Illustriamo le condizioni sufficienti a garantire la convergenza della serie di Fourier (4.4↑) al segnale x(t) di partenza per ogni istante t.

Qualora x(t), per t interno all’intervallo di un periodo t ϵ ( − ^T⁄₂, ^T⁄₂),

allora la serie ∑^∞_{n  =  − ∞}X_n e^j2πnFt eguaglia il valore x(t) del segnale utilizzato per calcolarne i coefficienti X_n  = (1)/(T) ∫^(T)/(2)_{− (T)/(2)}x(t) e^{− j2πnFt}dt in tutti i punti in cui x(t) è continuo, mentre negli istanti di discontinuità di prima specie, fornisce un valore pari alla media dei valori limite destro e sinistro. Tali condizioni si applicano direttamente ai segnali x(t) reali, mentre nel caso di segnali complessi, si applicano in modo indipendente alla parte reale ed a quella immaginaria. Inoltre le condizioni sono sufficienti e non necessarie, nel senso che anche se lo sviluppo di un segnale in serie di Fourier converge, non è detto che lo stesso soddisfi tali condizioni.

Svolgiamo ora qualche riflessione in merito alla velocità con cui i coefficienti X_n tendono a zero per n → ∞. Si può mostrare che se un segnale soddisfa le condizioni di Dirichlet, allora le ampiezze dei relativi coefficienti di Fourier rispettano l’andamento |X_n| ≤ (α)/(n), ovvero le armoniche presentano ampiezze che si riducono con legge almeno inversa del corrispondente ordine. Un caso in cui vale l’uguaglianza è quello relativo all’onda quadra studiata al § 2.2.1.4↑, in cui sono presenti discontinuità di prima specie. Al contrario, per un’onda triangolare (§ 2.4.3↓) la velocità di smorzamento delle ampiezze è maggiore, risultando infatti del tipo |X_n|  = (α)/(n²). Ciò significa che volendo approssimare il segnale troncando la serie ad un indice N, nel caso di un’onda triangolare la potenza dell’errore sarà molto minore, a parità di N, di quella osservabile per l’onda quadra. In generale, si può affermare che se la k  − esima derivata di un segnale soddisfa le condizioni di Dirichlet, allora i corrispondenti coefficienti della serie vanno a zero con legge |X_n|  ≤ (α)/(n^{k  + 1}). Ciò in pratica significa che più un segnale ha un andamento dolce, e minore sarà il suo contenuto armonico. Il caso limite è rappresentato dalla sinusoide, alla quale è associata una unica armonica (la fondamentale), e difatti per essa tutte le derivate sono continue essendo, come noto, sinusoidi anch’esse.

Sono qui richiamati alcuni concetti di rappresentazione geometrica, indispensabili per fornire alla serie di Fourier una giustificazione vettoriale, gettando così le basi per una interpretazione dei segnali come elementi di uno spazio algebrico.

Un insieme di elementi viene detto spazio lineare (o spazio vettoriale), quando sono definite le operazioni di somma tra elementi e di moltiplicazione degli stessi per dei coefficienti, e queste operazioni danno come risultato ancora un elemento dell’insieme.

I concetti ora esposti sono immediatamente applicabili all’insieme dei segnali periodici di periodo T,  una volta che questi vengano assimilati a elementi di uno spazio normato, e per i quali sia definito un operatore di prodotto scalare tra due segnali x(t) ed y(t) nella forma di un integrale a cui corrisponde una norma quadratica immediatamente riconoscibile come la potenza del segnale: Considerando ora il sottospazio dei segnali periodici con periodo T = (1)/(F) costituito dall’insieme {e^j2πnFt}, la validità di (4.6↑) di pag. 1↑ prova che gli {e^j2πnFt} costituiscono una base ortonormale per i segnali periodici di periodo T; in particolare si riconosce che l’espressione (4.3↑) di pag. 1↑ rappresenta la proiezione [43]   [43] Infatti, il prodotto scalare si calcola come il prodotto dei moduli, moltiplicato per l’angolo compreso tra i due: ⟨x,   y⟩  = |x|⋅|y|⋅cosθ. Se il secondo vettore ha lunghezza unitaria, si ottiene la proiezione del primo nella direzione del secondo. del segnale lungo i vettori della base, mentre la formula di ricostruzione (4.4↑) costituisce la rappresentazione del segnale nei termini delle sue componenti ortogonali.

Moltiplicando il segnale periodico per e^{− j2πmFt} ed eseguendo l’integrale tra due istanti t₁ e t₂ presi a distanza di un multiplo intero di periodi (ossia t₂  − t₁ = kT), si ottiene in quanto per n ≠ m la funzione integranda ha valor medio nullo, dato che nell’intervallo (t₁, t₂) (dovunque collocato dell’asse dei tempi) presenta un numero intero di periodi. Pertanto, il calcolo dei coefficienti può ottenersi a partire da un qualunque intervallo esteso su un numero intero di periodi:

Consiste nel risultato che a volte può tornare utile nei calcoli che coinvolgono segnali di energia. La dimostrazione si basa sull’identificare l’insieme di tali segnali come uno spazio normato, dotato di un operatore di prodotto scalare tra x(t) ed y(t) definito come In tal modo, il risultato (4.7↑) mostrato deriva da quello valido per un qualunque spazio vettoriale, che si basa sulla disuguaglianza |cosθ| ≤ 1, permettendo di scrivere Applicando quindi la definizione di prodotto scalare (4.8↑) ai due vettori-segnale x = x(t) e y  = y(t), si ottiene il risultato espresso dalla disuguaglianza di Schwartz, in cui ∫^∞_{−  ∞}|x(t)|²dt  = ∫^∞_− ∞x(t)x^*(t)dt  = ⟨x,   x⟩, e per la quale vale il segno di uguale se e solo se x(t) = Ky(t), con K costante reale, che rappresenta una condizione di parallelismo tra vettori-segnale.

Nello schema che segue, sono mostrate le ampiezze delle componenti armoniche X_n per alcuni segnali periodici di periodo T, di cui è fornita l’espressione nel tempo per |t| < T  ⁄ 2.