1.5 Classi di segnale ed operazioni relative

Al § 1.2 è stata illustrata una tassonomia dei segnali distinguendoli sulla base del dominio di definizione (continuo o discreto) e dei valori assunti (continui o discreti). Volendo procedere per gradi, iniziamo a discutere dei segnali analogici s(t), continui sia per quanto riguarda il tempo che per le ampiezze, e che essendo nient’altro che funzioni di una variabile temporale, possono essere caratterizzati utilizzando gli strumenti noti dai corsi di analisi matematica, almeno nel caso in cui se ne conosca l’espressione analitica. D’altra parte i segnali che tratteremo, proprio per la loro natura di trasportare informazione, spesso non sono noti a priori [25]   [25] Discuteremo al cap. 9 come l’informazione consista nella sorpresa di conoscere qualcosa che prima era ignoto, e dunque un segnale perfettamente noto non trasporta informazione. ma definiti solo in termini statistici: vedi ad esempio la fig. 1.9 che riporta un frammento di segnale vocale, ed un tracciato ecg. In tal caso i calcoli che stiamo per illustrare individuano condizioni che possono essere verificate solo per via numerica [26]   [26] Ad esempio, il calcolo dell’integrale di una funzione viene svolto per via numerica quando è ottenuto senza conoscerne la primitiva, per mezzo di un programma che ne calcola l’approssimazione secondo la definizione di Riemann https://it.wikipedia.org/wiki/Integrale_di_Riemann, vedi

https://it.wikipedia.org/wiki/Integrazione_numerica e pagine collegate.

, a partire da esempi dei segnali stessi.

Figure 1.9 a) - 300 msec di segnale vocale; b) - due cicli di segnale elettrocardiografico

Se osserviamo un segnale per un intervallo di tempo finito τ, per convenzione centrato attorno a t = 0, definiamo media temporale su τ il valore sτ = 1τ ∫τ⁄2 − τ⁄2s(t)dt e, facendo tendere τ ad infinito, si ottiene il suo valore medio s come

s = lim_{τ → ∞} 1τ ^τ⁄₂⌠⌡_{− ^τ⁄2}s(t)dt

che si esprime nella stessa unità di misura di s(t), visto che la somma integrale moltiplica per un tempo, per il quale viene nuovamente diviso attraverso il fattore ¹⁄_τ.

Ogni segnale può essere decomposto nella somma dei due termini

s(t) = s_p(t) + s_d(t)

in cui s_p(t) e s_d(t) individuano rispettivamente la sua parte pari e dispari rispetto all’istante t = 0, potendo scrivere s_p(t) = s_p(−t) e s_d(t) = − s_d(−t) [27]   [27] Le componenti pari e dispari di un segnale si ottengono scrivendo s(t) come

s(t) = 12(s(t) + s(t)) + 12(s(−t) − s(−t)) = 12(s(t) + s(−t)) + 12(s(t) − s(−t))

da cui si riconosce che s_p(t) = 12(s(t) + s(−t)) e s_d(t) = 12(s(t) − s(−t)).

. Un segnale può essere anche solamente pari, o solamente dispari, come rappresentato in figura; notiamo che necessariamente un segnale dispari ha valor medio nullo.

Causalità

Individua la condizione per cui s(t) = 0 per t < 0, mentre nel caso opposto (s(t) = 0 per t > 0) il segnale è detto anticausale. Qualora risulti s(t) ≠ 0 sia per t < 0 che per t > 0 il segnale è detto noncausale.

In questo caso il segnale si ripete ciclicamente uguale a se stesso,

ed il minimo intervallo temporale T che intercorre tra due copie prende il nome di periodo, potendo scrivere

s(t) = s(t + T)

Il valor medio di un segnale periodico può essere calcolato come s = 1T ∫T⁄2 − T⁄2s(t)dt, od anche s = 1T ∫a + Tas(t)dt per qualsiasi scelta di a. Al § 2.2 vedremo come un segnale periodico possa essere rappresentato mediante la somma pesata di infiniti termini del tipo cos⎛⎝2πnTt + φn⎞⎠ con n = 0, 1, ⋯∞. Un segnale non periodico è detto aperiodico.

In fisica la potenza P (espressa in Watt ovvero ^joule⁄_sec) è definita come lavoro per unità di tempo, la tensione V (o potenziale elettrico) come lavoro per unità di carica, e la corrente ℐ come carica per unità di tempo [29]   [29] Vedi ad esempio https://it.wikipedia.org/wiki/Potenza_(fisica), o (sempre su Wikipedia) Potenziale_elettrico, Corrente_elettrica, e Potenza_elettrica. Da un punto di vista dimensionale possiamo dunque scrivere P = V ⋅ I. Infatti, un circuito sottoposto ad una tensione v(t) ed in cui scorre una corrente i(t) assorbe una

potenza istantanea p(t) = v(t) ⋅ i(t) Watt; se poi il circuito consiste in un resistore R, i valori di v(t) ed i(t) sono legati dalla legge di Ohm i(t) = ^v(t)⁄_R e dunque p(t) = ^v2(t)⁄_R; scegliendo infine R = 1Ω si ottiene p(t) = v²(t).

Figure 1.15 Segnale di energia: a) - impulso esponenziale bilatero; b) - impulso gaussiano

Figure 1.16 Segnale a durata limitata: a) - impulso rettangolare tra 4 ed 8; b) - sinusoide troncata

• Un segnale impulsivo è di energia;
• Un segnale a durata limitata è impulsivo, e di energia;
• Un segnale periodico non è di energia, ma di potenza;

Vedi anche la rappresentazione insiemistica di fig. 1.17.

Figure 1.17 Visione insiemistica per le diverse classi di segnali

1.5.1 Spettro di segnale

1.5.1.1 Segnale limitato in banda

1.5.2 Operazioni sui segnali

• anticipo: y(t) = x(t + τ) con y(t) che si sposta a sinistra rispetto ad x(t);
• ritardo: y(t) = x(t − τ) con y(t) che si sposta a destra rispetto ad x(t).

Comprime od espande il grafico rispetto all’asse dei tempi, ed è espresso come y(t) = x(αt). Si ha una compressione per α > 1, ovvero una espansione per α < 1. Infatti se ad es. α > 1, una piccola variazione per l’argomento t corrisponde ad una variazione più grande per αt.

Figure 1.18 Operazioni di ribaltamento, traslazione e scalatura

Indichiamo con questo termine la combinazione delle singole operazioni fin qui illustrate: in tal caso il risultato complessivo si ottiene applicandole una alla volta, eventualmente modificando l’espressione dell’argomento. Come esempio prendiamo il segnale s(αt + β): in questo caso conviene riscrivere l’argomento come α(t + ^β⁄_α) ottenendo così s(α(t + ^β⁄_α)), in modo da poter prima anticipare s(t) della quantità ^β⁄_α, e quindi alterare la scala dell’asse dei tempi del fattore α, come mostrato in fig. 1.19-a). Una variante si verifica ponendo α = − 1 ottenendo così s( − t + β) ovvero s(β − t). In questo caso l’anticipo ^β⁄_α = − β risulta essere in realtà un ritardo paria a β, mentre l’alterazione di scala α = − 1 corrisponde in realtà ad un ribaltamento, ottenendo in definitiva la situazione rappresentata in fig. 1.19-b), che ritroveremo in occasione dello studio della convoluzione (§ 3.4.3) e del filtro adattato (§ 7.6).

Figure 1.19 Casi particolari di cambio di variabile

1.5.2.1 Combinazione di segnali

Spesso ci si imbatte in espressioni analitiche il cui senso può essere meglio apprezzato passando dalla forma scritta a quella visiva, ovvero disegnando il grafico di come la variabile dipendente varia in funzione dei valori assunti da quella indipendente (tempo t o frequenza f) nell’intervallo di interesse. A questo fine il testo è corredato da innumerevoli grafici, ma lo studente dovrebbe essere in grado di visualizzare in modo autonomo l’andamento delle espressioni che incontra. Un metodo generale per ottenere i grafici di somma e prodotto tra segnali è

• disegnare gli assi cartesiani su di una scala graduata compatibile con i valori da graficare, indicando l’identità della variabile indipendente, e quella della grandezza che si intende graficare;
• disegnare un secondo sistema di assi sotto al primo, allineato e nella stessa scala, su cui disegnare il secondo termine della somma o prodotto;
• eseguire la somma (o prodotto) tra i valori dei due segnali per tutti i valori della variabile indipendente, e riportare il risultato su un terzo grafico, allineato ai primi due.

• Gnuplot http://www.gnuplot.info/ Orientato a produrre grafici bi- e tri-dimensionali mediante una sintassi molto compatta, è in grado di generare uscite per un numero veramente notevole di dispositivi;
• Octave https://www.gnu.org/software/octave/ Un linguaggio di programmazione completo e ad alto livello, con tipi di dato vettoriale e matriciale, equivalente OpenSource di Matlab e le cui funzionalità vengono estese da una vasta libreria di package. I grafici prodotti con Octave possono essere manipolati e ruotati in modo interattivo;
• Geogebra https://www.geogebra.org/ Un insieme di applicazioni gratuite che girano oltre che su computer, anche via javascript nel browser e su smartphone, ognuna orientata ad uno specifico campo applicativo, compresa la grafica (interattiva) di funzioni tridimensionali, ottenibile senza programmare ma semplicemente scrivendo l’espressione analitica di ciò che si vuol graficare. E’ molto attiva anche una community che condivide on-line codice di simulazioni animate;
• Genius https://www.jirka.org/genius.html Anch’esso pur disponendo di un linguaggio di programmazione, permette di generare grafici direttamente a partire dall’espressione analitica, ma in più rispetto ai precedenti, realizza anche grafici di funzioni complesse di variabile complessa! Sviluppato solamente per sistemi Gnu/Linux, è presente nelle repository di Debian e derivate.

1.5.3 Segnali di uso frequente

E’ un segnale periodico dispari con periodo T = ¹⁄_f0 espresso come s(t) = sin(2πf₀t), ed in cui è presente l’unica frequenza f₀. La medesima forma d’onda si ottiene anche ritardando una cosinusoide di un quarto di periodo, dato che

sin(2πf₀t) = cos⎛⎝2πf₀t − π2⎞⎠ = cos(2πf₀(t − π2 12πf₀)) = cos(2πf₀(t − T4))

In definitiva, un segnale di forma sinusoidale può essere descritto indifferentemente da un seno o da un coseno,

con un termine di fase appropriato, legato alla traslazione temporale ^φ⁄_2πf0 necessaria ad ottenere la forma d’onda nella posizione richiesta.

Il nome deriva dall’uso che ne viene fatto nell’ambito del teorema del campionamento (§ 4.1), ed è definito come

sinc(t) = sin(πt)πt

Si tratta dunque di un modo particolare di scrivere il rapporto ^sin(x)⁄_x ben noto nei corsi di analisi per essere utilizzato come esempio di applicazione del teorema de l’Hôpital, che ne determina il valore pari ad 1 per t → 0. La figura a lato ne mostra l’andamento, assieme a quello di sin(πt) e di 1πt: notiamo che avere espresso l’argomento del segnale come πt determina che esso passa per zero in corrispondenza dei valori interi dell’argomento, cioè per t = 1, 2, ⋯, n con n intero. La sua importanza in teoria dei segnali discende dal fatto che come vedremo, la sua trasformata di Fourier è un rettangolo (e viceversa).

E’ un

segnale di durata finita che vale uno nel suo intervallo di definizione e zero al di fuori, e viene espresso nella forma

rect_T(t) = ⎧⎨⎩ 1    con |t| < ^T⁄₂     0    altrove

in cui il pedice _T indica l’ampiezza dell’intervallo per la variabile indipendente, notazione adottata nel testo per segnali a durata limitata. Il rettangolo viene molto spesso utilizzato per idealizzare delle discontinuità di prima specie, ed in tal senso è il risultato di due gradini contrapposti rect_T(t) = u(t + ^T⁄₂) − u(t − ^T⁄₂); è spesso anche utilizzato moltiplicato con altri segnali, in modo da renderli a durata limitata.

Ha funzioni simili al precedente, ma la sua ampiezza varia linearmente da zero ad un massimo (in zero), per poi diminuire di nuovo linearmente. E’ definito come

tri_2T(t) = ⎧⎨⎩ 1 − ^|t|⁄_T   con |t| < T     0 altrove

E’ definito come

sgn(t) = t|t|

ovvero in modo equivalente sgn(t) = ⎧⎨⎩ 1  con t > 0      − 1  con t < 0 , e spesso non viene usato come segnale a sé stante, ma applicato al valore di un secondo segnale: ad esempio sgn(cos(t)) produce come risultato un’onda quadra, ed in tal caso viene detto squadratore e rappresenta un amplificatore che lavora in regime di saturazione.

La funzione reale di variabile reale e^x ha un ruolo del tutto particolare nell’analisi per il fatto di essere la derivata di sé stessa, e dunque soluzione di equazioni differenziali del tipo df(x)dx = kf(x).

Ad esempio, la teoria dei circuiti ci insegna [35]   [35] Vedi https://it.wikipedia.org/wiki/Scarica_di_un_condensatore che l’andamento della tensione v(t) ai capi di un condensatore di capacità C che si scarica attraverso una resistenza R ha espressione dv(t)dt = − v(t)RC; se aggiungiamo le condizioni al contorno che la scarica

inizi all’istante t = 0 e che a tale istante il condensatore sia carico ad una tensione v(t = 0) = V₀, la soluzione dell’equazione differenziale fornisce v(t) = V₀e^{− t ⁄ τ} in cui il segno meno ribalta l’asse dei tempi, e τ = RC è detta costante di tempo del circuito.

1.5.3.1 Esponenziale complesso

Ma che andamento ha w = e^z al variare di z nel piano complesso? Per farsene una idea, l’unica possibilità che abbiamo è quella di rappresentare separatamente le superfici descritte dalla parte reale u(x, y) ed immaginaria v(x, y) di w = u + jv = e^x ⋅ e^jy, oppure le superfici descritte da modulo |w| e fase arg{w}, come mostrato in fig. 1.28.

Figure 1.28 Superfici corrispondenti alle componenti dell’esponenziale complesso u + jv = e^x + jy. A sinistra le parti reale u ed immaginaria v, a destra il corrispondente modulo √u² + v² e fase arctan(^v⁄_u)

e quindi non dipende da x, replicando il valore della parte immaginaria y dell’argomento complesso z.

Pertanto la superficie che descrive la fase di w è un piano, ma rientra dal valore  − π=3.14... ogni volta che supera π, essendo un angolo pari a π + α indistinguibile da quello  − π + α. In definitiva, l’esponenziale complesso w = e^z risulta periodico con periodo 2π nella componente immaginaria y dell’argomento z.

Siamo ora in grado di comprendere la magia della costante e = 2.71828.... Se valutiamo infatti un esponenziale complesso a^z per una qualunque altra base a ≠ e, il grafico che ne risulta è del tutto analogo a quello di fig. 1.28, a parte per un fattore di scala [42]   [42] Tale fattore è pari al logaritmo naturale di a, in accordo alla serie di potenze che recita a^z = ∑^∞_n = 0(zln a)ⁿn!, come illustrato nel grafico di ℜ(2^z)

riportato alla figura seguente. Notiamo infatti che in questo caso (a = 2 < e) l’ampiezza delle oscillazioni si è ridotta, ed il periodo è aumentato: ciò significa che la curva ottenuta al variare di y per x = 0 non è più un coseno, in quanto anche se l’ampiezza è ancora 1 (2⁰ = 1), il periodo è maggiore di 2π. Dunque il numero e è l’unico [43]   [43] In base all’osservazione di cui alla nota precedente, si ha a^jy = cos(yln a) + jsin(yln a) a soddisfare l’uguaglianza (10.3) e^jy = cosy + jsiny, che valutata per y = π da luogo all’identità di Eulero

e ^jπ + 1 = 0

giudicata una delle migliori espressioni di bellezza matematica [44]   [44] Vedi https://it.wikipedia.org/wiki/Identità_di_Eulero,
https://it.wikipedia.org/wiki/Bellezza_matematica.

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