La definizione di DFT illustrata al § 4.4↑ ben si presta a calcolare il risultato relativo ad un integrale di convoluzione, a patto di seguire alcune accortezze.

Dati due segnali x(t) e h(t) limitati in banda tra   − W e W, anche il risultato della convoluzione y(t) = x(t)*h(t) è limitato in banda, ed i suoi campioni y_n = y(nT_c) (con T_c > (1)/(2W)) possono essere calcolati [117]  [117] Il risultato può essere ottenuto esprimendo l’integrale di convoluzione x(t)*h(t) nei termini dei campioni di x(t) e h(t) (eq. 8.21↑), e sfruttando la proprietà di ortogonalità di sinc(.) (vedi § 4.1.3↑). a partire da quelli di x(t) e h(t), come Nel caso in cui le sequenze x_n e h_n abbiano durata finita e pari rispettivamente a N ed M campioni, si otterrà una sequenza y_n di durata pari a N + M − 1 campioni.

Date due sequenze x_n ed h_n di durata finita N, il prodotto Y_m  = X_mH_m delle rispettive DFT X_m = ∑^N − 1_{n =  0}x_ne^{− j2π(m)/(N)n} ed H_m = ∑^{N  − 1}_n = 0h_ne^{− j2π(m)/(N)n} possiede antitrasformata ỹ_n = DFT^− 1{Y_m} periodica in n di periodo N, e pari a in cui x̃_n e h̃_n sono le sequenze periodiche di periodo N ottenute replicando infinitamente le sequenze originali x_n ed h_n ( [118]   [118] Infatti, ad x_n ed h_n corrispondono le DFT periodiche X̃_m ed H̃_m, che hanno per antitrasformata x̃_n ed h̃_n. Il prodotto X̃_mH̃_m, espresso in termini di x̃_n ed h̃_n, risulta pari a Ỹ_m  = X̃_mH̃_m = ∑^N − 1_{p  = 0}∑^N − 1_{q  = 0}x̃_ph̃_qe^{− j2π(m)/(N)(p  + q)}, ed applicando a questo la IDFT (8.31↑) , otteniamo:

ỹ_n = (1)/(N)^{N  − 1}⎲⎳_m = 0Ỹ_me^j2π(m)/(N)n = (1)/(N)^{N  − 1}⎲⎳_p = 0^N − 1⎲⎳_q = 0x̃_ph̃_q(^{N  − 1}⎲⎳_m = 0  e^{j2π(m)/(N)(n − p − q)})

Dato che ∑^N − 1_{m  = 0} e^{j2π(m)/(N)(n  − p − q)} = ⎧⎨⎩ N se q = (n  − p) + lN     0   altrimenti , con l intero, risulta allora ỹ_n  = ∑^{N  − 1}_{p  = 0}x̃_ph̃_{n  − p}, come espresso dalla (8.41↑).). La convoluzione (8.41↑) è detta circolare perché è possibile immaginare le sequenze x_n ed h_n incollate su due cilindri concentrici, e la somma svolta sui prodotti degli elementi coincidenti. Ogni valore di p corrisponde ad una diversa rotazione relativa (con angolo multiplo di 2π ⁄ N) dei cilindri, ed il campione di h_n che era allineato ad x_N − 1 rientra dall’altro lato, per corrispondere ad x₀.

Sappiamo che la convoluzione produce un risultato di durata pari alla somma delle durate degli operandi; come anticipato, nel caso di due sequenze x_n ed h_n di durata N ed M, il risultato della convoluzione discreta y_n  = ∑^N − 1_{k =  0}x_kh_n − k produce valori non nulli per indici n =  0, 1, …, N + M − 1. Pertanto, per fare in modo che la (8.41↑) produca lo stesso effetto di una convoluzione discreta, occorre costruire delle sequenze x’_n e h’_n di lunghezza almeno pari ad N + M − 1, ottenute a partire dai valori di x_n ed h_n, a cui si aggiungono M − 1 ed N  − 1 valori nulli, rispettivamente. In tal modo, il prodotto X’_mH’_m tra le DFT ad N + M − 1 punti di queste due nuove sequenze, può essere antitrasformato, per fornire il risultato corretto.

Due segnali x(t) e h(t) limitati in banda non possono, a rigore, essere limitati nel tempo. Viceversa, una finestra di segnale non può, a rigore, essere rappresentata dai suoi campioni: infatti, l’effetto della convoluzione in frequenza tra la trasformata della finestra (nominalmente illimitata in banda) e lo spettro del segnale, produce una dispersione frequenziale di quest’ultimo.