Trasformata di Fourier

Prec Capitolo 3: Trasformata di Fourier Su Capitolo 3: Trasformata di Fourier Sezione 3.2: Energia mutua e densità di energia Segue

3.1 Definizione↓

La trasformata di Fourier è idonea a rappresentare quei segnali per i quali non sussiste una struttura periodica, ed è un operatore funzionale che, applicato ad un segnale definito nel dominio del tempo, ne individua un altro nel dominio della variabile continua frequenza, a differenza della serie discreta di Fourier, adatta al caso in cui siano presenti solo armoniche della fondamentale. L’operazione di trasformazione viene rappresentata con la simbologia X(f) = ℱ{x(t)}, ed il segnale trasformato indicato con la stessa variabile di quello nel tempo, scritta in maiuscolo. La sua definizione formale dal punto di vista analitico è:

(8.1) X(f) = ^∞⌠⌡_− ∞x(t)e^− j2πftdt

la cui esistenza è garantita per segnali x(t) impulsivi, ovvero per i quali risulta ∫^∞_− ∞|x(t)|dt < ∞, cioè assolutamente sommabili. Un segnale impulsivo è anche di energia (vedi § 1.7.1↑), mentre non è sempre vero il viceversa. Ma spesso, X(f) esiste anche per segnali di energia; vedremo al § 3.8.4↓ che può essere inoltre definita, grazie ad operazioni di passaggio al limite, anche per periodici, e dunque di potenza.

L’operazione di antitrasformazione di Fourier ℱ^− 1{} svolge l’associazione inversa a ℱ{}, e consente di ottenere, a partire da un segnale definito nel dominio della frequenza, quel segnale nel dominio del tempo la cui trasformata è il primo segnale. L’antitrasformata di Fourier è definita come

x(t) = ^∞⌠⌡_− ∞X(f)e^j2πftdf

e vale ovunque x(t) sia continuo, mentre nelle discontinuità di prima specie fornisce il valore intermedio tra quelli limite destro e sinistro. Il risultato della trasformata X(f) = M(f)exp^jφ(f) è anche detto spettro di ampiezza complessa, mentre M(f) ed φ(f) sono indicati come spettri di modulo e fase.

La formula di ricostruzione, se messa a confronto con la serie di Fourier, può essere pensata come una somma integrale di infinite componenti X(f)dfe^j2πft di ampiezza (complessa) infinitesima, evidenziando come ora siano presenti tutte le frequenze e non solo le armoniche. Una seconda analogia con la serie di Fourier deriva dal considerare un segnale x(t) di durata limitata T, e calcolarne la X(f) = ℱ{x(t)} per f = (n)/(T) = nF. In tal caso, è facile verificare [45] [45]

X(nF) = ^∞⌠⌡_− ∞x(t)e^{− j2πnFt}dt = ^(T)/(2)⌠⌡_{− (T)/(2)}x(t)e^{− j2πnFt}dt = = T(1)/(T)^(T)/(2)⌠⌡_{− (T)/(2)}x(t)e^{− j2πnFt}dt = T⋅X_n

che risulta

(8.2) X(f = nF) = T⋅X_n

con X_n pari all’n-esimo coefficente di Fourier relativo ad x(t) su quello stesso periodo.

Prima di procedere con l’illustrazione delle proprietà e delle caratteristiche di questa trasformata, svolgiamo un semplice esercizio.

Trasformata di un rettangolo↓ Disponendo del segnale x(t) = A rect_τ(t), se ne calcoli lo spettro di ampiezza X(f). Si ottiene:

X(f) = ^∞⌠⌡_− ∞A rect_τ(t)e^− j2πftdt = A ^(τ)/(2)⌠⌡_{− (τ)/(2)} e^− j2πftdt = A (e^− j2πft)/( − j2πf)||^(τ)/(2)_{− (τ)/(2)} = = (A)/(πf)(e^{j2πf(τ)/(2)} − e^{− j2πf(τ)/(2)})/(2j) = Aτ(sin(πfτ))/(πfτ) = Aτ⋅sinc(fτ)

Il risultato, graficato in fig 3.2↓,

Figura 3.2 ℱ-trasformata di un rettangolo di base τ = 2 ed ampiezza A = 1

ricorda quello già incontrato a pag. 1↑ per la serie di Fourier dell’onda quadra. Il noto andamento (sinx)/(x) rappresenta ora la distribuzione in frequenza continua dello spettro di ampiezza, ed il primo zero della curva si trova presso f = (1)/(τ), in modo del tutto simile al treno di impulsi rettangolari di base τ. Notiamo esplicitamente inoltre che, aumentando la durata del rect, lo spettro si concentra, addensandosi nella regione delle frequenze più basse; mentre al contrario, qualora il rect sia più breve, X(f) si estende a regioni di frequenza più elevata.

Prec Capitolo 3: Trasformata di Fourier Su Capitolo 3: Trasformata di Fourier Sezione 3.2: Energia mutua e densità di energia Segue