Prec Sezione 5.3: Processi
stazionari ed ergodici Su Capitolo 5: Probabilità, processi,
statistica Sezione 5.5: Gaussiana
multidimensionale Segue
5.4 Trasformazione↓ di variabile aleatoria e cambio di variabili
Quando
più v.a. si combinano con leggi diverse dalla somma, il risultato del §
5.2.6↑ non
è più sufficiente a fornire una espressione per la d.d.p. risultante.
Illustriamo quindi il procedimento analitico generale, necessario ad
ottenere una espressione per la d.d.p. di generiche funzioni di v.a.
5.4.1 Caso unidimensionale
Consideriamo una prima v.a. X,
ed una seconda Y da essa derivata
per mezzo della relazione y = f(x),
che si applica alle determinazioni x
di X. Nel caso in cui f(x)
sia monotona non decrescente (vedi fig. 5.14↓ b), e indicando con x
= g(y)
la corrispettiva funzione inversa, la caratterizzazione statistica di Y nei termini della sua d.d.p. pY(y)
può essere ottenuta a partire da quella di X,
nei termini della funzione di distribuzione di Y,
come:
e calcolando poi pY(y) = (dFY(y))/(dy). D’altra parte, qualora la
trasformazione f(x) non sia monotona come nel caso
mostrato in fig. 5.14↓
a), la (10.12↑)
non è più usabile come tale, in quanto i valori y
≤ ỹ hanno origine da due diversi intervalli di X,
in corrispondenza dei quali l’area sottesa dalla pX(x)
individua la probabilità cercata.
Procedendo con ordine, trattiamo prima il caso di f(x)
monotona crescente come in fig. 5.14↑ b), in cui per ogni valore di ỹ
esiste un solo intervallo di X̃ ⊂ X
tale che y = f(x)|x ∈ X̃ ≤ ỹ,
e la (10.12↑)
può essere riscritta come
FY(y) = Pr{X
≤ g(y)} = FX(x
= g(y))
che, derivata, permette di giungere alla espressione che consente il
calcolo della pY(y):
La (10.13↑)
può essere interpretata a parole, osservando che la nuova v.a. y
= f(x)
possiede una d.d.p. pari a quella di x,
calcolata con argomento pari alla funzione inversa x
= g(y),
moltiplicata per la derivata di g(y). La d.d.p. della v.a. risultante si
presta anche ad un processo di costruzione grafica, come esemplificato
in fig. 5.14↑
c). Esempio Determinare pY(y),
qualora risulti y = f(x)
= ⎧⎨⎩
0
con x ≤ 0
x2
con x > 0
, nel
caso in cui pX(x)
= (1)/(Δ)rectΔ(x).
Osserviamo innanzitutto che tutte le determinazioni x
≤ 0 danno
luogo ad un unico valore y = 0; pertanto si ottiene pY(0) = (1)/(2)δ(y).
Per 0 < y ≤ (Δ2)/(4) (corrispondente ad
0 < x ≤ (Δ)/(2)) si applica la
teoria svolta, ottenendo FY(y)
= Pr{x ≤ √(y)} = FX(√(y)),
e dunque
pY(y) = (dFY(y))/(dy)
= (dFX(x))/(dx)||x
= √(y)(d(x = √(y)))/(dy)
= (1)/(Δ)(1)/(2√(y))
in cui
l’ultima eguaglianza tiene conto che (dFX(x))/(dx) = pX(x),
che vale (1)/(Δ)
per tutti gli x
nell’intervallo in considerazione. L’ultima curva mostra la
d.d.p risultante per questo esempio. Esempio Nel caso in cui f(x)
sia una relazione lineare y = ax
+ b possiamo scrivere x
= g(y)
= (y
− b)/(a) e (d)/(dy)g(y) = (1)/(a);
pertanto la (10.14↑)
si traduce in pY(y) =
(1)/(|a|)pX⎛⎝(y
− b)/(a)⎞⎠,
ovvero la nuova v.a. Y possiede
una d.d.p. con lo stesso andamento di pX(x),
ma traslata di b e compressa o
espansa di a.
In questa circostanza due o più valori di X producono lo stesso valore di Y (vedi fig. 5.14↑ a)), e non esiste una funzione inversa x = g(y) univoca. In tal caso si suddivide la
variabilità di X in più intervalli
i, in modo che per
ciascuno di essi possa definirsi una fi(x)
monotona: tali intervalli individuano eventi mutuamente esclusivi, e
dunque si può calcolare il lato destro di (10.14↑) per ogni funzione inversa gi(y) = f − 1i(x),
e quindi sommare i risultati per ottenere pY(y).
Esempio Consideriamo
la funzione y = f(x) = cos(x) in cui x
è una v.a. con d.d.p. uniforme pX(x) =
(1)/(2π)rect2π(x
− π).
Dato che per 0 ≤ x
≤ π il coseno è decrescente, mentre per π
≤ x ≤ 2π è crescente, applichiamo la (10.14↑) su questi due intervalli. Per il
primo si ha
x
= g1(y) = arccos(y), la cui derivata vale (dg1(y))/(dy) = ( − 1)/(√(1 − y2)), mentre pX(x)
è costante e pari a (1)/(2π) indipendentemente da x, e dunquepX(g1(y)) = (1)/(2π). Per il secondo intervallo la funzione inversa vale
ancora x = g2(y)
= arccos(y),
così come medesime sono le altre considerazioni. Pertanto si ottiene
pY(y)
= pX(g1(y))||(dg1(y))/(dy)||
+ pX(g2(y))||(dg2(y))/(dy)||
=
= 2⋅(1)/(2π)⋅||(
− 1)/(√(1 − y2))||
= ⎧⎨⎩
(1)/(π√(1 − y2))
− 1 ≤ y ≤
1
0
altrove
5.4.2 Caso multidimensionale
Descriviamo questo caso per mezzo del vettore di
v.a. X = (x1,
x2, …, xn),
a cui è associata una d.d.p. congiunta pX(x1, x2, …,
xn), e
di un secondo vettore aleatorio Y
dipendente dal primo mediante la trasformazione Y
= F(X), ovvero
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ y1
= f1(x1, x2, …,
xn)
y2 = f2(x1,
x2, …, xn)
⋮
yn = fn(x1,
x2, …, xn)
Se esiste la relazione inversa X = F
− 1( Y) univoca, composta dall’insieme
di funzioni xi = gi(y1,
y2, …, yn) per i = 1, 2, ⋯, n, allora per la
d.d.p di Y sussiste [159]
[159]
La dimostrazione segue le medesime linee
guida del caso precedente, ed è impostata sulla base della
considerazione che la funzione di distribuzione di Y,
calcolata in un generico punto ỹ
= (ỹ1, ỹ2,
…, ỹn),
rappresenta la probabilità che Y
appartenga alla regione (dominio) delimitata dal punto ỹ,
indicata con :
FY(ỹ)
= Pr{Y ≤ ỹ} = Pr{Y
∈ Dỹ}
Alla stessa regione Dỹ,
ne corrisponde una diversa nello spazio X, tale che per ogni valore x◇ ∈ risulti y◇
= G(x◇) ∈ . Con queste posizioni,
la FY(ỹ)
= Pr{Y ∈ Dỹ} si calcola a partire
dalla d.d.p. pX(x),
integrata sul dominio :
un risultato formalmente molto simile a quello valido
nel caso monodimensionale, e cioè
in cui pX(x
= G(Y)) è la
d.d.p. di X calcolata con
argomento dipendente da Y, e |J(X
⁄ Y)|
è il jacobiano [160] [160] J(X
⁄ Y)è indicata come matrice
jacobiana, ed il suo determinante come jacobiano,
vedi https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_jacobiana↓
della trasformazione inversa G,
ossia il determinante della matrice costituita da tutte le sue derivate
parziali:
FY(ỹ)
= Pr{X ∈ Dx̃} = ⌠⌡Dx̃pX(x)dx
Infine, osservando che
pY(y1,
y2, …, yn) = (∂nFY(y1,
y2, …, yn))/(∂y1∂y2⋯∂yn)
si ottiene il risultato mostrato. J(X ⁄
Y) = ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
(∂x1)/(∂y1)
(∂x1)/(∂y2)
⋯ (∂x1)/(∂yn)
(∂x2)/(∂y1)
⋱
⋮
⋮
⋱ ⋮
(∂xn)/(∂y1)
⋯ ⋯ (∂xn)/(∂yn) ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦
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