2.4
Appendici
2.4.1
Convergenza della serie di Fourier
Illustriamo le condizioni
sufficienti a
garantire la convergenza della serie di Fourier
(4.4↑)
al segnale
x(t) di partenza per ogni istante
t.
Qualora x(t), per t
interno all’intervallo di un periodo t ϵ
( − T⁄2, T⁄2),
- sia assolutamente integrabile, ovvero ∫ − T⁄2
− T⁄2|x(t)|dt < ∞;
- presenti un numero finito di discontinuità di prima specie,
ovvero sia continua a tratti;
- contenga un numero finito di massimi e minimi, ovvero sia
derivabile ovunque, esclusi al più un numero finito di punti in cui la
derivata presenta discontinuità di prima specie;
allora la serie ∑∞n = − ∞Xn
ej2πnFt
eguaglia il valore x(t) del segnale utilizzato per
calcolarne i coefficienti Xn
= (1)/(T) ∫(T)/(2) − (T)/(2)x(t) e − j2πnFtdt
in tutti i punti in cui x(t) è continuo, mentre negli istanti di
discontinuità di prima specie, fornisce un valore pari alla media dei
valori limite destro e sinistro. Tali condizioni si applicano
direttamente ai segnali x(t) reali, mentre nel caso di segnali
complessi, si applicano in modo indipendente alla parte reale ed a
quella immaginaria. Inoltre le condizioni sono sufficienti e non
necessarie, nel senso che anche se lo sviluppo di un segnale in serie di
Fourier converge, non è detto che lo stesso soddisfi tali condizioni.
Nella pratica, i segnali che rappresentano
fenomeni fisici sono
di energia, cioè per essi si può assumere
sempre verificata la condizione
∫T⁄2 − T⁄2|x(t)|2dt < ∞, più
debole della prima condizione su espressa, che è dunque automaticamente
verificata; inoltre, tali segnali sono in pratica sempre continui,
rendendo verificata la seconda condizione. Infine, nel caso ad esempio
di un’onda triangolare (vedi §
2.4.3↓),
la derivata soddisfa anche la terza condizione.
Svolgiamo ora qualche riflessione in merito alla
velocità con cui i coefficienti
Xn
tendono a zero per
n → ∞. Si può
mostrare che se un segnale soddisfa le condizioni di Dirichlet, allora
le ampiezze dei relativi coefficienti di Fourier rispettano l’andamento
|Xn| ≤ (α)/(n),
ovvero le armoniche presentano ampiezze che si riducono con legge
almeno
inversa del corrispondente ordine. Un caso in cui vale l’uguaglianza è
quello relativo all’onda quadra studiata al §
2.2.1.4↑,
in cui sono presenti discontinuità di prima specie. Al contrario, per
un’onda triangolare (§
2.4.3↓)
la velocità di smorzamento delle ampiezze è maggiore, risultando infatti
del tipo
|Xn| = (α)/(n2).
Ciò significa che volendo approssimare il segnale troncando la serie ad
un indice
N, nel caso di un’onda
triangolare la potenza dell’errore sarà molto minore, a parità di
N, di quella osservabile per l’onda
quadra. In generale, si può affermare che se la
k
− esima derivata di un segnale soddisfa le condizioni di
Dirichlet, allora i corrispondenti coefficienti della serie vanno a zero
con legge
|Xn| ≤ (α)/(nk + 1). Ciò in pratica significa
che più un segnale ha un andamento
dolce, e minore sarà il suo
contenuto armonico. Il caso limite è rappresentato dalla sinusoide, alla
quale è associata una unica armonica (la fondamentale), e difatti per
essa tutte le derivate sono continue essendo, come noto, sinusoidi
anch’esse.
2.4.2
Algebra vettoriale
Sono qui richiamati alcuni concetti di
rappresentazione geometrica, indispensabili per fornire alla serie di
Fourier una giustificazione vettoriale, gettando così le basi per una
interpretazione dei segnali come elementi di uno spazio algebrico.
Un insieme di elementi viene detto
spazio lineare (o
spazio
vettoriale), quando sono definite le operazioni di somma tra
elementi e di moltiplicazione degli stessi per dei coefficienti, e
queste operazioni danno come risultato ancora un elemento dell’insieme.
Lo
spazio prodotto interno (o
spazio
normato) è quello spazio lineare, in cui è definito il
prodotto
scalare ⟨x, y⟩ tra generici vettori
x ed
y.
In tal caso, si può definire la
norma ∥x∥ di un vettore
x come
∥x∥ = √(⟨x, x⟩)
Due vettori si dicono
ortogonali se il loro prodotto scalare è
nullo, ossia
⟨x, y⟩ = 0.
Un generico punto x
di uno spazio lineare può esprimersi come combinazione di vettori ui
di una base di rappresentazione, con coefficienti xi,
ovvero:
Se lo spazio è normato, e per i vettori della base
risulta
⟨ui,
uj⟩
= 0 per tutti gli
i ≠ j,
allora la base è detta
ortogonale, ed i coefficienti
xi
si determinano per
proiezione di
x
lungo i vettori della base:
xi = ⟨x, ui⟩
In tal caso, il prodotto scalare tra due vettori
x ed
y ha espressione
⟨x,
y⟩
= ⎲⎳ixiy*i∥ui∥2
Se
∥ui∥2 = 1, allora gli
ui sono
unitari
e la base è detta
ortonormale.
Spazio
dei segnali periodici
I concetti ora esposti sono immediatamente applicabili all’insieme
dei segnali periodici di periodo
T,
una volta che questi vengano assimilati a elementi di uno spazio
normato, e per i quali sia definito un operatore di prodotto scalare tra
due segnali
x(t) ed
y(t)
nella forma di un integrale
⟨x(t), y(t)⟩ = (1)/(T)(T)/(2)⌠⌡
− (T)/(2)x(t)y*(t)dt
a cui corrisponde una
norma quadratica immediatamente
riconoscibile come la
potenza del segnale:
∥x(t)∥2 =
(1)/(T)(T)/(2)⌠⌡ − (T)/(2)|x(t)|2dt
Considerando ora il sottospazio dei segnali periodici con periodo
T = (1)/(F)
costituito dall’insieme
{ej2πnFt}, la validità di
(4.6↑) di pag.
1↑ prova che gli
{ej2πnFt} costituiscono una base
ortonormale
per i segnali periodici di periodo
T;
in particolare si riconosce che l’espressione (
4.3↑)
di pag.
1↑
rappresenta la proiezione del
segnale lungo i vettori della base, mentre la formula di ricostruzione (
4.4↑)
costituisce la rappresentazione del segnale nei termini delle sue
componenti ortogonali.
Ri-definizione
dei coefficienti di Fourier
Moltiplicando il segnale periodico per
e − j2πmFt
ed eseguendo l’integrale tra due istanti
t1
e
t2 presi a distanza
di un multiplo intero di periodi (ossia
t2
− t1 = kT), si ottiene
t2⌠⌡t1x(t)
e − j2πmFtdt
=
t2⌠⌡t1(∞⎲⎳n
= − ∞Xn ej2πnFt)e −
.j2πmFtdt =
=
∞⎲⎳n = − ∞Xn
t2⌠⌡t1 e.j2π(n
− m)Ftdt
= (t2 − t1)⋅Xm
in quanto per
n ≠ m la
funzione integranda ha valor medio nullo, dato che nell’intervallo
(t1, t2) (dovunque collocato dell’asse dei
tempi) presenta un numero intero di periodi. Pertanto, il calcolo dei
coefficienti può ottenersi a partire da un qualunque intervallo esteso
su un numero intero di periodi:
Xn = (1)/(t2 − t1)t2⌠⌡t1x(t) e − .j2πnFtdt
Disuguaglianza
di Schwartz
↓
Consiste
nel risultato
che a volte può tornare utile nei calcoli che coinvolgono segnali di
energia. La dimostrazione si basa sull’identificare l’insieme di tali
segnali come uno spazio normato, dotato di un operatore di prodotto
scalare tra
x(t) ed
y(t)
definito come
In tal modo, il risultato
(4.7↑)
mostrato deriva da quello valido per un qualunque spazio vettoriale, che
si basa sulla disuguaglianza
|cosθ| ≤ 1, permettendo di scrivere
⟨x,
y⟩2
= (|x|⋅|y|⋅cosθ)2
≤ |x|2⋅|y|2
Applicando quindi la definizione di prodotto scalare (
4.8↑) ai due vettori-segnale
x = x(t)
e
y = y(t),
si ottiene il risultato espresso dalla disuguaglianza di Schwartz, in
cui
∫∞ −
∞|x(t)|2dt
= ∫∞ − ∞x(t)x*(t)dt
= ⟨x,
x⟩,
e per la quale vale il segno di uguale se e solo se
x(t) = Ky(t),
con
K costante reale, che
rappresenta una condizione di
parallelismo tra vettori-segnale.
2.4.3
Sviluppo in serie per alcuni segnali
Nello schema che segue, sono mostrate le
ampiezze delle componenti armoniche Xn
per alcuni segnali periodici di periodo T,
di cui è fornita l’espressione nel tempo per |t| < T
⁄ 2.
x(t) = ⎧⎨⎩
+ 1 |t|
< T ⁄ 4
− 1 T
⁄ 4 ≤ |t|
< T ⁄ 2
Xn = ⎧⎨⎩
sinc⎛⎝n2⎞⎠
n ≠ 0
0 n =
0 |
|
Treno
di impulsi rettangolari
Onda
triangolare simmetrica
x(t)
= 1 − 4|t|T |t| < T ⁄ 2
Xn = ⎧⎨⎩
sinc2⎛⎝n2⎞⎠
n ≠
0
0 n
= 0
|
 |
Rettificata
a singola semionda
Rettificata
a onda intera