Supponiamo quindi di trasmettere un segnale x(t), ottenuto facendo transitare un impulso δ(t) attraverso un filtro con risposta impulsiva (di durata limitata T) h_T(t) = g⎛⎝t − (T)/(2)⎞⎠, e di ricevere lo stesso segnale in presenza di rumore gaussiano bianco a media nulla n(t), con densità spettrale P_N(f) = (N₀)/(2). Osserviamo che lo schema di fig. 6.9↑ è del tutto simile a quello proposto al § 8.3.1↓, con la differenza che ora H_R(f) è ottimizzato tenendo conto di H_T(f).

Un ricevitore a filtro adattato effettua una decisione di massima verosimiglianza↓ (vedi § 5.6.3↑) a riguardo della presenza (ipotesi H₁) o assenza (ipotesi H₀) del segnale x(t) in base alla osservazione della grandezza z(T) ottenuta (vedi figura 6.9↑) filtrando il segnale ricevuto y(t) mediante il filtro (adattato) di ricezione H_R(f), la cui uscita z(t) è campionata↓ all’istante t = T. Il valore osservato z(T) è quindi confrontato con una soglia λ, determinando la decisione per H₁ o H₀ a seconda se λ sia superata o meno. Si commette un errore sia decidendo per H₁ in assenza di segnale, sia decidendo per H₀ in sua presenza [201]  [201] Indicando rispettivamente con P_e0 e P_e1 i due tipi di errore, pari a (vedi fig. 6.11↓) P_e0  = ∫^∞_λp_Z(z ⁄ H₀)dz e P_e1 = ∫^λ_− ∞p_Z(z ⁄ H₁)dz, la probabilità di errore complessiva vale P_e  = P_e0P₀ + P_e1P₁, in cui P_o = Pr(H₀) e P₁ = Pr(H₁). . Si dimostra [202]   [202] la dimostrazione è rimandata alla nota 6.5↓ che tale probabilità di errore può essere resa minima se H_R(f) viene realizzato in modo che

ovvero [203]  [203] Avendo definito h_T(t) =  g⎛⎝t  − (T)/(2)⎞⎠, risulta che

H^*_T(f) =  (G(f)e^{− j2πf(T)/(2)})^*  = G^*(f)e^{+ j2πf(T)/(2)}

e dunque H^*_T(f)e^− j2πfT  = X^*(f)e^− j2πfT  = G^*(f)e^{− j2πf(T)/(2)}. D’altra parte, potendo scrivere H^*_T(f)e^− j2πfT  = (H_T(f)e^j2πfT)^* e ricordando la proprietà (8.5↑) espressa a pag. 1↑ ℱ^− 1{X^*(f)} = x^*(  − t), otteniamo che

h_R(t)  =  ℱ^− 1{H^*_T(f)e^− j2πfT} = ℱ^− 1{(H_T(f)e^j2πfT)^*}  =         =  h^*_T(θ + T)|_{θ =  − t}  = h^*_T(T  − t) = x^*(T − t)

Infine, essendo x(t) = g(t  − ^T⁄₂) si ottiene anche h_R(t) =  g^*(θ  − ^T⁄₂)|_{θ = T − t}  = g^*(^T⁄₂  − t). La fig. 6.9↑ mostra l’esito di tali operazioni nel caso di una g(t) triangolare.

Con tali scelte, nel caso H0 in cui x(t) è assente risulta y(t) = n(t), e la grandezza di decisione z(T) è una v.a. gaussiana [204]   [204] Ricordiamo (vedi § 6.4.2↑) che l’uscita di un filtro al cui ingresso è posto un processo gaussiano, è anch’essa gaussiana. definita come ossia pari all’intercorrelazione (eq. 10.24↑) tra x(t) e n(t), calcolata nell’origine, e presenta valore atteso mH0z(T) nullo [205]  [205] Infatti mHoz(T) = E{ℛXN(0)}  = E{∫T0x*(t)n(t)dt}, che è pari a zero se E{n(t)} = 0. e varianza [206]  [206] Risulta σ2z(T)  = E{z2(T)} = ℛZ(τ)|τ = 0. Sappiamo che ℛZ(τ) = ℛN(τ)*ℛHR(τ) =  (N0)/(2)δ(τ)*ℛHR(τ) =  (N0)/(2)ℛHR(τ); pertanto

σ²_z(T)  = (N₀)/(2)ℛ_HR(0) = (N₀)/(2)^∞⌠⌡_− ∞h^*_R(t)h_R(t)dt = (N₀)/(2)ℰ_G

dato che h_R(t) ha la stessa energia di g(t). σ²_z(T) = (N₀)/(2)ℰ_G in cui ℰ_G è l’energia dell’impulso g(t).

Se invece il segnale è presente (ipotesi H1), si ottiene producendo una grandezza di decisione z(T) sempre gaussiana, con valor medio mH1z(T) = ℰG e varianza σ2z(T) uguale al caso di assenza di segnale [207]  [207] Infatti, ora risulta mH1z(T)  = E{ℛX(0) + ℛXN(0)}, in cui il contributo del secondo termine è nullo come già osservato, mentre quello del primo non è aleatorio, e vale ℛX(0) = ∫T0x*(t)x(t)dt  = ℰG, in quanto il segnale x(t) ha la stessa energia di g(t). Per ciò che riguarda σ2z(T), osserviamo che essendo il filtro di ricezione un operatore lineare, l’uscita si ottiene come sovrapposizione degli effetti delle due cause x(t) ed n(t), e la componente aleatoria dell’uscita è dovuta al solo n(t); pertanto, la sua varianza è la stessa calcolata per il caso H0 di segnale assente.. Notiamo che mH1z(T) = ℰG non dipende dalla particolare g(t) adottata, né dalla sua durata T, ma solo dalla sua energia, ed è per questo che il filtro di ricezione è detto adattato.

La figura 6.11↑ mostra la d.d.p. di z(T) nelle ipotesi H0 ed H1; osserviamo quindi (vedi nota 6.5↑) che nel caso in cui la probabilità a priori delle due ipotesi sia uguale (ovvero Po = Pr(H0)  = P1 = Pr(H1)), la probabilità di errore (calcolata nel seguito) risulta minima se il valore della soglia λ viene fissato pari a (ℰG)/(2), e qualora HR(f) sia tale che il rapporto (mH1z(T))/(σz(T)) è il massimo possibile [208]  [208] Infatti il rapporto (mH1z(T))/(σz(T)) confronta l’uscita attesa mH1z(T) = ℰG di HR per t = T, con la deviazione standard σz(T) di tale valore e dovuta al rumore: in altre parole, è indicativo della separazione delle gaussiane riportate in figura 6.11↑. Pertanto, maggiore è questo rapporto, e minore sarà la probabilità di errore.. La dimostrazione che la scelta (10.31↑) consegue proprio questo risultato è svolta sotto [209]  [209]  Consideriamo il caso in cui si abbia una HR(f)  = H(f) generica. In presenza di solo segnale, si ottiene

|z(T)|²  = |F^− 1{Z(f)}|_{t  = T}|² = |^∞⌠⌡_− ∞H(f)X(f)e^j2πfTdf|²

A questa espressione può essere applicata la diseguaglianza di Schwartz (a pag. 1↑ si enuncia la relazione |∫^∞_− ∞a(θ)b^*(θ)dθ|² ≤ ∫^∞_− ∞|a(θ)|²dθ⋅∫^∞_− ∞|b(θ)|²dθ, con l’eguaglianza solo se a(θ) = k⋅b(θ)), qualora si faccia corrispondere H(f) ad a(θ), e X(f)e^j2πfT a b^*(θ), ottenendo così

|z(T)|2  = (mH1z(T))2  ≤ ∞⌠⌡ − ∞|H(f)|2df⋅∞⌠⌡ − ∞|X(f)|2df

con l’eguaglianza solo se H(f) = kX*(f)e − j2πfT, ovvero (vedi pag. 1↑) se h(t) = kx(T  − t), ossia se H(f) è adattata a X(f). Scegliendo k = 1, i due integrali a prodotto hanno lo stesso valore, pari a ℰG, e dunque (mH1z(T))2  = |z(T)|2  = ℰ2G., ed è fondata sulla prova che in tal modo viene massimizzato il valore di (mH1z(T))2, e con esso il quadrato (mH1z(T)⁄σz(T))2 del rapporto suddetto, che viene indicato anche come l’SNR [210]  [210] In effetti la (10.33↓) non è adimensionale ma è esprimibile come [sec], dunque non è un vero e proprio SNR, ma dato che il termine rende l’idea, questa accezione è entrata nell’uso comune. all’istante di decisione, e che nel caso in cui HR(f) è adattato vale costituendo il massimo che si può ottenere, tra tutte le possibili scelte per il filtro di ricezione hR(t), con energia di hR(t) pari a ℰG. Notiamo però che (10.33↑) è valida solo in presenza di rumore bianco, mentre se questo è colorato, l’SNR diminuisce, ed il filtro ottimo va determinato nel modo specificato poco più avanti.

In questo modo l’uscita del filtro all’istante di campionamento rappresenta una v.a. gaussiana z con media m_z = ±ℰ_G (a seconda se sia stato trasmesso x₁ o x₂) e varianza σ²_z = (N₀)/(2)ℰ_G. Pertanto ora la soglia di decisione è pari a zero, e nel caso di simboli equiprobabili, in base alla nota 6.5↑, la probabilità di errore↓ P_e corrisponde a quella di osservare z > ℰ_G: in conseguenza del risultato (10.7↑) di pag. 1↑ si ottiene quindi che, identificando in ℰ_G l’energia per bit E_b, fornisce un valore identico a quello di eq. (10.72↓) (pag. 1↓) e relativo al caso di trasmissione di un impulso di Nyquist a coseno rialzato con L  = 2 e γ  = 0, e con un filtro di ricezione passabasso. Ma se γ  =  0, la trasmissione avviene a banda minima (§ 8.2.2.3↓), e dunque il filtro rettangolare passa-basso è proprio il filtro adattato!