Al primo capitolo (§ 1.2↑) abbiamo evidenziato come tra sorgente e destinazione di una trasmissione numerica si possa idealizzare la presenza di un canale numerico, che racchiude i dispositivi idonei a svolgere diverse operazioni, in modo da permettere la trasmissione di informazioni numeriche mediante un segnale analogico (indicato come segnale dati↓), che viaggia su canale analogico. Se quest’ultimo presenta una risposta in frequenza di tipo passa-banda [265]   [265] Ovvero lascia passare solo frequenze comprese in un intervallo che non comprende l’origine., il segnale dati dovrà presentare le stesse caratteristiche, ed al capitolo 14↓ saranno illustrati i principi di funzionamento dei dispositivi modem necessari a generare tali segnali. Nel caso in cui, invece, il canale analogico sia da considerare passa-basso, il modem che genera il segnale dati è indicato come codificatore di linea.

La figura 8.1↓ rappresenta uno schema generale di canale numerico, con evidenziati i principali elementi che lo compongono. Notiamo innanzitutto come il ritmo con cui le informazioni numeriche sono emesse dal codificatore di linea↓ (§ 8.1.2↓) sia descritto da una frequenza di simbolo↓ [266]  [266] Possiamo per ora pensare i simboli come se fossero le lettere dell’alfabeto di un messaggio scritto, ad ognuna delle quali si fa corrispondere un valore (o livello) di segnale. f_s potenzialmente inferiore al ritmo binario f_b che è proprio del messaggio [267]  [267] T_s è il periodo di simbolo, ed il suo inverso f_s  = 1 ⁄ T_s è detto frequenza di simbolo (o baud-rate), detta anche frequenza di segnalazione, e si misura in simboli/secondo, detti appunto baud↓, in memoria di Émile Baudot, vedi http://it.wikipedia.org/wiki/Codice_Baudot. . Come vedremo al § 8.1.2.4↓, il caso tipico per cui deve essere f_s  < f_b si verifica quando il canale analogico presenta una risposta in frequenza H(f) limitata in banda, al punto da dover ridurre la banda del segnale trasmesso, fino a farla rientrare in quella del canale, in modo da poter ri-ottenere in uscita dal canale lo stesso segnale trasmesso [268]  [268] Se non fosse preso questo provvedimento, e si trasmettesse un segnale con una occupazione spettrale maggiore della banda passante del canale, nel segnale ricevuto verrebbero a mancare alcune componenti frequenziali, e di conseguenza la forma d’onda del segnale risulterebbe modificata, causando così il fenomeno di interferenza tra simboli (vedi § 8.1.2.2↓).. Dal lato ricevente del canale numerico si trova il decodificatore di linea, che ricostruisce la sequenza delle informazioni trasmesse, prima campionando (con ritmo f_s) il segnale dati ricevuto, e quindi decidendo quale simbolo fosse rappresentato, in base al confronto tra il valore osservato e delle soglie di decisione.

Consideriamo una sorgente discreta che produce, ad una frequenza f_s, simboli a_k corrispondenti a valori numerici: possiamo allora descrivere il segnale dati x(t) uscente dal codificatore di linea come un segnale analogico e idealizzare il codificatore stesso come illustrato nella figura a lato [269]  [269] Nel caso in cui a_k assuma valori discreti in un alfabeto ad L livelli, rappresentativi con M = log₂L cifre binarie (bit), la trasmissione convoglia una frequenza binaria di valore pari a f_b⎡⎣(bit)/(secondo)⎤⎦ = M⎡⎣(bit)/(simbolo)⎤⎦⋅f_s⎡⎣(simboli)/(secondo)⎤⎦., in cui π_Ts(t) è un treno di impulsi (§ 3.8.1↑) con periodo T_s = ¹⁄_fs. Notiamo come tale figura sia del tutto simile al s&h introdotto al § 4.1.4↑, tranne che ora g(t) è generico. Come sarà approfondito al § 6.9.3↑, si può mostrare che (sotto condizioni abbastanza generali) lo spettro di densità di potenza di x(t) può essere espresso come↓ in cui ℰ_G(f) rappresenta lo spettro di densità di energia di g(t), che quindi determina l’andamento di P_x(f), mentre σ²_A è la varianza dei valori a_k, e dunque ne rispecchia la dinamica.

Il segnale dati (10.58↑) è a volte indicato come onda pam, forzando la semantica di Pulse Amplitude Modulation per indicare la modulazione delle ampiezze degli impulsi che realizzano un segnale periodico nella forma di eq. (8.17↑) (pag. 1↑) in base ai valori a_k. Un ulteriore punto di vista è illustrato al § 19.9.5↓.

Come applicazione della (10.59↑) osserviamo che, nel caso in cui si effettui una trasmissione binaria (ossia a_k  = {0,  1} ed f_s  = f_b) e si scelga un impulso dati rettangolare g(t) = rect_τ⎛⎝t  − (τ)/(2)⎞⎠ (con τ ≤ T_b), allora la densità spettrale di x(t) presenta [270]   [270] Che questo sia il caso, può essere verificato per alcuni segnali che abbiamo studiato o studieremo:

1. Segnale campionato. In questo caso a_k  = s(kT_c) sono i campioni di segnale, ed abbiamo visto che x^○(t) ha spettro periodico in frequenza, con un inviluppo di ampiezza dato da sinc(fτ);
2. Segnale periodico. Ponendo a_k  = ±1 si genera un’onda quadra, il cui spettro è a righe con lo stesso inviluppo indicato al punto precedente;
3. Segnale dati. Se a_k sono variabili aleatorie statisticamente indipendenti, al § 6.2.4↑ si dimostrerà che X(f) è di tipo continuo, con inviluppo ancora pari a sinc(fτ).

un andamento sinc²(fτ), con il primo zero per f = (1)/(τ), ed occupazione di banda (approssimativamente) pari ad alcuni multipli di tale valore [271]  [271] Nella tabella che segue è riportata l’occupazione di banda necessaria a contenere 10 lobi del sinc(fτ)  = (1)/(τ)ℱ{rect_τ(t)}, per τ pari al periodo di simbolo T_s, in modo da dare un’idea delle specifiche necessarie al canale: osserviamo allora che il rettangolo può andare bene a basse velocità di trasmissione, infatti già per 10 Msimboli/sec, velocità di una LAN (Local Area Network, ossia una rete “locale” tra computer in uno stesso edificio), occorrono 100 MHz di banda.

fs	apparato	Ts	10  ⁄ Ts
2.4⋅103	Modem (anni ’80)	4.2⋅10  − 3	24  KHz
28.8⋅103	Modem (anni ’90)	3.5⋅10  − 5	288  KHz
10⋅106	LAN	10  − 7	100  MHz
100⋅106	Fast Ethernet	10  − 8	1  GHz

.

Qualora il segnale dati x(t) attraversi un canale con risposta impulsiva h(t) non perfetta (§ 120↑), in uscita si presenta un nuovo segnale come mostrato alla nota [272]  [272]  y(t)  =  [∑_ka_k⋅g(t − kT_s)]*h(t)  = [g(t)*∑_ka_k⋅δ(t − kT_s)]*h(t)  =         =  g(t)*h(t)*∑_ka_k⋅δ(t − kT_s) = g̃(t)*∑_ka_k⋅δ(t − kT_s) =         =  ∑_ka_k⋅g̃(t − kT_s) . L’effetto della convoluzione tra g(t) ed h(t), è quello di disperdere nel tempo la forma d’onda g(t), che quindi anche se delimitata entro un periodo di simbolo, invade gli intervalli temporali riservati ai simboli adiacenti, dando luogo al fenomeno della interferenza intersimbolica↓ (isi, InterSymbolic Interference).

In Fig. 8.5↑ è riportato un esempio di segnale dati binario ad onda rettangolare con base pari a T_b, a cui è applicata una limitazione di banda mediante un filtro passa-basso ideale. Nella riga superiore è mostrato l’andamento del segnale, mentre alla riga inferiore si riporta un grafico noto come diagramma ad occhio (eye diagram) [273]   [273] Il nome deriva dalla forma del diagramma, che in corrispondenza del centro degli impulsi mostra una apertura simile per l’appunto ad un occhio, e la cui analogia apparirà più evidente in seguito all’adozione di un impulso g(t) a banda limitata (figura 8.13↓), ed in presenza di rumore (figura 8.20↓)., che si ottiene visualizzando il segnale dati mediante un oscilloscopio con la base dei tempi sincronizzata al periodo di simbolo. Come si può vedere, in presenza di una limitazione di banda, il valore del segnale dati in corrispondenza di un determinato simbolo viene a dipendere anche dal valore dei simboli circostanti.

Nel seguito della sezione, assumiamo vere queste ipotesi.

Nel caso in cui la banda a disposizione per la trasmissione sia insufficiente, una soluzione di semplice attuazione è quella di ricorre ad una trasmissione non più binaria, ma che impieghi L simboli diversi, o livelli [274]  [274] Proseguiamo l’esposizione riferendoci direttamente al termine livelli, indicando con questo la scelta tra L possibili valori di ampiezza per il segnale trasmesso.. A tale scopo, occorre raggruppare M bit del messaggio a_n (che arrivano a velocità f_b bits/sec) in una unica parola binaria.