami si comportano quindi come un demodulatore l-ask (§ 14.1.2↑) con L=2, ovvero un bpsk, e per un segnale dati a coseno rialzato a banda minima (γ  = 0) la probabilità di errore relativa ad ogni singolo ramo è espressa [585]  [585]  In effetti, dovremmo verificare che l’attuale valore di ^E_b⁄_N0 sia lo stesso del caso bpsk: mentre per N₀ al § 13.1.2↑ si mostra che è vero, per quanto riguarda E_b (a prima vista) sembra che il suo valore si dimezzi. Infatti, a parità di potenza ricevuta, i punti di costellazione del bpsk giacciono all’intersezione tra l’asse cartesiano della c.a. di b.f. ed il cerchio di

raggio pari all’ampiezza a del segnale ricevuto, mentre nel qpsk le fasi formano un angolo di 45^o rispetto agli assi, moltiplicando per cos(π)/(4) = ^√(2)⁄₂ le coordinate cartesiane, e riducendo dunque la potenza delle c.a. di b.f. di un fattore 2, e così pure il valore di E_b. In realtà, la durata doppia del periodo di simbolo T_s  = 2T_b compensa questa riduzione, e dunque anche l’E’_b di ogni ramo E’_b  = P_xT_s si mantiene invariato.

dalla (16.22↑), fornendo che rappresenta la probabilità che una componente analogica di b.f. ottenuta demodulando il segnale con sovrapposto rumore, valutata all’istante di decisione kT_s, giaccia nell’area mostrata in basso [586]  [586] All’istante di decisione k su ciascun ramo si osserva una v.a. gaussiana d_{c,  s} con varianza σ²_{νc,  s} (vedi fig. 13.3↑ a pag. 1↑) e valor medio x_c(kT_s)  = cosφ_k e x_s(kT_s)  = sinφ_k, dove φ_k è la fase del punto di costellazione trasmesso all’istante t  = kT_s, vedi eq. (16.25↑). Nell’esempio di figura, la decisione per il secondo dei due bit del simbolo cambia in funzione del segno di d_c, e dunque si commette errore sul ramo in fase se ad es. si trasmette ?1, ma il rumore su quel ramo ha un valore sufficientemente positivo da far superare lo zero in corrispondenza dell’istante di decisione. della figura 14.12↑. La probabilità di errore↓ (per impulso a banda minima) in un bit della sequenza re-serializzata risulta quindi [587]  [587] In effetti all’istante di decisione potrebbe verificarsi errore su entrambi i rami, ma tale evento avviene con probabilità P^c_e⋅P^s_e che si ritiene tanto più trascurabile rispetto a P^c_e quanto più quest’ultimo è piccolo. in cui Pr{c} = Pr{s} = ¹⁄₂ sono le probabilità che il bit ricevuto provenga dal ramo in fase o da quello in quadratura; d’altra parte, la probabilità di errore per simbolo risulta P_e(simbolo)≃P^c_e + P^s_e  = erfc{√((E_b)/(N₀))} (trascurando nuovamente la probabilità di un errore contemporaneo su entrambi i rami, vedi nota 14.2.2↑).

Se queste tecniche sono attuate mediante un G(f)  = rect_^fs⁄2(f) ovvero a banda minima, in presenza di demodulazione coerente il filtro passabasso che precede il campionatore del decisore costituisce un filtro adattato (vedi § 6.5.1↑) con segnalazione antipodale, e le prestazioni sono quelle ottime, come si verifica confrontando l’eq. (10.35↑) con le (16.22↑) e (16.26↑). Se viceversa G(f) non è a banda minima, ma di Nyquist, la coerenza di demodulazione permette comunque di adottare in ricezione un filtro adattato (§ 8.7↑) al posto del passabasso mostrato in fig. 14.5↑, e dunque ottenere le medesime prestazioni.

In questo caso il demodulatore ha una differente architettura (vedi fig. 14.14↓), ed il decisore opera congiuntamente su entrambi i rami, per ottenere la stima del gruppo di M  = log₂L bit associati ad una delle possibili fasi φ_k. Indicando con d^k_c, s le c.a. di b.f. demodulate all’istante t  = kT_s, la decisione avviene calcolando φ^d_k = arctan(d^k_s)/(d^k_c) e stabilendo all’interno di quale regione di decisione ^φ_k cada la fase ricevuta φ^d_k, a cui il decisore fa corrispondere una codeword di Gray (fig. 14.16↓). All’aumentare del numero di livelli L, la potenza di rumore (che concorre alla probabilità di errore) diminuisce con la stessa legge di riduzione della banda, ovvero con il log₂L, mentre la spaziatura tra le regioni di decisione diminuisce con legge lineare rispetto ad L. Pertanto, l’aumento del numero di livelli produce un peggioramento della P_e. Senza approfondire i relativi conti, forniamo direttamente il risultato (con γ = 0) della probabilità di errore sul simbolo↓ che rappresenta la probabilità di decidere di aver ricevuto un ^φ_k  ≠ φ_k (diverso da quello trasmesso) e che, se P_e≪1, è approssimata con la probabilità di invadere (a causa del rumore) una regione di decisione contigua (vedi fig. 14.14↓).