Appendici

Esercizio  Un sistema di trasmissione basato sul campionamento e sulla trasmissione numerica è rappresentato in figura 8.38↓. Il canale riportato all’estremità destra è considerato ideale entro una banda ±B  = ±31.5 KHz, purché la potenza al suo ingresso non superi il valore P^Max_y  = 1 Volt²; in tal caso la potenza in uscita risulta P_y’  = 0.01⋅  P_y. Al segnale ricevuto è sovrapposto un rumore additivo gaussiano bianco stazionario ergodico a media nulla, con spettro di densità di potenza P_N(f) = (N₀)/(2)  = 4.61⋅10^− 14 Volt²/Hz, e limitato nella banda ±B.

Figura 8.38 Sistema di trasmissione a cui si riferisce l’esercizio

• 1) Se G(f) è a coseno rialzato con γ = .5, determinare la massima frequenza di simbolo f_s  = (1)/(T_s).
  2) Desiderando una P_e  = P^c_e per la sequenza {c’} pari a P_e  = 10^− 4, determinare il massimo numero di livelli/simbolo L.
  3) Indicare la frequenza binaria f_b per la sequenza {b’}.
  4) Valutare P^b_e per la sequenza {b’} e mostrare che il numero di errori per unità di tempo in {b’} è lo stesso che in {c’}.
  5) Mostrare che, adottando una codifica di canale a ripetizione 3:1, la probabilità di errore P^a_e per la sequenza {a’} risulta pari a circa P^a_e≃3(P^b_e)².
  6) Indicare la frequenza binaria f_a per le sequenze {a} ed {a’}.
  Supponiamo ora che P^a_e  = 0, e si desideri un SNR  = P_x ⁄ P_z − x =  10000. Nel caso in cui x(t) sia un processo con densità di probabilità p(x) uniforme, ed indicando con W la banda di x(t);
  7) Determinare il minimo numero di bit/campione M.
  8) Determinare la massima banda W.
  9) Se la banda è ridotta a W’ = (1)/(2)W, determinare il nuovo valore di SNR ottenibile.

• 1) La banda B occupata dal segnale y vale B = (f_s)/(2)(1  + γ), e quindi deve risultare f_s  = (2B)/(1 + γ)  = (2⋅31.5⋅10³)/(1.5)  =  42⋅10³ =  42.000 baud (baud = simboli/secondo).
  2) Osserviamo che in questo caso la (10.72↑) non può essere applicata direttamente, in quanto non essendo ancora nota la f_b, non è possibile calcolare il valore di E_b  = (P_y’)/(f_b). Notiamo però che essendo f_b  = f_s⋅log₂L, indicando con y l’argomento dell’erfc{.}, questo può essere riscritto come

  y  =  √((E_b)/(N₀)(3log₂L)/((L² −  1)(1  + γ)⎛⎝1  − (γ)/(4)⎞⎠))  = √(( P_y’)/(f_s⋅log₂L)(1)/(N₀)(3⋅log₂L)/((L² −  1)1.31))        =  √(( P_y’)/(f_s⋅N₀)⋅(2.29)/(L²  − 1))

  avendo tenuto conto che se γ =  0.5, allora (1  + γ)⎛⎝1  − (γ)/(4)⎞⎠⋍1.31. Inoltre, se L≫1 (come verificheremo), la (10.72↑) può essere approssimata come P_e≃erfc{y}, e dunque per P_e  = 10^− 4 la figura di pag. 1↑ ci permette di individuare il valore di y≃2.7, e pertanto

  (P_y’)/(f_s⋅N₀)⋅(2.29)/(L²  − 1) = y²  = (2.7)²  = 7.29

  e, conoscendo i valori di f_s, P_y’ e N₀, scriviamo

  L²  =  1 + ( P_y’)/(f_s⋅N₀)⋅(2.29)/(7.29) = 1 + (10^− 2)/(42⋅10^− 3⋅4.61⋅10^− 4)⋅0.31        =  1 + 5.16⋅10⁶⋅0.31≃1.6⋅10⁶

  e quindi L = √(1.6⋅10⁶) = 1265 che, essendo un valore massimo, limitiamo a L =  1024 livelli
  3) Dato che ad ogni simbolo di {c} ad L livelli, con frequenza di emissione pari a f_s, corrisponde ad un gruppo di N_b  = log₂L = 10 bit della sequenza {b}, la frequenza f_b è di 10 volte f_s, e quindi f_b =  10⋅f_s = 10⋅42⋅10³ = 420 Kbps.
  4) Grazie all’adozione del codice di Gray, in caso di errore tra livelli contigui per i simboli di {c’}, nella sequenza {b’} solo uno (tra N_b) dei bit associati ad un simbolo è errato; il bit errato è uno qualsiasi del gruppo di N_b, e pertanto la probabilità che un bit specifico sia errato (quando è errato il simbolo di {c’}) è (1)/(N_b). Pertanto P^b_e  = P^{b  ⁄ c}_eP^c_e  = (1)/(N_b)P^c_e, in cui P^b ⁄ c_e è la probabilità condizionata che un generico bit di {b’} sia sbagliato quando è sbagliato il simbolo di {c’} da cui ha origine.
  • • Il numero di bit (della sequenza {b’}) errati per unità di tempo è dato da P^b_e⋅f_b; sostituendo: P^b_e⋅f_b  = (P^c_e)/(N_b)⋅f_b  = P^c_e⋅(f_b)/(N_b) = P^c_e⋅f_s, ovvero è numericamente pari ai simboli errati (nella sequenza {c’}) per unità di tempo;
    • risulta dunque infine:
      • P^b_e = (P^c_e)/(N_b) = (10^− 4)/(10)  = 10^− 5;
      • P^b_e⋅f_b  = P^c_e⋅f_s  = 10^− 5⋅420⋅10³ = 10^− 4⋅42⋅10³  = 4.2 (errori)/(secondo)
  5) Ogni bit di {a’} è sbagliato solo se sono sbagliati 2 o più bit in un gruppo di 3; come mostrato al § 8.4.1.1↑, la probabilità di 2 bit errati su 3 è calcolabile dalla distribuzione di Bernoulli, e vale ⎛⎜⎝3 2⎞⎟⎠p²_e(1  − p_e)  = 3p²_e(1  − p_e), a cui va sommata la probabilità di 3 bit errati, pari a p³_e. Pertanto p^a_e  = 3p²_e(1  − p_e) + p³_e  = 3p²_e − 3p³_e  + p³_e≃3p²_e in cui ovviamente p_e  = P^b_e, e l’approssimazione è legittima in quanto se p_e  = 10^− 5 allora p²_e  = 10^− 10 e p³_e  = 10^− 15, trascurabili rispetto a p_e. Lo stesso risultato si ottiene osservando che 2 bit errati su 3 hanno probabilità p²_e(1 − p_e), e questi possono essere scelti in tre modi diversi (1^o e 2^o, 1^o e 3^o, 2^oe 3^o). In definitiva, risulta P^a_e≃3(P^b_e)²  = 3⋅10^− 10.
  6) Dato che ad ogni 3 bit di {b’} corrisponde un solo bit di {a’}, si ottiene f_a  = (f_b)/(3) = (420⋅10³)/(3) = 140 Kbps, a cui corrisponde P^a_e⋅f_a  = 3⋅10^− 10⋅140⋅10³ = 4.2⋅10^− 5 (errori)/(secondo).
  7) Sappiamo che per un processo uniforme l’SNR di quantizzazione risulta approssimativamente SNR_q  = (L − 1)², in cui L è il numero di livelli del quantizzatore, a cui corrisponde l’utilizzo di M = log₂L bit/campione. Risulta pertanto L  = 1 + √(SNR_q) = 1 + √(10⁴)  = 101 livelli. Per ottenere un numero intero di bit/campione ed un SNR_q migliore od uguale a quello desiderato, determiniamo l’intero superiore: M = ⌈log₂L⌉ = 7 bit/campione (equivalente a 128 livelli).
  8) Come sappiamo, la frequenza di campionamento f_c  = (1)/(T_c) non può essere inferiore a 2W; inoltre, la frequenza binaria f_a risulta pari al prodotto dei bit/campione per i campioni a secondo: f_a = f_c⋅M; pertanto f_c = (f_a)/(M) = (140⋅10³)/(7) = 20 KHz e dunque la W massima risulta W_Max = (f_c)/(2) = 10 KHz.
  9) Nel caso in cui W’  = (1)/(2)W, allora si può dimezzare anche la frequenza di campionamento f_c’ = (f_c)/(2) = 10 KHz, e pertanto utilizzare un M’ = 2M per ottenere la stessa f_a. Pertanto il nuovo SNR_q risulta SNR_q’ =  (L’ − 1)²  = (2^2M − 1)² = (2¹⁴  − 1)²≃2.68⋅10⁸, ovvero SNR_q’(dB)  = 84.3 dB.

8.5.4  Potenza di un segnale dati

Al § 144↑ si è affermato che la potenza di un segnale dati

s(t)  = ⎲⎳_na_ng(t − nT)

in cui g(t) è una caratteristica di Nyquist a coseno rialzato con roll-off γ, e gli a_i sono una sequenza di v.a. discrete, statisticamente indipendenti, a media nulla ed uniformemente distribuite su L livelli in una dinamica   − (Δ)/(2) ≤ a_i ≤ (Δ)/(2), ha valore

P_s  = (Δ²)/(12)(L + 1)/(L − 1)⎛⎝1  − (γ)/(4)⎞⎠

Mostriamo ora i passi necessari ad arrivare a questo risultato. Al § 6.9.3↑ si è mostrato che per lo stesso segnale risulta P_s(f) = σ²_A(|G(f)|²)/(T), e dunque

P_s  = ⌠⌡P_s(f)df  = ⌠⌡σ²_A(|G(f)|²)/(T)df

Svolgendo i relativi calcoli, si può mostrare [342]   [342] La dimostrazione sarà sperabilmente sviluppata in una prossima edizione... è una delle poche a mancare in questo libro! ..al momento, la fonte che trovo più in accordo con questa tesi, è ancora una volta https://en.wikipedia.org/wiki/Raised-cosine_filter che ∫|G(f)|²df  = T⎛⎝1  − (γ)/(4)⎞⎠, e quindi P_s  = σ²_A⎛⎝1  − (γ)/(4)⎞⎠; resta pertanto da calcolare σ²_A: