Finora si è parlato di eventi in modo astratto, mentre spesso ci si trova ad associare ad ogni punto dello spazio campione un valore numerico: lo spazio campione Ω diventa allora l’insieme dei numeri e prende il nome di variabile aleatoria, d’ora in poi spesso abbreviato in v.a. Il verificarsi di un evento corrisponde ora all’assegnazione di un valore (tra i possibili) alla v.a.; tale valore “prescelto” prende dunque il nome di realizzazione della v.a. Distinguiamo poi tra variabili aleatorie discrete e continue, a seconda se la grandezza che descrivono abbia valori numerabili o continui [128]   [128] Un esempio classico di v.a. discreta è quello del lancio di un dado, un altro sono i numeri del lotto. Una v.a. continua può essere ad esempio un valore di pressione atmosferica in un luogo, oppure l’attenuazione di una trasmissione radio dovuta a fenomeni atmosferici.. La caratterizzazione della variabile aleatoria in termini probabilistici si ottiene indicando come la “massa di probabilità” si distribuisce sull’insieme di valori che essa può assumere, per mezzo delle 2 funzioni (di v.a.) seguenti.

Come la massa di un oggetto non omogeneo è distribuita in modo più o meno denso in regioni differenti del suo volume complessivo, così la densità di probabilità (o d.d.p.↓) indica su quali valori della variabile aleatoria si concentra la probabilità. Ad esempio, la densità della v.a. discreta associata al lancio di un dado può essere scritta: il cui significato discutiamo subito, con l’aiuto del grafico a lato, in cui D indica la v.a. (il numero che uscirà), e x una sua realizzazione (una delle 6 facce). I 6 impulsi centrati in x  = n rappresentano una concentrazione di probabilità nei sei possibili valori, e l’area di tali impulsi è esattamente pari alla probabilità di ognuno dei sei risultati. E’ facile verificare che ovvero pari alla probabilità che la v.a. D assuma un valore tra a e b. In particolare, non potendosi verificare una probabilità negativa, si ha p_D(x) ≥ 0 con ∀x.

Qualora non si disponga di una espressione analitica idonea a rappresentare il modo con cui si distribuiscono i valori di una v.a., può essere utile svolgerne una stima mediante un istogramma. Questo assume l’aspetto di una versione per così dire quantizzata della d.d.p. incognita, e si ottiene a partire da una serie di realizzazioni [132]  [132] Ricavate ad esempio da basi di dati anagrafici, sanitari, meteorologici o quant’altro, oppure effettuando una apposita campagna di misura basata su di un campione statistico di adeguata numerosità (vedi anche § 5.6↓). della v.a., suddividendo il campo di variabilità della grandezza X in sotto-intervalli, e disegnandovi rettangoli verticali, ognuno di altezza pari al numero di volte che (nell’ambito del campione statistico a disposizione) X assume un valore in quell’intervallo, come rappresentato in figura.

Indichiamo con g(x) una funzione di variabile aleatoria [133]  [133] Un esempio di funzione di v.a. potrebbe essere il valore della vincita associata ai 13 in schedina, che dipende dalla v.a. rappresentata dai risultati delle partite, una volta noto il montepremi e le giocate. Infatti, per ogni possibile vettore di risultati, si determina un diverso numero di giocate vincenti, e quindi un diverso modo di suddividere il montepremi. Essendo i risultati improbabili giocati da un ridotto numero di schedine, a queste compete un valore maggiore in caso di vincita, ben superiore al suo valore atteso, indicativo invece della vincita media. .

Si definisce valore atteso (o media di insieme [134]   [134] Per insieme ci si riferisce allo spazio campione Ω, costituito dai possibili valori assunti dalla v.a. X. ) di g(x) rispetto alla variabile aleatoria X la quantità: che corrisponde ad una media pesata, in cui i valori assunti da g(x) in corrispondenza ad un certo x sono pesati [135]   [135] Notiamo che se al posto delle probabilità p_X(x)dx utilizziamo i valori di un istogramma Pr(x_i)  = (N(x_i < x  ≤ x_i + Δx))/(N) = (N_i)/(N), l’integrale si trasforma in una sommatoria, il cui sviluppo evidenzia l’equivalenza con una media pesata: ∑x_iPr(x_i)  = (x₁N₁  + x₂N₂ + ... + x_nN_n)/(N). mediante il corrispettivo valore di probabilità p_X(x)dx; tale operazione di media integrale è indicata con la notazione E_X{.} [136]  [136] In effetti, la E simboleggia la parola Expectation, che è il termine inglese usato per indicare il valore atteso. , mediante la quale si indica a pedice la v.a. (X) rispetto a cui eseguire la pesatura.

Qualora si ponga g(x) = xⁿ, ovvero pari alla n-esima potenza della v.a., il valore atteso prende il nome di momento di ordine n, e si indica come Nel caso di variabili aleatorie discrete, i momenti sono definiti come m⁽ⁿ⁾_X = ∑_ixⁿ_ip_i, in cui p_i = Pr{x = x_i}, pesando quindi le possibili realizzazioni x_i con le rispettive probabilità.

Nel caso in cui g(x) = (x − m_X)ⁿ, il relativo valore atteso è chiamato momento centrato di ordine n, ed indicato come E’ immediato constatare che μ⁽⁰⁾_X = 1 e che μ⁽¹⁾_X  = 0.

Una relazione notevole che lega i primi due momenti (centrati e non) è ( [138]  [138] Infatti risulta

σ²_X  =  E{(x  − m_X)²}  = E{x²  + (m_X)² − 2xm_X} = E{x²} + (m_X)² − 2m_XE{x}  =         =  m⁽²⁾_X  + (m_X)² − 2(m_X)² = m⁽²⁾_X − (m_X)²

Si è preferito usare la notazione E{x}, più compatta rispetto all’indicazione degli integrali coinvolti; i passaggi svolti si giustificano ricordando la proprietà distributiva degli integrali (appunto), ed osservando che il valore atteso di una costante è la costante stessa.):

Applichiamo la definizione di momento ad un caso pratico: la variabile aleatoria uniforme è caratterizzata da uno stesso valore di probabilità per tutta la gamma di realizzazioni possibili, limitate queste ultime ad un unico intervallo non disgiunto; pertanto, la densità di probabilità è esprimibile mediante una funzione rettangolare: in cui Δ rappresenta l’estensione dell’intervallo di esistenza della variabile aleatoria.

Una variabile aleatoria gaussiana x è descritta da una densità di probabilità di espressione il cui andamento è mostrato in figura, ove si pone in evidenza come m_x e σ_x (media e deviazione standard) siano in relazione la prima con la centratura orizzontale, e la seconda con la dispersione della curva attorno alla media. Oltre che da un punto di vista grafico, i primi due momenti della v.a. descrivono completamente la densità anche dal punto di vista analitico; pertanto, la stima di m_x e σ_x (a partire da un buon numero di realizzazioni [140]  [140] Disponendo di un insieme {x_n} di N realizzazioni di una variabile aleatoria X, possiamo effettuare le stime ^m_x  = (1)/(N)∑^N_{n  = 1}x_n e ^m⁽²⁾_x  = (1)/(N)∑^N_{n  = 1}x²_n, il cui valore tende asintoticamente a quello delle rispettive medie di insieme, come N (la dimensione del campione statistico) tende a ∞. Al proposito, vedi § 5.6.5↓.) è sufficiente per descrivere completamente il fenomeno aleatorio. La v.a. gaussiana descrive bene una moltitudine di fenomeni naturali, ed è dimostrabile analiticamente che la sua densità è tipica [141]   [141] Il suo scopritore, K.F. Gauss, denominò la v.a. e la sua ddp come Normale, indicando con questo il fatto che il suo uso potesse essere “quotidiano”, e per questo è indicata anche come N(m,  σ²). per grandezze ottenute dalla somma di un numero molto elevato di cause aleatorie, tutte statisticamente indipendenti e con la medesima d.d.p. [142]  [142] Questa condizione è anche detta di v.a. indipendenti e identicamente distribuite, ovvero i.i.d.↓ (teorema centrale del limite ↓ [143]  [143] Vedi http://it.wikipedia.org/wiki/Teoremi_centrali_del_limite, ovvero sperimentare presso http://local.disia.unifi.it/VL/VL_IT/applets/DiceExperiment.html. Inoltre, considerando che al § 5.2.6↓ si mostra come la d.d.p. di una somma di v.a. indipendenti sia pari alla convoluzione tra le rispettive d.d.p., osserviamo che la convoluzione ripetuta di una stessa d.d.p. con se stessa, la gaussianizza.).

Altri tipi di variabile aleatoria prendono spesso il nome da quello di uno scienziato, ed in questo testo sono definite congiuntamente ai loro casi di utilizzo, come nel caso della v.a. esponenziale § 17.2.1↓, di Bernoulli § 17.1↓, Poisson § 17.2↓, Rayleigh e Rice pag. 1↓.

La funzione caratteristica Φ_z(w) di una v.a. z è definita come l’antitrasformata di Fourier della sua densità di probabilità, ovvero (equivalentemente) come il valore atteso di e^jwz: Osserviamo che, se z = x + y è la somma di v.a. indipendenti, si ottiene: in quanto sotto tale ipotesi la d.d.p. congiunta p_XY(x, y) si fattorizza nel prodotto delle d.d.p. marginali p_X(x) e p_Y(y) (vedi § 5.1.5↑), ed il valore atteso si scompone nel prodotto di due integrali. Pertanto, la funzione caratteristica di una somma di v.a. indipendenti, è pari al prodotto delle funzioni caratteristiche.

La funzione caratteristica ha altri usi...  [145]   [145] Vedi ad es. https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_caratteristica_(teoria_della_probabilità)ma non approfondiamo oltre.