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Capitolo 6: Densità spettrale e filtraggio Sezione
6.7: Filtri digitali Segue
6.6 Unità di elaborazione dei segnali
6.6.1 Prodotto↓
Nel
caso in cui un fattore sia un processo, e l’altro un segnale certo, il
risultato (in generale) è un processo non stazionario. Infatti
ora le medie d’insieme dipendono, istante per istante, dal valore che il
segnale certo assume in quell’istante (tranne il caso in cui sia una
costante) [216] [216] Se il segnale certo è
periodico, il risultato della moltiplicazione per un processo
stazionario dà luogo ad un processo detto ciclostazionario,
in quanto le statistiche variano nel tempo, ma assumono valori
identici con periodicità uguale a quella del segnale certo..
Se uno dei due fattori è una costante (ad es y(t)
= ỹ), z(t) è un processo della stessa natura di
x(t), con media mz
= mx⋅ỹ, potenza Pz = Px⋅ỹ2,
e autocorrelazione ℛz(τ) = ℛx(τ)⋅ỹ2.
Se i fattori x(t)
ed y(t) sono processi statisticamente
indipendenti [217] [217] Compreso il caso di processi
armonici!, stazionari e congiuntamente [218]
[218] La proprietà di ergodicità congiunta corrisponde a
verificare le condizioni ergodiche anche per i momenti misti m(1, 1)XY(x, y)
relativi a coppie di valori estratti da realizzazioni di due
differenti processi. ergodici, per il loro prodotto si
ottiene:
mz = E{z(t)} = E{x(t)y(t)} = E{x(t)}E{y(t)} = mx⋅my
Pz
= E{z2(t)} = E{x2(t)y2(t)} = E{x2(t)}E{y2(t)} = Px⋅Py
σ2z = E{(z(t) − mz)2} = Pz
− (mz)2
= Px⋅Py
− (mx⋅my)2
ℛz(τ)
= E{z(t)z(t + τ)} = E{x(t)y(t)x(t + τ)y(t + τ)} =
=
E{x(t)x(t
+ τ)}E{y(t)y(t
+ τ)}
= ℛx(τ)⋅ℛy(τ)
In particolare, notiamo che l’incorrelazione di
uno dei due processi, per un certo valore di τ,
provoca l’incorrelazione del prodotto.
Pz(f) = ℱ{ℛz(τ)} = ℱ{ℛx(τ)⋅ℛy(τ)} = Px(f)*Py(f)
ossia è pari alla convoluzione tra le densità spettrali dei fattori.
Notiamo quindi che la densità di potenza del prodotto presenta una
occupazione di banda maggiore di quella dei singoli fattori. Si calcola con le regole per il cambiamento di
variabile, illustrate al § 5.4↑.
Nel caso in cui i due processi siano statisticamente indipendenti, il
risultato è
pZ(z) = ∞⌠⌡
− ∞pX(θ)pY⎛⎝(z)/(θ)⎞⎠(dθ)/(θ)
In Appendice (pag. 1↓),
troviamo l’applicazione di questi risultati al calcolo della densità di
potenza di un segnale dati. 6.6.2 Somma
Anche in questo caso, se un termine è un
processo e l’altro un segnale certo, la somma è (in generale) un segnale
non stazionario. Se il segnale certo è costante, si torna al caso
stazionario [219] [219] Come per il prodotto, se il
segnale certo è periodico, la somma si dice ciclostazionaria
perché la dipendenza temporale non è assoluta, ma periodica. .
Procediamo ora nel calcolo delle solite grandezze, con l’ipotesi che x(t)
ed y(t) siano processi statisticamente
indipendenti.
mz = E{x(t) + y(t)} = E{x(t)} + E{y(t)} = mx + my
Pz
=
E{(x(t)
+ y(t))2}
= E{x2(t)} + E{y2(t)} + 2E{x(t)⋅y(t)}
=
Px + Py
+ 2mxmy
Pertanto, se almeno uno dei due processi è a media nulla, le potenze dei
due processi si sommano. σ2z
=
E{(z(t)
− mz)2} = Pz
− (mz)2 =
Px + Py
+ 2mxmy − (mx + my)2 =
=
Px − (mx)2 +
Py − (my)2 = σ2x
+ σ2y
ℛz(τ)
= E{z(t)z(t + τ)} = E{x(t)x(t + τ)} +
E{y(t)y(t
+ τ)}
+ E{x(t)y(t
+ τ)}
+ E{x(t
+ τ)y(t)} =
= ℛx(τ)
+ ℛy(τ) + 2mxmy
Osserviamo come per τ = 0 si
ritrovi il valore della potenza totale. Pz(f)
= ℱ{ℛz(τ)} = Px(f) + Py(f)
+ 2mxmyδ(f)
Applicando le regole del cambiamento di
variabile (§ 5.4↑),
o passando per il calcolo della funzione caratteristica (§ 5.2.6↑), nel caso di x(t)
ed y(t) indipendenti, si ottiene
pZ(z) = ∞⌠⌡
− ∞pX(θ)pY(z
− θ)dθ = pX(x)*pY(y)
La relazione esprime l’importante risultato che la densità di
probabilità della somma di variabili aleatorie è la convoluzione
tra le densità dei termini della somma. Esempio Se
x ed y
sono ad es. due v.a. a distribuzione uniforme tra ±Δ,
la loro somma ha densità di probabilità triangolare con base 2Δ.
Pertanto, nel lancio di 2 dadi il risultato più probabile è 7. Infatti
può essere ottenuto come 6+1, 5+2, 4+3, 3+4, 2+5, 1+6, ovvero in 6
modi diversi, ognuno con probabilità (1)/(6)⋅(1)/(6)
= (1)/(36) e dunque Pr{7} = 6(1)/(36) = (1)/(6).
6.6.3 Stima della autocorrelazione↓↓
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