7.4
Disturbi additivi↓
La potenza del segnale utile
Pu introdotta a
pag. ,
1↑
viene determinata a partire dalla conoscenza di quella in ingresso al
canale
Px,
applicando i risultati relativi ai trasferimenti energetici discussi al
capitolo
15↓
alle condizioni reali determinate dai mezzi trasmissivi, come descritto
al capitolo
16↓.
D’altra parte, il termine di errore
ε(t) = y(t) − ax(t − τ)
può essere dovuto,
oltre alle cause di distorsione esposte in questo capitolo, anche a
quelle del rumore termico, a quello di natura interferente (ad es., vedi
pag.
1↓),
o di quantizzazione (§
4.2.1.1↑).
7.4.1
Valutazione dell’SNR dovuto a
diverse fonti di disturbo↓
Spesso le diverse fonti di disturbo sono
analizzate in forma separata e indipendente, e per ognuna di esse si è
in grado di ottenere un valore di SNRi
= Pu⁄Pεi
dovuto a quella sola fonte. Per giungere ad una espressione per l’SNRT complessivo,
consideriamo lo schema alla figura seguente, in cui il segnale utile u(t) è affetto da diverse cause di
disturbo εi(t) indipendenti tra loro, per
ognuna delle quali è noto il valore dell’SNRi
associato.
L’ipotesi di indipendenza statistica permette di affermare che la
potenza di errore complessiva è
la somma di quella dei singoli
contributi, ossia
PεT
= E{( ⎲⎳iεi)2}
= ⎲⎳iE{ε2i}
= ⎲⎳iPεi
e l’effetto di tutte le cause contemporaneamente attive determina un
SNR complessivo pari a
SNRT
= Pu⁄∑Ni
= 1 Pεi;
considerando ora che i singoli contributi di rumore possono essere
espressi come
Pεi
= Pu⁄SNRi,
si ottiene
SNRT = (Pu)/(PuN⎲⎳i = 1(1)/(SNRi))
= (1)/(N⎲⎳i = 1(1)/(SNRi))
Questo risultato ricorda quello della impedenza equivalente a più
impedenze poste in parallelo, il che porta a descrivere l’
SNR
complessivo come
il parallelo degli
SNR.
Una applicazione di questo risultato viene esposta al §
15.3.1↓ mentre considerazioni legate alle
trasmissioni numeriche sono riportate al §
15.3.2↓.
7.4.2
Rumore gaussiano
Molto spesso si assume che la somma dei
contributi di rumore additivo possa essere assimilata ad un
processo
gaussiano (§
5.5.3↑),
e ciò consente di sviluppare i calcoli sfruttando le sue ben studiate
proprietà. In alcuni casi si tratta solo di una approssimazione, ma se
il distrurbo additivo è prodotto da una somma elevata di cause
indipendenti
ed identicamente distribuite (i.i.d.), come in presenza di molti
interferenti simili, il
teorema centrale del limite (§
5.2.4↑) assicura una buona aderenza alla
realtà. Un altro caso particolare di molteplici cause i.i.d. prende il
nome di
rumore termico, che alla gaussiantà aggiunge la
proprietà di esibire una densità di potenza
bianca, ed ora
mostriamo perché.
7.4.2.1
Rumore termico nei bipoli passivi
Ai capi di un resistore
R
a temperatura
T è presente una
tensione
a vuoto n(t), realizzazione di un processo
gaussiano a media nulla, che è l’effetto del moto caotico degli
elettroni all’interno della resistenza. Lo spettro di densità di potenza della
tensione a vuoto ha espressione
Pn(f) = 2R(ℏf)/(e(ℏf)/(kT) − 1)≃2kTR
[Volt2]
in cui
k = 1.38⋅10 − 23
Joule/
oK è la
costante
di Boltzman↓
ed
ℏ = 6.62⋅10 − 34 Joule
⋅sec è la costante
di Plank↓:
questi valori fanno
sì che l’approssimazione
Pn(f)≃2kTR
sia valida ad ogni frequenza di interesse, ossia fino a qualche decina
di GHz.
In un bipolo passivo di impedenza
Z(f) = R(f) + jX(f),
solamente la parte reale (componente resistiva) concorre a generare il
processo di rumore termico, che pertanto possiede una densità di potenza
di segnale, o a vuoto,
Pn(f)≃2KTR(f).
Nel caso in cui il bipolo contenga
più resistori a temperature
diverse, si può definire una temperatura equivalente
Te;
un bipolo passivo equivale pertanto allo stesso bipolo non rumoroso (a
temperatura zero), con in serie un generatore di rumore con densità di
potenza
Pn(f)≃2kTeR(f).
7.4.2.2
Potenza disponibile di un generatore
Da punto di vista del ricevitore, il segnale
appare provenire da una sorgente
equivalente, in cui è presente un
generatore di segnale (a vuoto)
vg(t) ⇔ Vg(f),
ed una impedenza interna
Zg(f)
che si trova alla temperatura del generatore
Tg(f).
Come abbiamo visto, a sua volta
Zg(f)
presenta ai sui capi una tensione di rumore (a vuoto)
ng(f),
e dunque il generatore sovrappone al suo proprio segnale anche quello di
rumore.
Al §
15.1.1.3↓ si mostra che se il generatore con
densità di potenza di segnale
Pg(f)
è
chiuso su di un carico
Zc(f)
adattato, ossia tale che
Zc(f) = Z*g(f),
la potenza da questo assorbita
Wdg(f)
sarà la massima possibile, indicata per questo come
potenza
disponibile, e pari a
Wdg(f) = (Pg(f))/(4Rg(f))
Allo stesso modo, anche il generatore equivalente di rumore cede al
carico la propria potenza (di rumore) disponibile, pari a
Wdn(f) = (Pn(f))/(4Rg(f))
= (2kTRg(f))/(4Rg(f)) = (1)/(2)kTg ⎡⎣(Watt)/(Hz)⎤⎦.
Nel caso in cui Tg
= T0 = 290 oK
(temperatura ambiente), il termine (1)/(2)kTg
è quasi universalmente indicato con la notazione Wdn(f) = (1)/(2)kT0 = (N0)/(2), e poiché si considera il
ricevitore sempre adattato, il segnale emesso dal generatore
presenta un SNR intrinseco pari a
SNRg(f) = (Wdg(f))/((1)/(2)N0)
Inoltre, per
Tg = T0
si può
precalcolare il valore che
N0
= kT0 assume, nel caso si adottino diverse
unità di misura, da utilizzare nelle formule di progetto del cap.
16↓:
kT0
|
= |
-204 [dBW/Hz] |
= |
-174 [dBm/Hz] |
= |
-114 [dBm/MHz] |
Esempio All’uscita di un filtro passa-banda ideale non
rumoroso di estensione 1 MHz, si ha una potenza disponibile di
rumore pari a 10 − 11.4 mW .
Infatti: Wdn
= Wdn(f)⋅2B = kT0⋅B
ovvero WdBdn
= -114 [dBm/MHz] + 0
[dBMHz] = -114 dBm e dunque Wdn = 10 − 114⁄10
= 10 − 11.4 mW.