Disturbi additivi e rumore gaussiano

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7.4 Disturbi additivi↓

La potenza del segnale utile P_u introdotta a pag. ,1↑ viene determinata a partire dalla conoscenza di quella in ingresso al canale P_x, applicando i risultati relativi ai trasferimenti energetici discussi al capitolo 15↓ alle condizioni reali determinate dai mezzi trasmissivi, come descritto al capitolo 16↓. D’altra parte, il termine di errore ε(t) = y(t) − ax(t − τ) può essere dovuto,

oltre alle cause di distorsione esposte in questo capitolo, anche a quelle del rumore termico, a quello di natura interferente (ad es., vedi pag. 1↓), o di quantizzazione (§ 4.2.1.1↑).

7.4.1 Valutazione dell’SNR dovuto a diverse fonti di disturbo↓

Spesso le diverse fonti di disturbo sono analizzate in forma separata e indipendente, e per ognuna di esse si è in grado di ottenere un valore di SNR_i = ^P_u⁄_{P_{ε_i}} dovuto a quella sola fonte. Per giungere ad una espressione per l’SNR_T complessivo, consideriamo lo schema alla figura seguente, in cui il segnale utile u(t) è affetto da diverse cause di disturbo ε_i(t) indipendenti tra loro, per ognuna delle quali è noto il valore dell’SNR_i associato.

L’ipotesi di indipendenza statistica permette di affermare che la potenza di errore complessiva è la somma di quella dei singoli contributi, ossia

P_{ε_T} = E{(⎲⎳_iε_i)²} = ⎲⎳_iE{ε²_i} = ⎲⎳_iP_{ε_i}

e l’effetto di tutte le cause contemporaneamente attive determina un SNR complessivo pari a SNR_T = ^P_u⁄_{∑^N_{i
= 1} P_{ε_i}}; considerando ora che i singoli contributi di rumore possono essere espressi come P_{ε_i} = ^P_u⁄_{SNR_i}, si ottiene

SNR_T = (P_u)/(P_u^N⎲⎳_i = 1(1)/(SNR_i)) = (1)/(^N⎲⎳_i = 1(1)/(SNR_i))

Questo risultato ricorda quello della impedenza equivalente a più impedenze poste in parallelo, il che porta a descrivere l’SNR complessivo come il parallelo degli SNR. Una applicazione di questo risultato viene esposta al § 15.3.1↓ mentre considerazioni legate alle trasmissioni numeriche sono riportate al § 15.3.2↓.

7.4.2 Rumore gaussiano

Molto spesso si assume che la somma dei contributi di rumore additivo possa essere assimilata ad un processo gaussiano (§ 5.5.3↑), e ciò consente di sviluppare i calcoli sfruttando le sue ben studiate proprietà. In alcuni casi si tratta solo di una approssimazione, ma se il distrurbo additivo è prodotto da una somma elevata di cause indipendenti ed identicamente distribuite (i.i.d.), come in presenza di molti interferenti simili, il teorema centrale del limite (§ 5.2.4↑) assicura una buona aderenza alla realtà. Un altro caso particolare di molteplici cause i.i.d. prende il nome di rumore termico, che alla gaussiantà aggiunge la proprietà di esibire una densità di potenza bianca, ed ora mostriamo perché.

7.4.2.1 Rumore termico nei bipoli passivi

Ai capi di un resistore R a temperatura T è presente una tensione a vuoto n(t), realizzazione di un processo gaussiano a media nulla, che è l’effetto del moto caotico degli elettroni all’interno della resistenza [256] [256] Possiamo pensare che gli elettroni, qualora si trovino in maggior misura in una metà della resistenza, producano una differenza di potenziale negativa in quella direzione. Allo zero assoluto (- 273 ^oC) il moto caotico degli elettroni cessa, e si annulla così la tensione di rumore. Di qui l’aggettivo termico per descrivere il fenomeno.. Lo spettro di densità di potenza della tensione a vuoto ha espressione [257] [257] Si tratta di una forma della legge di Plank, vedi

http://en.wikipedia.org/wiki/Thermal_noise#Noise_at_very_high_frequencies

P_n(f) = 2R(ℏf)/(e^(ℏf)/(kT) − 1)≃2kTR [Volt²]

in cui k = 1.38⋅10^− 23 Joule/^oK è la costante di Boltzman↓ ed ℏ = 6.62⋅10^− 34 Joule⋅sec è la costante di Plank↓: questi valori [258] [258] Espandendo e^x = 1 + x + (x²)/(2) + (x³)/(3!) + ⋯ si ottiene che per x≪1 risulta e^x≃1 + x, e quindi e^(ℏf)/(kT)≃1 + (ℏf)/(kT). fanno sì che l’approssimazione P_n(f)≃2kTR sia valida ad ogni frequenza di interesse, ossia fino a qualche decina di GHz.

In un bipolo passivo di impedenza Z(f) = R(f) + jX(f), solamente la parte reale (componente resistiva) concorre a generare il processo di rumore termico, che pertanto possiede una densità di potenza di segnale, o a vuoto, P_n(f)≃2KTR(f). Nel caso in cui il bipolo contenga più resistori a temperature diverse, si può definire una temperatura equivalente T_e; un bipolo passivo equivale pertanto allo stesso bipolo non rumoroso (a temperatura zero), con in serie un generatore di rumore con densità di potenza P_n(f)≃2kT_eR(f).

7.4.2.2 Potenza disponibile di un generatore

Da punto di vista del ricevitore, il segnale appare provenire da una sorgente equivalente [259] [259] Ovvero rappresentativa delle stadio di uscita del dispostivo o mezzo, a cui è connesso lo stadio di ingresso del ricevitore. L’argomento viene approfondito al cap. 15↓., in cui è presente un generatore di segnale (a vuoto) v_g(t) ⇔ V_g(f), ed una impedenza interna Z_g(f)

che si trova alla temperatura del generatore T_g(f). Come abbiamo visto, a sua volta Z_g(f) presenta ai sui capi una tensione di rumore (a vuoto) n_g(f), e dunque il generatore sovrappone al suo proprio segnale anche quello di rumore.

Al § 15.1.1.3↓ si mostra che se il generatore con densità di potenza di segnale P_g(f) è chiuso su di un carico Z_c(f) adattato, ossia tale che Z_c(f) = Z^*_g(f), la potenza da questo assorbita [260] [260] Mentre la potenza di segnale (o a vuoto) è il quadrato di una tensione, quella assorbita dal carico è misurata in Watt, e per questo indicata con W. W_dg(f) sarà la massima possibile, indicata per questo come potenza disponibile, e pari a

W_dg(f) = (P_g(f))/(4R_g(f))

Allo stesso modo, anche il generatore equivalente di rumore cede al carico la propria potenza (di rumore) disponibile, pari a W_{d_n}(f) = (P_n(f))/(4R_g(f)) = (2kTR_g(f))/(4R_g(f)) = (1)/(2)kT_g ⎡⎣(Watt)/(Hz)⎤⎦.

Nel caso in cui T_g = T₀ = 290 ^oK (temperatura ambiente), il termine (1)/(2)kT_g è quasi universalmente indicato con la notazione W_{d_n}(f) = (1)/(2)kT₀ = (N₀)/(2), e poiché si considera il ricevitore sempre adattato, il segnale emesso dal generatore presenta un SNR intrinseco [261] [261] Notiamo che lo stesso valore di SNR_g è esprimibile anche come rapporto tra le potenze di segnale anziché disponibili: infatti
SNR_g(f) = (P_g(f))/(4R_g(f))⋅(1)/((1)/(2)kT_g) = (P_g(f))/(2kT_gR_g(f)) = (P_g(f))/(P_n(f))
pari a

SNR_g(f) = (W_dg(f))/((1)/(2)N₀)

Inoltre, per T_g = T₀ si può precalcolare il valore che N₀ = kT₀ assume, nel caso si adottino diverse unità di misura, da utilizzare nelle formule di progetto del cap. 16↓:

kT₀

-204 [dBW/Hz]

-174 [dBm/Hz]

-114 [dBm/MHz]

Esempio All’uscita di un filtro passa-banda ideale non rumoroso [262] [262] Si intende dire che il filtro non introduce altro rumore oltre quello di natura termica. di estensione 1 MHz, si ha una potenza disponibile di rumore pari a 10^− 11.4 mW . Infatti: W_dn = W_dn(f)⋅2B = kT₀⋅B ovvero W^dB_dn = -114 [dBm/MHz] + 0 [dBMHz] = -114 dBm e dunque W_dn = 10^{− ¹¹⁴⁄₁₀} = 10^− 11.4 mW.