La sigla sta per Orthogonal Frequency Division Multiplex, ossia multiplazione a divisione di frequenza ortogonale. Si tratta della tecnica di modulazione numerica adottata per le trasmissioni adsl [613]  [613] adsl = Asymmetric Digital Subscriber Line, vedi § 19.9.4↓., dvb-t, e WiFi, ed ha la particolarità di utilizzare in modo ottimo la banda del canale, e di ricondurre l’operazione di equalizzazione ad un prodotto tra vettori.

La modulazione ofdm suddivide una sequenza binaria su N diversi flussi, trasmessi a divisione di frequenza mediante forme d’onda ortogonali. Concettualmente possiamo pensare l’ofdm come una evoluzione [614]  [614] La trasmissione numerica contemporanea su più portanti è a volte indicata con il nome di Multi Carrier Modulation (mcm) o Discrete Multi Tone (dmt). La modulazione FSK utilizza invece una portante alla volta, in quanto la sua definizione prevede la presenza di un solo oscillatore. della modulazione fsk, in cui le diverse frequenze sono spaziate tra loro di Δ Hz come descritto dall’espressione con n = 0, 1, ..., N − 1 e sono utilizzate contemporaneamente, mentre su ognuna di esse si realizza una modulazione numerica anche a più livelli (es. qpsk o qam) con impulso nrz rettangolare di durata T.

Mostriamo ora come mettere in relazione la potenza ricevuta complessiva P_xR di x_R(t) e del suo inviluppo complesso P_xR con la dinamica dei valori a_n utilizzati per modulare le singole portanti: nel seguito ci riferiamo a costellazioni l-qam, indicando con M_n ed L_n  = 2^M_n rispettivamente il numero di bit e di punti di costellazione per la portante n-esima, ad ognuna delle quali la (16.40↑) attribuisce una potenza P_n.

Una caratteristica fondamentale della modulazione ofdm↓ è quella di essere realizzata senza oscillatori e integratori, ma attraverso l’uso della elaborazione numerica. Con riferimento alla figura 14.38↓, il flusso binario a frequenza f_b viene parallelizzato per formare simboli ad L  = 2^M livelli a frequenza f_s  = (f_b)/(M) = (f_b)/(log₂L). Questi M bit/simbolo sono suddivisi in Ñ gruppi di M_n (n = 0, 1, ..., Ñ − 1) bit ciascuno, con M = ∑^{Ñ  − 1}_n = 0M_n, e ad ogni gruppo di M_n bit corrisponde un punto di costellazione a_n, scelto tra L_n = 2^M_n punti possibili.

Come vedremo al § 14.8.9↓, questa è una tra le tecniche di modulazione che meglio approssima i risultati della teoria dell’informazione, tanto più quanto maggiore è la sua efficienza. Quest’ultima si ottiene considerando che solo Ñ portanti su N trasportano informazione, e che solo f_c⋅T₀ campioni su f_c⋅T sono unici; combinando queste quantità si ottiene che misura la frazione di segnale utile rispetto all’occupazione di banda ed al numero di campioni/simbolo presenti in x_OFDM(t). La ridondanza↓ introdotta (le portanti vuote ed il preambolo) ha gli stessi scopi di quella introdotta dal roll-off γ di un impulso a coseno rialzato, in quanto evita che si verifichino fenomeni di interferenza tra simboli, e realizza un segnale limitato in banda. Osserviamo che l’efficienza migliora all’aumentare di T e di N, dato che T_g ed N − Ñ sono fissi.

Per ottenere gli elementi della sequenza {a_n} e quindi il gruppo di M bit che hanno originato il simbolo, si adotta l’architettura mostrata in figura 14.40↑ che svolge una azione del tutto inversa a quella del modulatore. Innanzitutto il ricevitore deve acquisire il sincronismo di frequenza (vedi § 14.8.11↓), in modo che il segnale ricevuto possa essere demodulato in fase e quadratura, e le c.a. di b.f. campionate a frequenza f_c  = (N  + N_g)/(T). Dopo l’inversione di segno ad indici alterni, e dopo avere acquisito il sincronismo di simbolo, f_c⋅T campioni complessi sono bufferizzati, quindi gli N_g campioni del preambolo rimossi, e sugli N valori del periodo principale viene calcolata una fft (vedi nota 14.8.2↑), ottenendo i valori Solo gli Ñ valori centrali sono avviati verso altrettanti decisori, che determinano il punto di costellazione più vicino all’a_n ricevuto per ogni portante, associandovi il relativo codice di M_n bit, ed il risultato finale è quindi serializzato per produrre gli M bit che hanno dato origine al simbolo.

Al § 14.12.2↓ viene svolta una laboriosa analisi per arrivare a valutare l’espressione della P^bit_e in caso di tempo di guardia T_g  = 0 ed in presenza di rumore additivo gaussiano limitato alla stessa banda del segnale; il risultato è confrontato con quello ottenibile per una trasmissione qam che occupi la medesima banda dell’ofdm, trasporti lo stesso flusso f_b, utilizzi ovviamente una sola portante con un adeguato numero di livelli, e adotti un impulso a coseno rialzato che determini la stessa (in)efficienza spettrale legata nell’odfm alla presenza delle Ñ portanti spente. Il risultato è che le prestazioni sono identiche.

Con l’ofdm non siamo nelle condizioni di demodulazione coerente come per l’fsk (§ 14.5.1↑), e le portanti del simbolo ofdm ricevuto mantengono ortogonalità (§ 14.12.1↓) purché finestrate su di un periodo T₀  = (1)/(Δ). Pertanto, nel caso in cui il ricevitore non acquisisca una perfetta sincronizzazione di simbolo, se l’isi introdotta dal canale ha una durata minore di T_g, la fft di demodulazione può operare su di un gruppo di campioni presi a partire dalla coda del preambolo, riducendo così la sensibilità rispetto agli errori di sincronizzazione.

Consideriamo il caso in cui la trasmissione attraversi un canale la cui h(t) è descritta da un inviluppo complesso H(f) in cui il modulo non è costante e/o la fase non è lineare: in tal caso X_T0(f) di (16.43↑) si altera a causa del filtraggio, ed i suoi campioni a_n restituiti dalla (16.47↑) si modificano in ã_n  = a_n⋅H_n in cui H_n = H_ne^jφ_n  = H⎛⎝f  − Δ⎛⎝n  − (N)/(2)⎞⎠⎞⎠ sono i campioni (complessi) di H(f). Come anticipato, l’equalizzazione è quindi ridotta ad eseguire un semplice prodotto tra la sequenza dei valori ricevuti ã_n e quella di equalizzazione (e^− jφ_n)/(H_n) che inverte l’effetto del canale, ovviamente purché si conosca H(f), od una sua stima.

Nel caso in cui la distorsione lineare introdotta dal canale non sia eccessiva, si può evitare del tutto lo stadio di equalizzazione, e ricorrere ad una codifica differenziale (§ 14.4↑), che risulta particolarmente semplice qualora le sottoportanti siano modulate psk o qpsk. In tal caso infatti il processo di demodulazione per ogni sottoportante non risente di variazioni di guadagno, ovvero variazioni di H_n  = |H_n|, e dunque devono essere compensate le sole variazioni di fase φ_n tra una portante e l’altra, ognuna delle quali determina la corrispondente rotazione (vedi § 1↑) del piano dell’inviluppo complesso su cui sono riferiti gli a_n, rispetto alla disposizione degli assi per la portante n  − 1.

Come stiamo per mostrare, questa proprietà è intimamente legata alla possibilità dell’ofdm di assegnare valori di potenza differenti alle diverse portanti.

In particolare, si ottiene che la massima velocità f_b è conseguibile attribuendo a tutte le portanti la medesima probabilità di errore, e quindi in definitiva determinando dei valori ⎛⎝(E_b)/(N₀)⎞⎠_n per ogni portante n = 0, 1, ..., Ñ  − 1 tali da rendere le P_{e  ⁄ n} = P_e. Questo risultato può essere ottenuto scegliendo le potenze P_n in accordo alla (16.50↑), e quindi trasmettere (o caricare) più bit M_n sulle portanti n per le quali P_n è maggiore.

Abbiamo appena mostrato come, conoscendo la P_N(f) e la H(f) del canale, sia possibile equalizzare P_x(f) = (P_r(f))/(|H(f)|²) e al contempo soddisfare (16.50↑) e rendere massima la f_b. Nel caso di collegamenti tempo-varianti però, la H(f) non è nota, ed anche se lo fosse non esiste garanzia che rimanga costante. In tal caso allora non ha senso determinare una distribuzione ottima della potenza e dei bit sulle portanti, mentre invece occorre aggiungere della ridondanza↓ al segnale trasmesso mediante un codice di canale, allo scopo di correggere i bit errati.

Fin qui abbiamo assunto che il ricevitore ofdm mostrato in fig. 14.40↑ operi in condizioni di sincronismo sia per quanto riguarda la portante di demodulazione, sia per gli intervalli di simbolo. A questo scopo alcune delle sottoportanti - dette pilota - non sono usate per trasmettere dati, ma sono mantenute costantemente attive, con potenza di poco superiore alle altre, allo scopo di facilitare la sincronizzazione in frequenza. In figura è rappresentato il caso per il dvb-t, in cui ogni riga rappresenta le portanti di un simbolo, e quelle pilota si trovano in posizione fissa; sono inoltre mostrate delle portanti disperse (scattered) le cui posizioni evolvono ciclicamente di simbolo in simbolo, e consentono di acquisire un sincronismo sia di simbolo che di trama, oltre che eventualmente a permettere una stima della H(f) del canale attraversato.