Il teorema di Wiener (§ 6.2.1↑) ci aiuta qualora si desideri conoscere la densità di potenza per un processo, di cui siamo in grado di stimare o postulare un m^(1, 1)_X(τ) = ℛ_X(τ). Spesso però si ha a che fare con segnali di cui, pur ricorrendo le ipotesi di appartenenza ad un processo ergodico, si ignorano le statistiche di insieme. Un altro caso tipico è quello di un segnale che, pur se rappresentativo di molti altri, non presenta caratteristiche spettrali costanti nel tempo, e sono proprio le variazioni di queste ultime ad interessare [189]   [189] Un esempio può essere un segnale sonoro, ad esempio una voce recitante, per il quale vogliamo studiare le caratteristiche spettrali dei diversi suoni della lingua (i fonemi), per confrontarle con quelle di un altro individuo, o per ridurre la quantità di dati necessaria a trasmettere il segnale in forma numerica (vedi § 12.1.2↓), o per realizzare un dispostivo di riconoscimento vocale.. In questi casi, tutto ciò che si può fare è tentare una stima dello spettro di potenza del segnale, a partire da un suo segmento temporale. Esistono al riguardo tecniche differenti, come ad es. quella riportata al § 12.1.2↓; per ora ci limitiamo ad un caso semplice ma di rilievo teorico.

Data una realizzazione x(t,  θ_i) di un processo, individuiamo un intervallo temporale T su cui definire un segnale a durata limitata x_T(t) = x(t, θ_i)rect_T(t). Questo segnale è di energia, con ℰ_xT(f) = |X_T(f)|², e sotto le ipotesi di stazionarietà, da questo si può ottenere una stima ^P_x(f) della densità di potenza P_x(f) dell’intero segnale, semplicemente dividendo ℰ_xT(f) per la durata del segmento, ovvero ottenendo una funzione della frequenza indicata come periodogramma, nome legato all’uso che ne fu inizialmente fatto, per scoprire tracce di periodicità in un segnale rumoroso. Al tendere di T ad ∞, la (10.28↑) tende alla vera densità di potenza lim_{T  → ∞}(|X_T(f)|²)/(T)  = P_x(f) della realizzazione x_T(t, θ_i) e, se questa appartiene ad un processo ergodico [190]   [190] Nel caso contrario in cui x(t, θ) non sia ergodico, la sua densità spettrale può essere definita come P_x(f) =  lim_{T  → ∞}E⎧⎩(|X_T(f)|²)/(T)⎫⎭., a quella di un qualunque altro membro.

Nel caso reale in cui T non tende ad infinito, si può mostrare [191]  [191]  Per una determinata frequenza f₀, il valore P_xT(f₀)  = (|X_T(f₀)|²)/(T) è una variabile aleatoria (dipende infatti da θ), il cui valore atteso m_T  = E_θ{P_xT(f₀)} vorremmo fosse pari alla vera densità P_x(f₀)), e la cui varianza σ²_T  = E_θ{(P_xT(f₀)  −  P_x(f₀))²} vorremmo che diminuisse al crescere di T. Per verificare se tali proprietà sono soddisfatte, valutiamo innanzitutto il valore atteso del periodogramma, a partire dalle relazioni fornite dal teorema di Wiener applicato ad X_T(f), e cioè |X_T(f)|² = ℰ_xT(f) =  ℱ{ℛ_xT(τ)}:

E_θ{P_xT(f)}  =  E_θ⎧⎩ℱ⎧⎩(1)/(T)^∞⌠⌡_− ∞x(t, θ)rect_T(t)x(t + τ, θ)rect_T(t + τ)dt⎫⎭⎫⎭  =         =  ℱ⎧⎩(1)/(T)^∞⌠⌡_− ∞E_θ{x(t,  θ)x(t  + τ, θ)}rect_T(t)rect_T(t + τ)dt⎫⎭  =         =  ℱ⎧⎩ℛ_x(τ)(1)/(T)^∞⌠⌡_− ∞rect_T(t)rect_T(t + τ)dt⎫⎭  = ℱ{ℛ_x(τ)⋅tri_2T(τ)} =         =  P_x(f)*T(sinc(fT))²

Osserviamo quindi come, all’aumentare di T, il nostro stimatore tende al valore vero, dato che T(sinc(fT))² tende ad un impulso. che usando P_xT(f) come una stima ^P_x(f) della vera densità P_x(f) del processo, si incorre in un errore descritto come ossia della stessa natura di quello osservato al § 3.9.3↑ a riguardo del procedimento di finestratura temporale↓, e che mostra come lo stimatore è polarizzato [192]   [192] Quando il valore atteso di uno stimatore tende al valore vero, si dice (vedi § 5.6.4↑) che lo stimatore è non polarizzato (o unbiased); se poi aumentando la dimensione del campione, la varianza della stima tende a zero, lo stimatore è detto consistente. Ci consola verificare che, come commentato alla nota precedente, per T  → ∞ la polarizzazione tende a scomparire, rendendo la stima asintoticamente non polarizzata., e caratterizzato da una risoluzione spettrale [193]   [193] La risoluzione spettrale in questo caso dipende dalla larghezza del lobo principale della densità di energia della funzione finestra applicata a ℛ_x(τ), che nel caso del tri_2T(τ) risulta (sinc(fT))², il cui lobo principale è appunto ampio ¹⁄_T. Anche la risoluzione, quindi, migliora all’aumentare di T. (§ 63↑) dell’ordine di ¹⁄_T Hz.

Come discusso, la stima ^P_x(f) tende al vero P_x(f) per T che aumenta, migliorando allo stesso tempo il potere di risoluzione in frequenza; d’altra parte però i valori di ^P_x(f) per una determinata f sono pur sempre delle v.a., e la loro varianza... non migliora all’aumentare di T, rendendo lo stimatore inconsistente! Riprendendo la notazione della nota (82↑), si può dimostrare [194]  [194] Vedi ad es. http://risorse.dei.polimi.it/dsp/courses/ens_l1/books/libro07secondaparte.pdf infatti che la varianza σ²_T della stima (10.28↑) è pari al valore di P_x(f) stesso, ossia per ogni valore di frequenza, la deviazione standard del valore di ^P_x(f) è pari a √(P_x(f)), indipendentemente da quanto sia grande T. Anche se la teoria prevede che la varianza di uno stimatore diminuisca con l’aumentare dei dati a disposizione (vedi (10.17↑) a pag. 1↑), questo non avviene. Il motivo può essere spiegato considerando che, in una implementazione numerica mediante dft (§ 4.4↑), all’aumentare di T aumenta anche il numero di valori in frequenza che sono calcolati, e dunque non si determina un reale accumulo di dati per uno stesso valore stimato. [195]  [195] Esistono diverse soluzioni a questo problema, tutte legate ad una riduzione della risoluzione spettrale. La prima è quella di smussare il ^P_x(f) ottenuto, mediando i valori su frequenze vicine: tale operazione corrisponde ad un filtraggio in frequenza. Un secondo metodo prevede di suddividere l’intervallo di osservazione in diversi sottointervalli, calcolare il periodogramma su ciascuno di essi, e mediare i risultati. .

Viceversa, la colonna di destra di fig. 6.7↑ mostra l’effettiva utilità del periodogramma per individuare segnali a banda stretta immersi nel rumore. In questo caso una sinusoide con frequenza f₀  = (f_c)/(10) e potenza (1)/(2) è stata sommata ad un rumore gaussiano bianco con σ²_n  = 4, ottenendo così un SNR pari a (1)/(8), ovvero -9 dB. Utilizzando (in alto a destra) una fft a 128 punti (e dunque se ne mostrano la metà, vedi pag. 1↑), il tono presente appare difficilmente distinguibile dai valori su cui può oscillare la stima per il rumore bianco. Ma è sufficiente raddoppiare il numero di campioni per migliorare la situazione: mentre la potenza della sinusoide raddoppia (assieme alla varianza della sua stima), il livello di rumore si mantiene costante (notare la diversa scala orizzontale). Ecco dunque spiegato il motivo del suo nome :-)