Questo termine individua una v.a. vettoriale X ottenuta a partire da n v.a. marginali x_i,  i  = 1, 2, ⋯, n tutte gaussiane. La d.d.p. congiunta in questo caso è espressa in modo formalmente simile a quello del caso unidimensionale, come in cui x = [x₁,  x₂, ⋯, x_n] è il vettore riga che rappresenta le n v.a. marginali, m_x è il vettore dei rispettivi valori medi, Σ_x è la matrice di covarianza (vedi § 6.1.2↓) i cui n  × n elementi risultano pari a σ_{xi,  xj} = E{(x_i − m_xi)(x_j  − m_xj)}, e ^⊤ rappresenta l’operatore di trasposizione. In tal caso le v.a. marginali x_i vengono dette congiuntamente gaussiane, e la conoscenza di m_x e Σ_x ne definisce in modo completo la densità di probabilità.

Affrontiamo la dimostrazione di quanto affermato in fondo al § 6.1.2↓, ovvero che, unicamente nel caso di v.a. congiuntamente gaussiane, il sussistere di incorrelazione tra le stesse ne implica l’indipendenza statistica. Osserviamo infatti che nel caso in cui le v.a. marginali siano incorrelate, ossia σ_{xi,  xj} = 0 con i  ≠ j, la matrice di covarianza Σ_x risulta essere diagonale, così come la sua inversa, i cui elementi risultano in tal caso essere pari a ¹⁄_σ²xi; inoltre, si ottiene che det(Σ_x)  = ∏ⁿ_i = 1σ²_xi. Pertanto in questo caso la (10.16↑) si esprime come che evidentemente equivale al prodotto delle singole d.d.p. marginali [161]  [161] Si verifichi per esercizio che nel caso di una coppia di v.a. congiuntamente gaussiane, a media nulla ed uguale varianza, si ottiene l’espressione (16.2↓) di pag. 1↓. Ma dato che questo risultato è proprio la definizione di indipendenza statistica (§ 6.1.2↓) tra le v.a. marginali, abbiamo ottenuto la dimostrazione cercata.

Un’altra importante proprietà di questo tipo di v.a. è la sua invarianza ripetto alle operazioni di combinazione lineare. Se infatti indichiamo con X una v.a. gaussiana multivariata, e con Y = XA un secondo vettore aleatorio ottenuto mediante moltiplicazione di X per una matrice A, fornendo y_j = ∑ⁿ_i = 1a_ijx_i, possiamo mostrare che anche Y risulta descrivere una v.a. gaussiana. In accordo con la trattazione svolta al § 5.4.2↑, scriviamo la trasformazione inversa come X =  YB in cui B = A^− 1, mentre per la d.d.p. della nuova v.a. Y, in base alla (10.15↑) otteniamo p_Y(y) = p_X(x  = yB)⋅det(B), in quanto la matrice jacobiana J(X ⁄ Y) corrisponde alla trasposta della matrice B stessa [162]   [162] Infatti, potendo scrivere x_i  = ∑ⁿ_{j  = 1}b_jiy_j, l’elemento i, j della matrice J risulta pari a j_ij = (∂x_i)/(∂y_j) = b_ji.; inoltre, risulta che m_x  = m_yB. Sostituendo questi risultati nella (10.16↑) si ottiene pertanto che è nuovamente l’espressione di una d.d.p. gaussiana multivariata y, con media m_y  = m_xB^− 1 =  m_xA e covarianza Σ_y = A^⊤Σ_xA [163]  [163] Infatti risulta (BΣ^− 1_xB^⊤)^− 1 = (  B^⊤)^− 1  Σ_xB^− 1 che, essendo B^− 1 =  A, fornisce il risultato per Σ_y..

Una importante classe di segnali aleatori è costituita da un processo stazionario in senso lato, la cui d.d.p. di primo ordine è gaussiana, e dai cui membri è possibile estrarre ad istanti diversi una o più v.a. gaussiane, che indichiamo collettivamente con il vettore aleatorio x, descritto dalla d.d.p. multivariata (10.16↑).