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integrazione nel tempo Su Capitolo 3: Trasformata di Fourier
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3.8 Trasformata di segnali periodici
Presentiamo ora un diverso modo di ottenere lo
spettro di un segnale periodico, che in sostanza fornisce gli stessi
risultati previsti dalla serie di Fourier, seguendo però un metodo
diverso, che si basa sulla definizione di una particolare forma d’onda
(ideale), nota come
3.8.1 Treno di impulsi↓
E’
costituito da una serie infinita di impulsi matematici distanziati di un
periodo T, si esprime
analiticamente come
πT(t) = ∞⎲⎳m
= − ∞δ(t
− mT)
e si rivelerà di utilizzo frequente nei contesti
del campionamento e delle trasmissioni numeriche.
3.8.2 Segnale periodico↓
di cui g(t) costituisce un periodo: la
concatenazione di infinite repliche di g(t),
spaziate di un periodo T l’una
dall’altra, riproduce il segnale periodico originario. Sfruttando la
proprietà di convoluzione con l’impulso traslato, la stessa somma può
essere scritta come
x(t) = ∞⎲⎳m
= − ∞g(t)*δ(t
− mT) = g(t)*∞⎲⎳m
= − ∞δ(t
− mT) = g(t)*πT(t)
dove nel secondo passaggio si è sfruttata la
linearità della convoluzione. Ricordando ora la proprietà della
moltiplicazione in frequenza, troviamo X(f) = G(f)⋅ℱ{πT(t)}; ci
accingiamo allora a determinare ℱ{πT(t)}, ossia la ...
3.8.3 Trasformata del treno di impulsi ↓
L’approccio che conviene seguire è quello di
pensare a πT(t) come ad un segnale periodico, e
svilupparlo in serie di Fourier. I coefficienti si calcolano allora
come:
Πn =
(1)/(T) (T)/(2)⌠⌡
− (T)/(2)[∞⎲⎳m
= − ∞δ(t
− mT)]
e − j2πnFtdt
= (1)/(T) (T)/(2)⌠⌡
− (T)/(2)δ(t)
e − j2πnFtdt
= (1)/(T) (T)/(2)⌠⌡
− (T)/(2)1⋅δ(t)
dt = (1)/(T)
in quanto, tra tutti gli impulsi della sommatoria,
ne resta solo uno, quello centrato in zero, dato che gli altri sono
tutti esterni ai limiti di integrazione, mentre la seconda eguaglianza
tiene conto della (8.6↑);
pertanto, tutti i coefficienti risultano avere lo stesso valore, pari ad
(1)/(T),
e possiamo dunque scrivere
3.8.4 Trasformata di segnale periodico ↓
Siamo finalmente in grado di esprimere la
trasformata di un segnale periodico come il prodotto tra quella di un
suo periodo, ed un treno di impulsi in frequenza:
Esempio Riprendendo
in considerazione il caso dell’onda quadra affrontato al § 2.2.1.4↑, non è difficile riconoscere come,
ponendo g(t) = Arectτ(t), e corrispondentemente G(f) = Aτsinc(fτ), il prodotto di G(f)
per il treno di impulsi (1)/(T)∑∞n
= − ∞δ(f
− nF) (con F
= (1)/(T)) fornisce il risultato
già incontrato:
X(f) = A(τ)/(T)∞⎲⎳n
= − ∞sinc(nFτ)δ(f
− nF)
Il risultato ottenuto ci può aiutare a mettere
in luce una uguaglianza indicata con il nome di somma di Poisson [64] [64] Per un approfondimento si
veda ad es. http://it.wikipedia.org/wiki/Formula_di_sommazione_di_Poisson.,
definita come la possibilità di esprimere un somma infinita realizzata
sulla base di una funzione nel tempo, nei termini di una somma infinita
realizzata sulla base di una funzione della frequenza, che è la
trasformata di quella nel tempo. Nel caso in esame, riscriviamo la (8.19↑) come X(f) = ∑n(1)/(T)G⎛⎝(n)/(T)⎞⎠δ⎛⎝f
− (n)/(T)⎞⎠;
antitrasformando entrambi i membri si ottiene
x(t) = ∞⎲⎳m
= − ∞g(t
− mT) = ∞⎲⎳n = − ∞(1)/(T)G⎛⎝(n)/(T)⎞⎠ej2π(n)/(T)t
che riconosciamo corrispondere all’espansione in serie di Fourier del
segnale periodico x(t), non appena constatato come i
termini (1)/(T)G⎛⎝(n)/(T)⎞⎠ altro
non siano che i suoi coefficienti Fourier, come d’altra parte risulta
anche dalla (8.2↑).
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