6.6
Unità di elaborazione dei segnali
In base alla tassonomia del §
1.7.2↑
un filtro può essere definito come “un operatore lineare, stazionario e
con memoria”, ma questo non ci suggerisce molto a riguardo di come
realizzarlo. Unostrumento per scomporre il problema è quello di
considerare un ristretto insieme di tre
operatori elementari,
che rivestono la funzione di “mattoni” per realizzare sistemi di
elaborazione più complessi. Consistono nelle operazioni di
somma,
prodotto, e
ritardo, come indicato in figura. Analizziamo
ora nel dettaglio il risultato della combinazione di processi e segnali
certi mediante gli operatori introdotti, mentre alla prossima sezione
descriviamo l’utilizzo di questi operatori per la realizzazione di
elementi filtranti.
Nel
caso in cui un fattore sia un processo, e l’altro un segnale certo, il
risultato (in generale) è un processo
non stazionario. Infatti
ora le medie d’insieme dipendono, istante per istante, dal valore che il
segnale certo assume in quell’istante (tranne il caso in cui sia una
costante).
Se uno dei due fattori è una costante (ad es y(t)
= ỹ), z(t) è un processo della stessa natura di
x(t), con media mz
= mx⋅ỹ, potenza Pz = Px⋅ỹ2,
e autocorrelazione ℛz(τ) = ℛx(τ)⋅ỹ2.
Se i fattori x(t)
ed y(t) sono processi statisticamente
indipendenti, stazionari e congiuntamente ergodici, per il loro prodotto si
ottiene:
mz = E{z(t)} = E{x(t)y(t)} = E{x(t)}E{y(t)} = mx⋅my
Pz
= E{z2(t)} = E{x2(t)y2(t)} = E{x2(t)}E{y2(t)} = Px⋅Py
σ2z = E{(z(t) − mz)2} = Pz
− (mz)2
= Px⋅Py
− (mx⋅my)2
Funzione di autocorrelazione
ℛz(τ)
= E{z(t)z(t + τ)} = E{x(t)y(t)x(t + τ)y(t + τ)} =
=
E{x(t)x(t
+ τ)}E{y(t)y(t
+ τ)}
= ℛx(τ)⋅ℛy(τ)
In particolare, notiamo che l’incorrelazione di
uno dei due processi, per un certo valore di τ,
provoca l’incorrelazione del prodotto.
Spettro
di densità di potenza
Pz(f) = ℱ{ℛz(τ)} = ℱ{ℛx(τ)⋅ℛy(τ)} = Px(f)*Py(f)
ossia è pari alla convoluzione tra le densità spettrali dei fattori.
Notiamo quindi che la densità di potenza del prodotto presenta una
occupazione di banda maggiore di quella dei singoli fattori.
Si calcola con le regole per il cambiamento di
variabile, illustrate al §
5.4↑.
Nel caso in cui i due processi siano statisticamente indipendenti, il
risultato è
pZ(z) = ∞⌠⌡
− ∞pX(θ)pY⎛⎝(z)/(θ)⎞⎠(dθ)/(θ)
In Appendice (pag.
1↓),
troviamo l’applicazione di questi risultati al calcolo della densità di
potenza di un segnale dati.
Anche in questo caso, se un termine è un
processo e l’altro un segnale certo, la somma è (in generale) un segnale
non stazionario. Se il segnale certo è costante, si torna al caso
stazionario.
Procediamo ora nel calcolo delle solite grandezze, con l’ipotesi che x(t)
ed y(t) siano processi statisticamente
indipendenti.
mz = E{x(t) + y(t)} = E{x(t)} + E{y(t)} = mx + my
Pz
=
E{(x(t)
+ y(t))2}
= E{x2(t)} + E{y2(t)} + 2E{x(t)⋅y(t)}
=
Px + Py
+ 2mxmy
Pertanto, se almeno uno dei due processi è a media nulla, le potenze dei
due processi si sommano.
σ2z
=
E{(z(t)
− mz)2} = Pz
− (mz)2 =
Px + Py
+ 2mxmy − (mx + my)2 =
=
Px − (mx)2 +
Py − (my)2 = σ2x
+ σ2y
ℛz(τ)
= E{z(t)z(t + τ)} = E{x(t)x(t + τ)} +
E{y(t)y(t
+ τ)}
+ E{x(t)y(t
+ τ)}
+ E{x(t
+ τ)y(t)} =
= ℛx(τ)
+ ℛy(τ) + 2mxmy
Osserviamo come per
τ = 0 si
ritrovi il valore della potenza totale.
Spettro di densità di potenza
Pz(f)
= ℱ{ℛz(τ)} = Px(f) + Py(f)
+ 2mxmyδ(f)
Applicando le regole del cambiamento di
variabile (§
5.4↑),
o passando per il calcolo della funzione caratteristica (§
5.2.6↑), nel caso di
x(t)
ed
y(t) indipendenti, si ottiene
pZ(z) = ∞⌠⌡
− ∞pX(θ)pY(z
− θ)dθ = pX(x)*pY(y)
La relazione esprime l’importante risultato che la densità di
probabilità della somma di variabili aleatorie è la
convoluzione
tra le densità dei termini della somma.
Esempio Se
x ed y
sono ad es. due v.a. a distribuzione uniforme tra ±Δ,
la loro somma ha densità di probabilità triangolare con base 2Δ.
Pertanto, nel lancio di 2 dadi il risultato più probabile è 7. Infatti
può essere ottenuto come 6+1, 5+2, 4+3, 3+4, 2+5, 1+6, ovvero in 6
modi diversi, ognuno con probabilità (1)/(6)⋅(1)/(6)
= (1)/(36) e dunque Pr{7} = 6(1)/(36) = (1)/(6).
6.6.3
Stima della autocorrelazione↓↓
Come primo esempio dell’uso degli operatori elementari, la figura mostra
l’architettura di uno schema di elaborazione idoneo a misurare una stima
^ℛx(τ)
della funzione di autocorrelazione (§
6.1.4↑) di un segnale
x(t)
per un ritardo
τ assegnato.
Variando quest’ultimo si ottiene
^ℛx(τ)
per i diversi valori di
τ, e nel
caso di segnali stazionari sarà poi possibile calcolare
^Px(f) = ℱ{^ℛx(τ)}; se infine
x(t)
è un membro di un processo ergodico,
^Px(f)
rappresenta una stima della densità di potenza per una qualunque
realizzazione.