6.5
Filtro adattato↓
Si tratta del filtro da utilizzare da parte di un
detettore di
impulso, ovvero un dispositivo che deve decidere per la presenza o
assenza di una forma d’onda nota immersa nel rumore, in modo da rendere
minima la probabilità di sbagliare. Un problema simile è già stato
affrontato al §
13.3.2↓,
ma ora ci riferiamo ad una
detezione coerente, in cui il segnale
è completamente specificato, compresa la sua temporizzazione o fase.
Supponiamo quindi di trasmettere un segnale
x(t),
ottenuto facendo transitare un impulso
δ(t)
attraverso un filtro con risposta impulsiva (di durata limitata
T)
hT(t) = g⎛⎝t − (T)/(2)⎞⎠, e di
ricevere lo stesso segnale in presenza di rumore gaussiano bianco a
media nulla
n(t), con densità spettrale
PN(f) = (N0)/(2).
Osserviamo che lo schema di fig.
6.9↑
è del tutto simile a quello proposto al §
8.3.1↓,
con la differenza che ora
HR(f)
è ottimizzato tenendo conto di
HT(f).
Un ricevitore a filtro adattato effettua una decisione di
massima
verosimiglianza↓
(vedi §
5.6.3↑)
a riguardo della presenza (ipotesi
H1)
o assenza (ipotesi
H0)
del segnale
x(t) in base alla osservazione della
grandezza
z(T) ottenuta (vedi figura
6.9↑) filtrando il
segnale ricevuto
y(t) mediante il filtro (adattato) di
ricezione
HR(f), la cui uscita
z(t)
è campionata
↓
all’istante
t = T. Il
valore osservato
z(T) è quindi confrontato con
una
soglia λ, determinando la
decisione per
H1 o
H0 a seconda se
λ
sia superata o meno. Si commette un errore sia decidendo per
H1
in assenza di segnale, sia decidendo per
H0
in sua presenza. Si dimostra che tale probabilità di errore può essere resa
minima
se
HR(f) viene realizzato in modo che
Con tali scelte, nel caso
H0
in cui
x(t) è assente risulta
y(t) = n(t),
e la grandezza di decisione
z(T) è una v.a. gaussiana definita come
z(T)
= ∞⌠⌡ − ∞hR(τ)y(T − τ)dτ
=
= T⌠⌡0x(T − τ)n(T − τ)dτ
= ℛXN(0)
ossia pari all’intercorrelazione (eq.
10.24↑)
tra
x(t) e
n(t),
calcolata nell’origine, e presenta valore atteso
mH0z(T) nullo e varianza
σ2z(T) = (N0)/(2)ℰG in cui
ℰG è l’energia
dell’impulso
g(t).
Se invece il segnale è presente (ipotesi
H1),
si ottiene
z(T) = T⌠⌡0x*(T − τ)[x(T
− τ) + n(T
− τ)]dτ
= ℛX(0)
+ ℛXN(0)
producendo una grandezza di decisione
z(T)
sempre gaussiana, con valor medio
mH1z(T) = ℰG
e varianza
σ2z(T) uguale al caso di
assenza di segnale. Notiamo che
mH1z(T) = ℰG
non dipende dalla particolare
g(t)
adottata, né dalla sua durata
T,
ma solo dalla sua energia, ed è per questo che il filtro di ricezione è
detto
adattato.
La figura
6.11↑
mostra la d.d.p. di
z(T) nelle ipotesi
H0
ed
H1; osserviamo
quindi (vedi nota
6.5↑)
che nel caso in cui la probabilità a priori delle due ipotesi sia uguale
(ovvero
Po = Pr(H0)
= P1 = Pr(H1)), la probabilità di errore
(calcolata nel seguito) risulta
minima se il valore della soglia
λ viene fissato pari a
(ℰG)/(2), e qualora
HR(f)
sia tale che il rapporto
(mH1z(T))/(σz(T)) è il massimo possibile. La dimostrazione che la scelta
(10.31↑) consegue
proprio questo risultato è svolta sotto
,
ed è fondata sulla prova che in tal modo viene massimizzato il valore di
(mH1z(T))2, e con
esso il quadrato
(mH1z(T)⁄σz(T))2
del rapporto suddetto, che viene indicato anche come l’
SNR
all’istante di decisione, e che nel caso in cui
HR(f)
è adattato vale
costituendo
il massimo che si può ottenere, tra tutte le
possibili scelte per il filtro di ricezione
hR(t),
con energia di
hR(t)
pari a
ℰG. Notiamo però
che
(10.33↑)
è valida solo in presenza di rumore bianco, mentre se questo è colorato,
l’
SNR diminuisce, ed il filtro
ottimo va determinato nel modo specificato poco più avanti.
Si tratta di una soluzione circuitale
in grado di conseguire le prestazioni di detezione del filtro adattato
nel caso di un
g(t) = rectT(t),
a cui corrisponde una
hR(t)
anch’essa rettangolare. Infatti, il segnale in uscita vale
vo(t) = − (1)/(RC)t⌠⌡0vi(t)dt
+ c
in cui
c rappresenta
vo(0) e
quindi, a parte il segno ed il fattore
(1)/(RC),
il valore
vo(T) corrisponde a quello che si trova
allo stesso istante in uscita da un filtro adattato
alla
g(t) rettangolare. L’interruttore che
scarica
(dump) la capacità
C
per
t = nT ha lo scopo di
azzerare la costante
c dopo la
ricezione di ogni impulso, rendendo possibile l’uso dello schema per la
detezione ottima di flussi binari a velocità
fb
= 1⁄T.
Nel caso in cui
PN(f)
non sia pari ad una costante, la condizione per massimizzare
(10.33↑) non è più la
(10.31↑),
bensì deve risultare
in modo che
HR(f), oltre ad esaltare le frequenze per
le quali lo spettro del segnale è maggiore, riesce anche ad
attenuare
quelle per le quali la potenza di rumore è più grande. Riscrivendo la
(10.34↑)
come
HR(f) = (1)/(√(
PN(f)))(X*(f))/(√(PN(f)))e − j2πfT = Hw(f)Ha(f)
si può giungere alla interessante interpretazione illustrata in figura:
il segnale ricevuto, in cui è presente sia il segnale
x(t)
che il rumore colorato
υ(t), innanzitutto attraversa un
filtro
sbiancante↓ con risposta in
frequenza
Hw(f) = (1)/(√(
PN(f))) e risposta impulsiva
hw(t), così chiamato perché ha lo scopo di
rendere il rumore
bianco. Quindi, viene attraversato il filtro
adattato all’impulso
sbiancato, ossia alla forma d’onda
xw(t) = x(t)*hw(t)
con trasformata
Xw(f) = (X(f))/(√(PN(f))),
risultato del transito di
x(t) attraverso
Hw(f).
Se non fosse presente rumore, l’andamento
dell’uscita del filtro adattato sarebbe proprio pari alla funzione di
autocorrelazione di
g(t), che viene campionata in
corrispondenza del suo massimo. Notiamo che la
HR(f)
non presenta modulo costante e fase lineare, dato che lo scopo
qui
non è quello di preservare la forma d’onda in transito (vedi
§
7.2↓),
ma di massimizzare l’
SNR
all’istante di decisione.
In base alla nota
6.5↑,
nel caso di equiprobabilità delle due ipotesi
H1
e
H0, la
Pe
è pari alla probabilità che una v.a. gaussiana con media nulla e
varianza
σ2 = (N0)/(2)ℰG sia
maggiore di
(ℰG)/(2);
in base alla notazione introdotta in §
5.2.4↑,
si ottiene
Pe = (1)/(2)erfc⎧⎩(ℰG⁄2)/(√(2)√((N0)/(2)ℰG))⎫⎭
= (1)/(2)erfc⎧⎩(1)/(2)√((ℰG)/(N0))⎫⎭.
Ma questa non è ancora la
minima Pe
conseguibile, che si ottiene invece nel caso di
segnalazione
antipodale, molto più indicata nel caso in cui lo scopo del
ricevitore non sia di individuare un solo impulso isolato, ma una
sequenza simbolica binaria.
6.5.1
Segnalazione antipodale↓
Desiderando distinguere tra due possibili
messaggi (ad es, x1 ed
x2), e volendo rendere
minima la probabilità di errore, la scelta ottima consiste
nell’adottare x1(t) = g⎛⎝t − (T)/(2)⎞⎠ e x2(t) = − x1(t), e di porre in ingresso al
ricevitore un filtro adattato ad x1(t).
In questo modo l’uscita del filtro all’istante di campionamento
rappresenta una v.a. gaussiana
z
con media
mz = ±ℰG
(a seconda se sia stato trasmesso
x1
o
x2) e varianza
σ2z = (N0)/(2)ℰG.
Pertanto ora la soglia di decisione è pari a zero, e nel caso di simboli
equiprobabili, in base alla nota
6.5↑,
la probabilità di errore
↓
Pe corrisponde a
quella di osservare
z > ℰG:
in conseguenza del risultato
(10.7↑)
di pag.
1↑
si ottiene quindi
che, identificando in
ℰG
l’energia per bit
Eb,
fornisce un valore identico a quello di eq.
(10.72↓)
(pag.
1↓)
e relativo al caso di trasmissione di un impulso di Nyquist a coseno
rialzato con
L = 2 e
γ
= 0, e con un filtro di ricezione passabasso. Ma se
γ
= 0, la trasmissione avviene a banda minima (§
8.2.2.3↓), e dunque
il filtro rettangolare passa-basso è proprio il filtro adattato!
6.5.2
Segnalazione ortogonale↓
Dovendo trasmettere
N diversi
messaggi
(x1,
x2, ..., xN),
possiamo associare ad ognuno di essi una forma d’onda
xi(t)
tale che
∫xi(t)xj(t)dt
= 0 con
i ≠ j,
ovvero in modo che i segnali
xi(t)
siano
ortogonali. In tal caso il ricevitore ottimo è costituito
da un banco di filtri, ognuno adattato ad una diversa
xi(t),
in modo che, in assenza di rumore, la ricezione di una delle forme
d’onda
xi(t) non produca nessuna uscita sui
filtri del banco per
j ≠ i.
In presenza di rumore, la decisione su cosa sia stato trasmesso viene
presa valutando quale dei filtri presenta il valore massimo in
corrispondenza dell’istante di campionamento, realizzando così un
ricevitore
a correlazione (vedi §
14.5↓
a pag.
1↓).
Esempio L’impulso δ(t) entra in uno di filtri mostrati
nella figura seguente, le cui risposte impulsive xi(t)
realizzano una famiglia di funzioni ortogonali, dato che le
rispettive forme d’onda non si sovrappongono nel tempo. In
ricezione, solo uno dei filtri adattati con risposta impulsiva hi(t) produce una uscita diversa da
zero per t = T, come
verificabile ricordando la costruzione grafica dell’operazione di
convoluzione mostrata a pag. 1↑.
Multiplazione
a divisione di codice
La trasmissione mediante forme d’onda ortogonali
può essere applicata alla tecnica di accesso multiplo a divisione di
codice o cdma,
qualora ogni utente ne usi una (in modalità antipodale), ed il
ricevitore usi un filtro adattato programmabile in modo da discriminare
uno solo tra tutti codici ricevuti contemporaneamente.
Si tratta di un modo alternativo di realizzare un filtro adattato,
derivante dall’osservazione che il suo ruolo essenzialmente si riduce al
calcolo della
intercorrelazione (eq.
(10.24↑))
tra il segnale ricevuto e quello atteso. Tale funzione può essere
realizzata anche ricorrendo allo schema in figura, dove un integratore
(implementato ad es. mediante il circuito
integrate and dump,
pag.
1↑)
opera sul prodotto tra il segnale in arrivo ed una copia locale del
coniugato
della forma d’onda trasmessa. Un caso di applicazione di questo schema
si trova al §
14.5.1↓
a proposito del ricevitore
fsk
ortogonale, mentre una variante idonea a stimare
l’autocorrelazione
di
y(t) è proposta al §
6.6.3↓.