3.4
Impulso matematico↓
Prima
di esporre altre proprietà della trasformata di Fourier, occorre
definire ed analizzare le proprietà della “funzione“
impulso
matematico, indicato con il simbolo
δ()
e chiamato anche
delta di Dirac. Questo è definito come un
segnale
δ(t) che vale zero
ovunque, tranne per
t = 0 dove
vale infinito; per contro, l’area di
δ(t)
è
unitaria:
δ(t) = ⎧⎨⎩ ∞ con t
= 0
0
altrove
e ∞⌠⌡
− ∞δ(t)dt = 1
Da un punto di vista analitico,
δ(t) non è una funzione, ma una
distribuzione, definita come il limite a cui tende
una successione di funzioni, come discusso in appendice
3.9.2↓. E’ prassi rappresentare graficamente
A⋅δ(t) come una freccia (vedi figura) con
scritto accanto il valore dell’area A.
3.4.1
Trasformata di una costante↓
La
trasformata di una costante è un impulso matematico, di area pari al
valore della costante.
Questa proprietà è valida per entrambi i dominii
(
f e
t)
di partenza, fornendo
ℱ{A}
= A⋅δ(f)
e ℱ − 1{A} = A⋅δ(t)
In appendice
3.9.2↓
sono svolte riflessioni che illustrano come interpretare questo
risultato. Qui osserviamo semplicemente che la costante
A
può essere vista come il limite, per
τ →
∞, di un segnale rettangolare:
A = limτ → ∞Arectτ(t)
la cui trasformata per
τ → ∞
risulta
ℱ{ limτ
→ ∞Arectτ(t)} = limτ → ∞Aτsinc(fτ) = ⎧⎨⎩ ∞ con f
= 0
0
altrove
Ci troviamo pertanto nelle esatte circostanze che definiscono un impulso
matematico, e resta da verificare che
∫∞ − ∞τsinc(fτ)df
= 1: si può mostrare (pag.
1↑) che tale integrale vale uno per qualunque
τ, e quindi possiamo scrivere
ℱ{A} = A⋅δ(f).
3.4.2
Trasformata di segnali periodici↓
Consideriamo un segnale periodico
x(t),
del quale conosciamo lo sviluppo in serie
x(t) = ∞⎲⎳n
= − ∞Xn ej2πnFt
Applicando la proprietà di linearità, il risultato per la trasformata di
una costante, e ricordando la proprietà della traslazione in frequenza,
troviamo che
la
ℱ-trasformata di
x(t)
vale:
X(f) = ∞⎲⎳n
= − ∞Xn δ(f
− nF)
Lo spettro di ampiezza di un segnale periodico è quindi costituito da
impulsi
matematici, situati in corrispondenza delle frequenze armoniche, e
di area pari ai rispettivi coefficienti della serie di Fourier. Un modo
alternativo di calcolare la trasformata di segnali periodici è
illustrato alla sezione
3.8.1↓.
Trasformata di un coseno Applichiamo il risultato trovato nel verso
opposto, ossia per individuare le componenti armoniche, a partire
dall’espressione della trasformata di Fourier. Nel caso di un coseno,
che scriviamo
x(t) = Acos(2πf0t
+ φ) = A(ej(2πf0t
+ φ) + e
− j(2πf0t
+ φ))/(2)
la
ℱ-trasformata risulta:
X(f)
= ℱ⎧⎩(A)/(2)( ej2πf0tejφ + e − j2πf0te − jφ)⎫⎭
=
(A)/(2){ ejφδ(f − f0) + e
− jφδ(f
+ f0)}
in cui riconosciamo
X1 = (A)/(2) ejφ
e X − 1 = (A)/(2) e
− jφ come mostrato in figura.
3.4.3
Proprietà di setacciamento
Osserviamo innanzitutto che il
prodotto di un segnale per un
impulso unitario dà come risultato lo stesso impulso, con
area
pari al valore del segnale nell’istante in cui è centrato l’impulso:
Questa considerazione consente di scrivere il valore di
x(t)
per un istante
t = τ, nella
forma
La relazione
(8.7↑) è detta proprietà di
setacciamento
(in inglese
, sieving) in quanto
consiste nel passare (metaforicamente) al setaccio
x(t),
che compare in entrambi i membri dell’espressione ottenuta, così come la
farina compare
su entrambi i lati del setaccio stesso.