Un numero complesso x è costituito da una coppia di valori numerici a e b che ne rappresentano la parte reale e quella immaginaria: E’ spesso utile ricorrere alla rappresentazione di x nel piano complesso in coordinate polari, che mette in luce l’espressione alternativa [22]  [22] La rappresentazione in modulo e fase consente di calcolare il prodotto tra numeri complessi x = |x|e^jφ e y = |y|e^jθ in modo semplice: z = x⋅y  = |x||y|e^{j(φ  + θ)}. di x nei termini di modulo |x| e fase φ: Queste due quantità si ottengono dalle parti reale ed immaginaria, mediante le relazioni mentre le relazioni inverse risultano Per ogni numero complesso x, è definito il suo coniugato x^* come quel numero complesso con uguale parte reale, e parte immaginaria di segno opposto, ovvero uguale modulo, e fase cambiata di segno: x^* = a − jb = |x|e^− jφ.

L’esponenziale e^jφ è un particolare numero complesso con modulo pari ad uno [23]   [23] L’espressione più generale e^γ con γ  = α + jφ è ancora un numero complesso, con fase φ e modulo e^α. Infatti e^γ  = e^α + jφ  = e^αe^jφ  = e^α(cosφ  + jsinφ)., e che quindi si scompone in parte reale ed immaginaria come La relazione (4.1↑) è nota come formula di Eulero [24]  [24] Vedi https://it.wikipedia.org/wiki/Formula_di_Eulero, per mezzo della quale le funzioni trigonometriche possono essere espresse in termini di esponenziali complessi come Tali relazioni possono tornare utili nel semplificare i calcoli, trasformando i prodotti tra funzioni trigonometriche in somme di angoli [25]  [25] L’affermazione nasce dalla relazione e^αe^β = e^{α  + β}. Ad esempio quindi, il prodotto cosα⋅sinβ diviene

          (1)/(4j)(e^jα  + e^− jα)(e^jβ  − e^− jβ) = (1)/(4j)[e^jαe^jβ  − e^jαe^− jβ + e^− jαe^jβ  − e^− jαe^− jβ]  = 

           = (1)/(4j)[e^{j(α  + β)} − e^{− j(α + β)} − e^{j(α − β)}  + e^{− j(α  − β)}] = (1)/(4j)[2jsin(α  + β) − 2jsin(α  − β)]  = 

           = (1)/(2)[sin(α + β)  − sin(α − β)]

.

Un segnale del tipo x(t) = Acos(2πf₀t  + φ) è completamente rappresentato dal numero complesso x  = Ae^jφ detto fasore, la cui conoscenza permette di riottenere il segnale originario mediante la relazione x(t) = ℜ{x⋅e^j2πf₀t}, che una volta sviluppata [26]   [26] Un modo alternativo di ottenere lo stesso risultato è quello di esprimere gli esponenziali complessi in termini trigonometrici, ottenendo x(t) = ℜ{|x|(cosφ + jsinφ)[cos(2πf₀t) + jsin(2πf₀t)]}, e sviluppare il calcolo facendo uso delle relazioni cosαcosβ  = (1)/(2)[cos(α + β)  + cos(α − β)] e sinαsinβ  = (1)/(2)[cos(α − β)  − cos(α + β)], ma avremmo svolto più passaggi. risulta infatti pari a Osserviamo che il risultato ottenuto può interpretarsi graficamente come l’aver impresso al fasore una rotazione di velocità angolare ω₀  = 2πf₀ radianti/secondo in senso antiorario, ed aver proiettato il risultato sull’asse reale. In alternativa, possiamo esprimere il segnale x(t) di partenza anche come Tale operazione coinvolge anche le frequenze negative, e corrisponde a tener conto di un secondo vettore rotante, che si muove ora in senso orario, che ha una parte immaginaria di segno sempre opposto al primo, e che è moltiplicato per il coniugato del fasore. Vedremo tra breve che l’ultima espressione fornita è esattamente quella della serie di Fourier per il caso in questione.