Avendo illustrato come sia sufficiente la
conoscenza dei soli campioni temporali
xn
= x(nTc) per descrivere completamente un
segnale continuo e limitato in banda
x(t),
e come alla sequenza tempo-discreta dei suoi campioni
xn
corrisponda una
periodicizzazione in frequenza
X•(f),
notiamo come ciò sia in qualche modo
speculare alla proprietà
dei segnali
periodici nel tempo, di godere di una
rappresentazione equivalente nel dominio della frequenza, costituita
dalla sequenza dei coefficienti
Xn
noti come serie di Fourier. L’analogia è più stringente di quanto non
possa apparire, dato che è assolutamente lecito ed esatto
usare l’espressione della serie di Fourier
(4.4↑)
nella direzione
opposta, ossia per ottenere lo spettro periodico
di ampiezza
X•(f) a partire dalla sequenza dei
campioni temporali
xn:
definendo così una
trasformata di Fourier a tempo discreto o DTFT
↓,
che produce una
X•(f) periodica in frequenza di periodo
fc = (1)/(Tc),
in cui
Tc è il
periodo di campionamento con cui sono prelevati i valori
xn. Alla
(8.26↑)
è associata una
antitrasformazione, in grado di valutare i
campioni temporali
xn
a partire dalla conoscenza di un periodo di
X•(f),
definita come
e che è del tutto analoga (a parte il segno) alla
(4.3↑) che calcola i coefficienti
della serie di Fourier.
Molte delle proprietà già note per la serie e la
trasformata di Fourier sono valide anche in questo caso, come ad esempio
Tutto ciò permette di effettuare operazioni sui
segnali come analisi spettrale e filtraggio, senza dover svolgere
calcoli analitici come integrali e trasformate, bensì operando
direttamente sui campioni di segnale mediante appositi programmi di
calcolo numerico, eseguiti su dispositivi ottimizzati a tale scopo, e quindi effettuare il
processo di conversione d/a per
riottenere un risultato tempo-continuo.
Resta comunque il fatto che nelle
(8.26↑) e
(8.27↑) tuttora
compaiono una somma di infiniti termini ed un integrale di funzione
continua, mentre per effettuare le operazioni di elaborazione numerica
possono essere usate solo sequenze di durata finita e somme. Per questo
motivo affrontiamo la sezione successiva, che illustra come ciò possa
essere risolto eseguendo il campionamento anche in frequenza, e
limitando i segnali a durate finite.