Serie di Fourier

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2.2 Serie di Fourier↓

Come anticipato a pag. 1↑, un segnale x(t) periodico è un segnale di potenza, reale o complesso, che assume ripetutamente gli stessi valori a distanza multipla di un intervallo temporale T denominato periodo, ovvero tale che

x(t) = x(t + T) ∀t

L’inverso di T è detto frequenza fondamentale F = (1)/(T) o prima armonica di x(t), espressa in Hertz, dimensionalmente pari all’inverso di un tempo [sec^− 1].

Per i segnali periodici esiste una forma di rappresentazione basata sulla conoscenza di una serie infinita di coefficienti complessi {X_n} denominati coefficienti di Fourier, calcolabili a partire da un periodo del segnale come

(4.3) X_n = (1)/(T) ^(T)/(2)⌠⌡_{− (T)/(2)}x(t) e^{− j2πnFt}dt

e che permettono [27] [27] Per una discussione relativa alla convergenza della serie (4.4↓) si veda il § 2.4.1↓. la ricostruzione di x(t) nella forma di una combinazione lineare di infinite funzioni esponenziali complesse e^j2πnFt, mediante l’espressione nota come serie di Fourier:

(4.4) x(t) = ^∞⎲⎳_{n = − ∞}X_n e^j2πnFt

Osserviamo che:

la conoscenza di {X_n} equivale a quella di x(t) e viceversa, esistendo il modo di passare dall’una all’altra rappresentazione;
le funzioni della base di rappresentazione e^j2πnFt sono funzioni trigonometriche a frequenza multipla (n-esima) della fondamentale, detta anche n-esima armonica [28] [28] Questa terminologia richiama alla mente nozioni di teoria musicale, in cui gli armonici di una nota sono appunto note di frequenza multipla della prima. In particolare la seconda armonica corrisponde ad un intervallo di ottava, e la 4^a a due ottave. E la terza armonica? Partendo ad esempio dal la₄ a 440 Hz, la terza armonica si trova a 440*3 = 1320 Hz. Sapendo che ogni semitono della scala temperata corrisponde ad un rapporto di frequenza pari a 2^(1)/(12) rispetto al semitono precedente, proviamo a determinare il numero di semitoni N_s tra il la₄ e la sua la terza armonica. Risulta allora 2^(N_s)/(12) = (1320)/(440) = 3 → (N_s)/(12) = log₂3≃1.5849 → N_s = 19 semitoni, ovvero un intervallo di dodicesima, ovvero una quinta sopra l’ottava, cioè il mi₅ che viene dopo il la₅ dell’ottava successiva, che si trova ad 880 Hz. Procedento allo stesso modo si trova che la quinta, sesta e settima armonica corrispondono rispettivamente a do#₆, mi₆ e sol₆: pertanto, con le prime sette armoniche si compone un accordo di settima di dominante.;
la somma dei termini simmetrici X_ne^j2πnFt + X_− ne^{− j2πnFt} è detta componente armonica di x(t) a frequenza f = nF e, se x(t) è reale [29] [29] vedi § 2.2.1.1↓ e 2.2.1.3↓, risulta pari a 2|X_n|cos(2πnFt + φ_n) in cui φ_n è la fase di X_n;
il coefficiente X₀ = (1)/(T) ∫^(T)/(2)_{− (T)/(2)}x(t)dt rappresenta la componente continua (o valor medio) di x(t);
la serie di Fourier dà valori esatti in tutti i punti in cui x(t) è continuo, mentre in corrispondenza di discontinuità di prima specie fornisce un valore pari alla media dei valori agli estremi, vedi § 2.4.1↓;
i coefficienti di Fourier X_n possono essere calcolati anche per un segnale di estensione finita T, ed antitrasformando, il segnale diventa periodico;
se poniamo nF = f (con f variabile continua), possiamo interpretare le componenti armoniche come i valori campionati di una funzione (complessa) della frequenza: X_n = X(f = nF). Ad X(f) si dà il nome di inviluppo dello spettro di ampiezza (complessa) di x(t), il quale si ottiene modificando la definizione dei coefficienti di Fourier, ossia X(f) = (1)/(T) ∫^(T)/(2)_{− (T)/(2)}x(t) e^− j2πftdt;
i coefficienti X_n assumono valori complessi, e quindi possono essere rappresentati dalle quantità alternative
⎧⎨⎩ M_n = |X_n| spettro di modulo φ_n = arctan(ℑ{X_n})/(ℜ{X_n}) spettro di fase
essendo
X_n = |X_n|e^jφ_n = ℜ{X_n} + jℑ{X_n}

2.2.1 Serie di Fourier per segnali reali

Nel caso in cui il segnale periodico x(t) di cui si calcola la serie di Fourier sia reale, si verificano importanti conseguenze che ora analizziamo.

2.2.1.1 Simmetria coniugata o Hermitiana ↓

Osserviamo innanzitutto che in questo caso i coefficienti di Fourier godono della importante proprietà di simmetria coniugata, ovvero per essi vale l’eguaglianza

X_− n = X^*_n

che esprime come i coefficienti con indice n negativo abbiano una parte reale uguale a quella dei coefficienti con (uguale) indice positivo, e parte immaginaria cambiata di segno [30] [30] La dimostrazione di questa proprietà si basa sull’osservazione che scomponendo l’esponenziale complesso che compare nella formula (4.3↑) come e^{− j2πnFt} = cos2πnFt − jsin2πnFt, ed essendo x(t) reale, l’integrale che calcola gli X_n si suddivide in due termini, relativi al calcolo della parte reale e quella immaginaria, ovvero: X_n = (1)/(T)∫^(T)/(2)_{− (T)/(2)}x(t)cos2πnFtdt − (j)/(T)∫^(T)/(2)_{− (T)/(2)}x(t)sin2πnFtdt. Essendo il coseno una funzione pari, il primo integrale fornisce gli stessi risultati per n cambiato di segno; il secondo integrale invece cambia segno con n, essendo il seno una funzione dispari.. Ciò comporta una proprietà analoga per il modulo e la fase di {X_n}, e dunque possiamo scrivere:

x(t) Reale ⇔ ⎧⎨⎩ ℜ{X_− n} = ℜ{X_n} ℑ{X_− n} = − ℑ{X_n} ; ⎧⎨⎩ |X_− n| = |X_n| arg{X_− n} = − arg{X_n}

Tali relazioni evidenziano che

Se x(t) è reale, i coefficienti X_n risultano avere modulo pari e fase dispari, ovvero parte reale pari e parte immaginaria dispari.

Un corollario di questo risultato è che [31] [31] Con riferimento alla scomposizione del calcolo di X_n alla nota precedente, notiamo che se x(t) è (reale) pari, allora ℑ{X_n} = 0, in quanto x(t)sin2πnFtdt è dispari, ed il suo integrale esteso ad un intervallo simmetrico rispetto all’origine è nullo. Se invece x(t) è (reale) dispari, si ottiene ℜ{X_n} = 0, per lo stesso motivo applicato al termine x(t)cos2πnFtdt.

Se x(t) è reale pari, i coefficienti X_n sono reali (pari), mentre se x(t) è reale dispari, gli X_n sono immaginari (dispari).

2.2.1.2 Interpretazione dei coefficienti di Fourier come fasori↓

La figura a lato mostra la somma vettoriale risultante per i fasori relativi alle prime tre armoniche, valutata per due istanti di tempo consecutivi, ed evidenzia per X₂ e X₃ una rotazione di un angolo multiplo di quello di X₁.

Confrontando la formula di ricostruzione (4.4↑) con la (4.2↑) ricavata al § 2.1.3↑ per il caso di un coseno, e tenendo conto della proprietà di simmetria coniugata X_− n = X^*_n, si nota come un segnale reale possa essere pensato composto a partire da un insieme infinito di fasori X_n (di modulo doppio di quello dei coefficienti X_n), ognuno rotante con una velocità angolare ω_n = 2πnF multipla della frequenza fondamentale.

Esercizio: calcoliamo i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier per il segnale x(t) = Acos(2πFt + φ). Esprimiamo innanzitutto l’integrale che fornisce i coefficienti, nei termini della formula di Eulero per il coseno:

X_n = (A)/(T)^(T)/(2)⌠⌡_{− (T)/(2)}( e^j2πFte^jφ + e^− j2πFte^− jφ)/(2) e^{− j2πnFt}dt = (A)/(2T)(e^jφ^(T)/(2)⌠⌡_{− (T)/(2)} e^j2πFt e^{− j2πnFt}dt + e^− jφ^(T)/(2)⌠⌡_{− (T)/(2)} e^− j2πFt e^{− j2πnFt}dt)

in cui F = (1)/(T), e consideriamo la funzione integranda e^±j2πFt e^{− j2πnFt} per i diversi valori di n:

per n = 0, osserviamo che e^{− j2πnFt}|_n = 0 = e⁰ = 1, e dunque X₀ = 0 in quanto
^(T)/(2)⌠⌡_{− (T)/(2)} e^±j2πFtdt = 0
poiché in un intervallo T entra esattamente un ciclo di (co)sinusoide a frequenza F, risultando in un valor medio nullo.
per n = 1, si ha che ∫^(T)/(2)_{− (T)/(2)} e^j2πFt e^− j2πFtdt = ∫^(T)/(2)_{− (T)/(2)} e⁰dt = T, mentre ∫^(T)/(2)_{− (T)/(2)} e^− j2πFt e^− j2πFtdt = ∫^(T)/(2)_{− (T)/(2)} e^{− j2π2Ft}dt = 0, dato che in un periodo T entrano due cicli esatti della funzione periodica integranda, ottenendo quindi
X₁ = (A)/(2) e^jφ
per n = − 1 valgono considerazioni analoghe, ottenendo quindi
X_− 1 = (A)/(2) e^− jφ
per |n| > 1 infine, si ottiene X_±n = 0 dato che ∫^(T)/(2)_{− (T)/(2)} e^±j2πFt e^{− j2πnFt}dt = ∫^(T)/(2)_{− (T)/(2)} e^{j2π(±1
− n)Ft}dt presenta sempre un numero intero di periodi entro l’intervallo di integrazione.

2.2.1.3 Serie trigonometrica ↓

Nel caso in cui gli X_n abbiano simmetria coniugata, la formula di ricostruzione può scriversi

x(t) = X₀ + ^∞⎲⎳_{n = 1}{X_n e^j2πnFt + X_− n e^{−
j2πnFt}} = M₀ + ^∞⎲⎳_n = 1M_n2cos(2πnFt + φ_n)

ovvero in forma di serie di coseni; si noti che X₀ è necessariamente reale, in quanto la fase deve risultare una funzione dispari della frequenza.

In modo simile, le proprietà relative alle parti reale ed immaginaria permettono di scrivere:

x(t) = X₀ + ^∞⎲⎳_{n = 1}{(R_n + jI_n) e^j2πnFt + (R_n − jI_n) e^{− j2πnFt}} = R₀ + ^∞⎲⎳_{n = 1}{2R_ncos(2πnFt) − 2I_nsin(2πnFt)}

in cui

R₀ = M₀ = (1)/(T) ^(T)/(2)⌠⌡_{− (T)/(2)}x(t)dt e ⎧⎨⎩ R_n = (1)/(T) ^(T)/(2)⌠⌡_{− (T)/(2)}x(t) cos(2πnFt)dt I_n = (1)/(T) ^(T)/(2)⌠⌡_{− (T)/(2)}x(t) sin(2πnFt)dt

Pertanto, nel caso in cui x(t) sia un segnale reale, la serie di Fourier si riduce ad uno sviluppo in termini di funzioni trigonometriche, ed in particolare ad una serie di soli coseni (con fase nulla) nel caso in cui x(t) sia pari, oppure una serie di soli seni (con φ_n = 0), nel caso in cui sia dispari.

2.2.1.4 Serie di Fourier di un’onda rettangolare↓

La figura a lato mostra un segnale ad onda quadra con un duty cycle [32] [32] Il duty cycle si traduce come ciclo di impegno, ed è definito come il rapporto percentuale per il quale il segnale è diverso da zero, ossia duty cycle = (τ)/(T)*100 %. del 33%, la cui espressione analitica può essere scritta come

x(t) = ^∞⎲⎳_{n
= − ∞}A rect_τ(t − nT)

e per la quale si è adottata la notazione rect_τ(t) per rappresentare un impulso rettangolare di base τ ed altezza unitaria, centrato nell’origine dei tempi. L’argomento (t − nT) indica una traslazione (o spostamento) del rettangolo a destra [33] [33] Oppure a sinistra, qualora n sia negativo. (ossia verso gli istanti positivi) di una quantità pari a nT, cosicché la sommatoria rappresenta appunto la replica dello stesso impulso rettangolare infinite volte in avanti ed all’indietro.

Esercizio Il calcolo dei coefficienti di Fourier per il segnale in questione non presenta particolari difficoltà, ma l’esito si presta ad alcune utili considerazioni. Applicando un risultato noto [34] [34] Sappiamo infatti che (∂)/(∂x)e^f(x) = e^f(x)⋅(∂f(x))/(∂x), e quindi ∫^b_ae^f(x)dx = ¹⁄_{(∂f(x))/(∂x)}⋅e^f(x)|^b_a, si ottiene

(4.5) X_n = (1)/(T)^(T)/(2)⌠⌡_{− (T)/(2)}x(t)e^{− j2πnFt}dt = (1)/(T)^(τ)/(2)⌠⌡_{− (τ)/(2)}Ae^{− j2πnFt}dt = = (A)/(T)(e^{− j2πnFt})/( − j2πnF)||^(τ)/(2)_{− (τ)/(2)} = (A)/(πnFT)(e^{j2πnF(τ)/(2)} − e^{− j2πnF(τ)/(2)})/(2j) = = A(τ)/(T)(sin(πnFτ))/(πnFτ) = A(τ)/(T)sinc(nFτ)

Nella seconda uguaglianza, gli estremi di integrazione sono stati ristretti all’intervallo di effettiva esistenza del segnale, mentre la penultima eguaglianza si giustifica ricordando le formule di Eulero.

Definizione della funzione sinc↓

Il risultato (4.5↑) ottenuto mostra come i coefficienti X_n della serie di Fourier per l’onda rettangolare risultano dipendere dai valori di (sin(πnFτ))/(πnFτ) calcolati per n intero; tale espressione viene però rappresentata nei termini della funzione

sinc(x) = (sin(πx))/(πx)

che ricorrerà spesso nel testo, che è raffigurata nella parte di sinistra della fig. 2.7↓, e che come si può notare passa da zero per valori interi dell’argomento x, tranne che per x = 0, dove vale uno [35] [35] Costituisce infatti una applicazione tipica della regola di de l’Hôpital, vedi https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_sinc.

Figura 2.7 Funzione sinc(x) e coefficienti di Fourier dell’onda quadra

Nella parte centrale di fig. 2.7↑ è mostrato l’andamento degli X_n proporzionali a sinc(nFτ), in cui si è posto τ = (T)/(3) (corrispondente al duty cycle del 33%), dando luogo a termini X_n nulli in corrispondenza degli indici n = 3, 6, 9, .... La parte destra di fig. 2.7↑, infine, mostra ancora i coefficienti X_n, ma lungo una scala in Hertz, ottenuta considerando che nF = (n)/(T) rappresenta la frequenza dell’n − esima armonica, e che essendo τ = (T)/(3) si ottiene nF = (n)/(T) = (n)/(3τ).

Osserviamo ora che, mentre la spaziatura tra le armoniche è pari ad F = (1)/(T) e dipende esclusivamente dal periodo della forma d’onda, gli zeri della funzione sinc(nFτ) occorrono a frequenze multiple di (1)/(τ). Per meglio comprendere le implicazioni di tali osservazioni, valutiamo come si modificano i valori X_n al variare di τ e di T.

Relazione tra i coefficienti della serie ed i parametri dell’onda quadra

La parte in alto di fig. 2.8↓ mostra quattro possibili modi di variare l’onda quadra di partenza: la colonna di sinistra rappresenta il caso in cui il periodo T si mantenga costante, mentre la durata τ di un singolo ciclo raddoppia (prima riga) o si dimezza (terza riga), mentre la colonna di destra considera il caso in cui τ si mantenga invariato, ed il periodo T varii in modo da ottenere lo stesso duty cycle (τ)/(T) di sinistra, ovvero pari al 66% (prima riga) o 12,5% (terza riga).

La parte inferiore di Fig. 2.8↓ mostra le corrispettive variazioni per i valori dei coefficienti dello sviluppo in serie, calcolate facendo uso della (4.5↑). Al lato sinistro (per T costante) osserviamo che le armoniche mantengono la stessa spaziatura (1)/(T), ma l’inviluppo sinc(nFτ) si contrae ed espande rispettivamente. Il lato destro della figura mostra invece come questa volta rimane costante la velocità con cui gli X_n vanno a zero, mentre le armoniche si diradano (sopra) ed infittiscono (sotto) all’aumentare ed al diminuire di T rispettivamente. Infine, notiamo come al diminuire del duty cycle si assista in entrambi i casi ad una riduzione dell’ampiezza degli X_n, legata alla riduzione di potenza del segnale (vedi sezione 2.3↓).

Figura 2.8 Modifiche allo spettro di ampiezza per variazioni della forma d’onda

2.2.2 Serie di Fourier troncata ↓

Consideriamo un’onda quadra con duty-cycle del 50%

x(t) = ^∞⎲⎳_{k
= − ∞}rect_(T)/(2)(t − kT)

approssimata mediante una serie troncata di Fourier, in cui si considerano cioè solo i coefficienti X_n con indice − N ≤ n ≤ N. Sappiamo che X_n = (τ)/(T)(sin(πnFτ))/(πnFτ) e, per τ = (T)/(2), si ottiene X_n = (1)/(2)(sin⎛⎝n(π)/(2)⎞⎠)/(n(π)/(2)) = (1)/(2) sinc⎛⎝(n)/(2)⎞⎠, che risulta diverso da zero solo con n dispari [36] [36] Si può mostrare che le armoniche dispari risultano nulle per tutti i segnali periodici alternativi, ovvero per i quali (a parte una eventuale componente continua) un semiperiodo eguaglia l’altro, cambiato di segno., e dunque:

X₀ = (1)/(2) ; X_n = ⎧⎨⎩ (( − 1)^{(n
− 1)/(2)})/(πn) con n dispari 0 con n pari

Essendo inoltre x(t) reale pari, sappiamo che può essere espresso come serie di coseni:

x(t) = X₀ + ^∞⎲⎳_{n = 1}2X_ncos(2πnFt)

e nella figura a fianco riportiamo il risultato ottenuto arrestando lo sviluppo in serie all’indice mostrato per ogni curva, e generando quindi il segnale

^x_N(t) = X₀ + ^n_Max⎲⎳_{N
= 1}2X_ncos(2πnFt)

Come osservabile, la ricostruzione è sempre più accurata, tranne che per le oscillazioni in prossimità della discontinuità, che prendono il nome di fenomeno di Gibbs [37] [37] Vedi https://it.wikipedia.org/wiki/Fenomeno_di_Gibbs.↓

Il caso mostrato è emblematico della inaccuratezza che si commette considerando contributi frequenziali ridotti rispetto a quelli propri della forma d’onda [38] [38] Un risultato teorico, che qui citiamo solamente, mostra che l’errore quadratico di ricostruzione ε = (1)/(T)∫^(T)/(2)_{− (T)/(2)}(x(t) − ^x(t))²dt che è presente utilizzando solo le prime N armoniche è il minimo rispetto a quello ottenibile utilizzando un qualunque altro gruppo di N armoniche che non siano le prime., a causa (ad esempio) di un filtraggio del segnale.

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