Prima di esporre altre proprietà della trasformata di Fourier, occorre definire ed analizzare le proprietà della “funzione“ impulso matematico, indicato con il simbolo δ() e chiamato anche delta di Dirac. Questo è definito come un segnale δ(t) che vale zero ovunque, tranne per t = 0 dove vale infinito; per contro, l’area di δ(t) è unitaria: Da un punto di vista analitico, δ(t) non è una funzione, ma una distribuzione [54]  [54] Vedi ad es. http://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzione_(matematica) per approfondire., definita come il limite a cui tende una successione di funzioni, come discusso in appendice 3.9.2↓. E’ prassi rappresentare graficamente A⋅δ(t) come una freccia (vedi figura) con scritto accanto il valore dell’area A.

Questa proprietà è valida per entrambi i dominii (f e t) di partenza, fornendo In appendice 3.9.2↓ sono svolte riflessioni che illustrano come interpretare questo risultato. Qui osserviamo semplicemente che la costante A può essere vista come il limite, per τ →  ∞, di un segnale rettangolare: la cui trasformata per τ → ∞ risulta Ci troviamo pertanto nelle esatte circostanze che definiscono un impulso matematico, e resta da verificare che ∫^∞_− ∞τsinc(fτ)df  = 1: si può mostrare (pag. 1↑) che tale integrale vale uno per qualunque τ, e quindi possiamo scrivere ℱ{A} = A⋅δ(f).

Consideriamo un segnale periodico x(t), del quale conosciamo lo sviluppo in serie Applicando la proprietà di linearità, il risultato per la trasformata di una costante, e ricordando la proprietà della traslazione in frequenza, troviamo [55]  [55] X(f) =  ℱ{∑^∞_{n  =  − ∞}X_n e^j2πnFt} = ∑^∞_{n  =  − ∞}X_n ℱ{1⋅ e^j2πnFt} = ∑^∞_{n  =  − ∞}X_n⋅δ(f  − nF) che la ℱ-trasformata di x(t) vale: Lo spettro di ampiezza di un segnale periodico è quindi costituito da impulsi matematici, situati in corrispondenza delle frequenze armoniche, e di area pari ai rispettivi coefficienti della serie di Fourier. Un modo alternativo di calcolare la trasformata di segnali periodici è illustrato alla sezione 3.8.1↓.

x(t)  = Acos(2πf₀t  + φ) = A(e^{j(2πf₀t  + φ)} + e^{− j(2πf₀t  + φ)})/(2)

la ℱ-trasformata risulta:

X(f)  =  ℱ⎧⎩(A)/(2)( e^j2πf₀te^jφ + e^{− j2πf₀t}e^− jφ)⎫⎭        =  (A)/(2){ e^jφδ(f − f₀) +  e^− jφδ(f  + f₀)}

in cui riconosciamo X₁  = (A)/(2) e^jφ e X_− 1 = (A)/(2) e^− jφ come mostrato in figura.

Osserviamo innanzitutto che il prodotto di un segnale per un impulso unitario dà come risultato lo stesso impulso, con area pari al valore del segnale nell’istante in cui è centrato l’impulso:

(8.6) x(t)δ(t  − τ)  = x(τ)δ(t  − τ)

Questa considerazione consente di scrivere il valore di x(t) per un istante t = τ, nella forma