6.3
Stima spettrale ↓
Il teorema di Wiener (§
6.2.1↑) ci aiuta qualora si desideri conoscere
la densità di potenza per un processo, di cui siamo in grado di stimare
o postulare un
m(1, 1)X(τ) = ℛX(τ). Spesso però si ha a che fare con
segnali di cui, pur ricorrendo le ipotesi di appartenenza ad un processo
ergodico, si ignorano le statistiche di insieme. Un altro caso tipico è
quello di un segnale che, pur se rappresentativo di molti altri, non
presenta caratteristiche spettrali costanti nel tempo, e sono proprio le
variazioni di queste ultime ad interessare.
In questi casi, tutto ciò che si può fare è tentare una stima dello
spettro di potenza del segnale, a partire da un suo segmento temporale.
Esistono al riguardo tecniche differenti, come ad es. quella riportata
al §
12.1.2↓;
per ora ci limitiamo ad un caso
semplice ma di rilievo teorico.
6.3.1
Periodogramma↓
Data una realizzazione
x(t, θi) di un processo, individuiamo un
intervallo temporale
T su cui
definire un segnale a durata limitata
xT(t) = x(t, θi)rectT(t).
Questo segnale è di energia, con
ℰxT(f) = |XT(f)|2,
e sotto le ipotesi di stazionarietà, da questo si può ottenere una stima
^Px(f)
della densità di potenza
Px(f)
dell’intero segnale, semplicemente dividendo
ℰxT(f)
per la durata del segmento, ovvero
ottenendo una funzione della frequenza indicata come
periodogramma,
nome legato all’uso che ne fu inizialmente fatto, per scoprire
tracce di periodicità in un segnale
rumoroso. Al tendere di
T ad
∞,
la
(10.28↑)
tende alla
vera densità di potenza
limT
→ ∞(|XT(f)|2)/(T)
= Px(f) della realizzazione
xT(t, θi)
e, se questa appartiene ad un processo ergodico,
a quella di un qualunque altro membro.
Polarizzazione
e risoluzione spettrale
↓
Nel caso reale in cui
T
non tende ad infinito, si può mostrare che usando
PxT(f)
come una stima
^Px(f)
della vera densità
Px(f)
del processo, si incorre in un errore descritto come
ossia della stessa natura di quello osservato al §
3.9.3↑ a riguardo del procedimento di
finestratura
temporale↓,
e che mostra come lo stimatore è
polarizzato, e
caratterizzato da una
risoluzione spettrale
(§
63↑)
dell’ordine di
1⁄T Hz.
Come discusso, la stima
^Px(f)
tende al vero
Px(f)
per
T che aumenta, migliorando
allo stesso tempo il potere di risoluzione in frequenza; d’altra parte
però i valori di
^Px(f)
per una determinata
f sono pur
sempre delle v.a., e la loro varianza...
non migliora
all’aumentare di
T, rendendo lo
stimatore
inconsistente! Riprendendo la notazione della nota (
82↑),
si può dimostrare
infatti che la varianza
σ2T
della stima
(10.28↑)
è pari al valore di
Px(f)
stesso, ossia per ogni valore di frequenza, la deviazione standard del
valore di
^Px(f)
è pari a
√(Px(f)), indipendentemente da
quanto sia grande
T. Anche se la
teoria prevede che la varianza di uno stimatore diminuisca con
l’aumentare dei dati a disposizione (vedi
(10.17↑) a pag.
1↑), questo non avviene. Il motivo può essere
spiegato considerando che, in una implementazione numerica mediante
dft (§
4.4↑), all’aumentare di
T
aumenta anche il numero di valori in frequenza che sono calcolati, e
dunque non si determina un reale
accumulo di dati per uno stesso
valore stimato..
Esempio Approfondiamo il senso di quanto illustrato con
l’aiuto di fig. 6.7↑, un cui mostriamo l’esito del calcolo
del periodogramma mediante una fft
(§ 4.4.2↑)
ad un numero variabile di punti, indicati in ascissa. Sul lato
sinistro della figura, il processo x(t, θi) è costituito da un rumore
colorato con Px(f) =
(1 − cos(4πfTc))2, che pure è mostrato
in figura: come anticipato, il valore stimato ^Px(f)
si discosta da quello atteso Px(f)
in modo tanto maggiore quanto più questo è grande, per qualunque
durata di osservazione.
Viceversa,
la colonna di destra di fig. 6.7↑ mostra l’effettiva utilità del
periodogramma per individuare segnali a banda stretta immersi
nel rumore. In questo caso una sinusoide con frequenza f0
= (fc)/(10) e potenza (1)/(2) è stata sommata ad
un rumore gaussiano bianco con σ2n
= 4, ottenendo così un SNR
pari a (1)/(8),
ovvero -9 dB. Utilizzando (in alto a destra) una fft
a 128 punti (e dunque se ne mostrano la metà, vedi pag. 1↑), il tono presente appare
difficilmente distinguibile dai valori su cui può oscillare la
stima per il rumore bianco. Ma è sufficiente raddoppiare il
numero di campioni per migliorare la situazione: mentre la
potenza della sinusoide raddoppia (assieme alla varianza della
sua stima), il livello di rumore si mantiene costante (notare la
diversa scala orizzontale). Ecco dunque spiegato il motivo del
suo nome :-)