2.1
Prerequisiti trigonometrici
2.1.1
Numeri complessi
Un numero complesso
x è
costituito da una coppia di valori numerici
a
e
b che ne rappresentano la parte
reale e quella immaginaria:
x = a + jb
E’ spesso utile ricorrere alla rappresentazione di
x
nel piano complesso in
coordinate polari, che mette in luce
l’espressione alternativa
di
x nei termini di modulo
|x|
e fase
φ:
x = |x|ejφ
Queste due quantità si ottengono dalle parti reale ed immaginaria,
mediante le relazioni
|x|
= √(a2 + b2) e
φ = arctan(b)/(a)
mentre le relazioni inverse risultano
a = |x|cosφ e
b = |x|sinφ
Per ogni numero complesso
x,
è definito il suo coniugato
x*
come quel numero complesso con uguale parte reale, e parte immaginaria
di segno opposto, ovvero uguale modulo, e fase cambiata di segno:
x* = a − jb = |x|e − jφ.
2.1.2
Formula di Eulero↓
L’esponenziale
ejφ
è un particolare numero complesso con modulo pari ad uno,
e che quindi si scompone in parte reale ed immaginaria come
La relazione
(4.1↑)
è nota come
formula di Eulero,
per mezzo della quale le funzioni trigonometriche possono essere
espresse in termini di esponenziali complessi come
cosφ = (ejφ
+ e − jφ)/(2) e
sinφ = (ejφ
− e − jφ)/(2j)
Tali relazioni possono tornare utili nel semplificare i calcoli,
trasformando i prodotti tra funzioni trigonometriche in somme di angoli.
Un segnale del
tipo
x(t) = Acos(2πf0t
+ φ) è completamente
rappresentato dal numero complesso
x
= Aejφ
detto
fasore, la cui conoscenza permette di riottenere il
segnale originario mediante la relazione
x(t) = ℜ{x⋅ej2πf0t}, che una volta sviluppata
risulta infatti pari a
x(t)
= ℜ{Aejφ⋅ej2πf0t} = A⋅ℜ{ej(2πf0t
+ φ)}
=
= A⋅ℜ{cos(2πf0t
+ φ) + jsin(2πf0t
+ φ)}
=
= Acos(2πf0t
+ φ)
Osserviamo che il risultato ottenuto può interpretarsi graficamente come
l’aver impresso al fasore una rotazione di velocità angolare
ω0
= 2πf0 radianti/secondo in senso
antiorario, ed aver proiettato il risultato sull’asse reale. In
alternativa, possiamo esprimere il segnale
x(t)
di partenza anche come
Tale operazione coinvolge anche le
frequenze negative, e
corrisponde a tener conto di un secondo vettore rotante, che si muove
ora in senso orario, che ha una parte immaginaria di segno sempre
opposto al primo, e che è moltiplicato per il coniugato del fasore.
Vedremo tra breve che l’ultima espressione fornita è esattamente quella
della
serie di Fourier per il caso in questione.