Sezione 15.7: Sincronizzazione dati Su Capitolo 15: Trasmissione dati in banda base Capitolo 16: Modulazione numerica 

15.8 Appendici

15.8.1 Potenza di un segnale dati

Al § 376 si è affermato che ad un segnale dati
s(t) = n a[n]g(t − nT)
(in cui g(t) è la risposta impulsiva di un filtro a coseno rialzato con roll-off γ, e a[n] è una sequenza di v.a. discrete, statisticamente indipendenti, a media nulla ed uniformemente distribuite su L valori in una dinamica  − Δ2 ≤ ai ≤ Δ2) corrisponde una potenza
(21.31) Ps = Δ212 L + 1L − 11 − γ4
Svolgiamo qui i passi necessari per arrivare al risultato (21.31). Al § 7.7.4 si è mostrato che per lo stesso segnale risulta Ps(f) = σ2A|G(f)|2T, e dunque
Ps =  Ps(f) df =  σ2A|G(f)|2T df
Si può mostrare[810]  [810] La dimostrazione sarà sperabilmente sviluppata in una prossima edizione... è una delle poche a mancare in questo libro! ..al momento, la fonte che trovo più in accordo con questa tesi, è ancora una volta https://en.wikipedia.org/wiki/Raised-cosine_filter che
(21.32) |G(f)|2df = T1 − γ4
figure f7.29b.png
e quindi Ps = σ2A1 − γ4; resta pertanto da calcolare
σ2A = EA{(a − mA)2} = EA{a2}
in virtù della media nulla. I valori che la v.a. a può assumere corrispondono a quelli dei diversi livelli del segnale dati, esprimibili come ai = iΔL − 1 − Δ2 (vedi figura), in modo che per i = 0, 1, ⋯, L − 1 corrispondano ad L valori uniformemente spaziati entro l’intervallo − Δ2, Δ2; inoltre, ogni possibile valore ai ricorre con probabilità p(ai) = pi = 1L. Possiamo dunque sviluppare i conti:
σ2A  =  EA{a2i} = L− 1i = 0 pia2i =    =  1L L− 1i = 0 iΔL − 1 − Δ22 =  Δ2L L− 1i = 0i2(L − 1)2 + 14 − iL − 1 =    =  Δ2L1(L − 1)2 L− 1i = 0 (i)2 + L4 − 1L − 1 L− 1i = 0 i = 
= (vedi nota [811]  [811] Facciamo uso delle relazioni Nn = 1 n = N(N + 1)2 e Nn = 1 n2 = N(N + 1)(2N + 1)6 , che sono ovviamente ancora valide anche qualora la somma parta da n = 0.) =
   =  Δ2LL4 − 1L − 1 L(L − 1)2 + 1(L − 1)2(L − 1)L(2(L − 1) + 1)6 = Δ214 − 12 + 2L − 2 + 16(L − 1) =   =  Δ2 6L − 6 − 12L + 12 + 8L − 8 + 424(L − 1) = Δ22L + 224(L − 1) = Δ212 L + 1L − 1

15.8.2 Prestazioni del ricevitore ottimo equalizzato

Mostriamo quanto affermato al § 15.5.1, ovvero che in presenza di un canale non perfetto con risposta in frequenza H(f) ≠ a e −j2πfτ le prestazioni del ricevitore ottimo equalizzato al trasmettitore, in cui cioè
HT(f) = G(f)H(f)      e      HR(f) = G(f)
(vedi fig. 15.58-a), subiscono una degradazione del rapporto EbN0 (a parità di parametri di sistema, § 15.4.4) valutabile come una perdita di 10 log10 B − BG(f)|H(f)|2df dB.
Per semplificare l’analisi consideriamo una segnalazione binaria antipodale in cui il segnale trasmesso ha espressione
x(t) = k akhT(t − kTb)      con ak = {+ d, − d} equiprobabili
ed hT(t) = F −1{G(f)H(f)} è l’impulso a radice di coseno rialzato equalizzato, mentre il segnale in ingresso al decisore è
r(t) + ν(t) = k akg(t − kTb) + ν(t)
in cui g(t) è l’impulso a coseno rialzato e ν(t) è un rumore gaussiano bianco a media nulla, filtrato attraverso HR(t), dunque con potenza
Pν =  Pν(f)df = N02 |HR(f)|2df = N02 G(f)df = N02  = σ2ν
in quanto G(f)df = 1, vedi nota 768 ma considerando qui G(f)|f = 0 = 1fs = Tb.
In tali condizioni agli istanti di campionamento il decisore osserva una v.a. gaussiana con media ± d (a seconda dell’ak per quel simbolo) e varianza σ2ν, e dunque commette errore quando ν > d o ν <  − d (a seconda di ak, vedi fig. al § 7.6.1) ovvero con probabilità (vedi eq. (10.121) e § 7.6.1) Pe = 12 erfc{d2σν}, tanto minore quanto maggiore è il rapporto R = d22σ2ν: esprimiamo dunque quest’ultimo in funzione della potenza trasmessa Px =  Px(f)df. Sapendo che Px(f) = σ2aEhT(f)Tb (eq. (21.2)) dove[812]  [812] σ2a = E{(ak)2} = 12 d2 + 12( − d)2 = d2 σ2a = d2 e EhT(f) = G(f)|H(f)|2 troviamo che la potenza trasmessa vale
Px =  Px(f) df = d2Tb B − BG(f)|H(f)|2 df
da cui otteniamo d2 =  PxTb B − BG(f)|H(f)|2 df, potendo così scrivere
R = d22σ2ν = PxTb2B − BG(f)|H(f)|2 df ⋅ N02 = EbN0 1B − BG(f)|H(f)|2 df
In assenza di distorsione lineare si ha[813]  [813] A meno di un valore costante, ininfluente ai fini della valutazione che stiamo svolgendo. |H(f)| = 1 e dunque il denominatore vale 1[814]  [814] Sempre in quanto G(f)df = 1, riottenendo il risultato noto (10.176) per un filtro adattato con segnalazione antipodale. Se invece |H(f)| non è costante (ovvero |H(f)| ≤ 1) il denominatore è più grande; pertanto la presenza del canale H(f) determina la riduzione del rapporto EbN0 di un fattore α =  B − BG(f)|H(f)|2 df, ovvero della quantità αdB (21.25) qualora il rapporto sia espresso in dB.
a) figure f5.215-can.png
b) figure f5.215-distr.png
Figure 15.58 Ricevitore ottimo equalizzato: a) - al trasmettitore; b) - ripartito

15.8.2.1 Equalizzazione distribuita

Qualora si realizzi invece
HT(f) = HR(f) = G(f)H(f)
in modo da ripartire l’equalizzazione in parti uguali ad entrambi i lati del collegamento come mostrato in fig. 15.58-b), la densità di energia dell’impulso usato in trasmissione vale EhT(f) = G(f)|H(f)| e dunque il segnale trasmesso x(t) ha una potenza
Px =  σ2aEhT(f)Tb df = d2TbB − BG(f)|H(f)| df
fornendo così d2 =  PxTb B − BG(f)|H(f)| df, mentre ora la potenza del rumore filtrato attraverso HR(f) risulta
Pν =  Pν(f) df = N02 |HR(f)|2 df = N02B − BG(f)|H(f)| df = σ2ν
da cui
R = d22σ2ν = PxTb2B − BG(f)|H(f)|df ⋅ N02 G(f)|H(f)|df = EbN0 1|B − BG(f)|H(f)| df|2
che qualora |H(f)| ≤ 1, determina la riduzione del rapporto EbN0 per un fattore β pari a |B − BG(f)|H(f)| df|2 ovvero un suo decremento in dB di βdB = 20 log10 B − BG(f)|H(f)| df.
Mostriamo infine che β ≤ α: ricordando infatti la disuguaglianza di Schwartz (pag. 1)
| −∞X(f)Y(f)df|2 ≤  −∞|X(f)|2df −∞|Y(f)|2df
ed identificando X(f) con G(f) e Y(f) con G(f)|H(f)| troviamo che
|| −∞G(f)G(f)|H(f)|df||2 = || −∞G(f)|H(f)|||2 ≤  −∞G(f)df −∞G(f)|H(f)|2df = −∞G(f)|H(f)|2df
di nuovo in quanto −∞G(f)df = 1, e quindi
β = | −∞G(f)|H(f)||2 ≤  −∞G(f)|H(f)|2df = α
con l’uguaglianza valida qualora G(f) = kG(f)|H(f)|, ovvero quando |H(f)| = 1k =  costante.

15.8.2.2 Discussione

A prima vista le migliori prestazioni dell’equalizzazione distribuita rispetto a quella localizzata al trasmettitore appaiono contraddittorie, vista la correlazione dei campioni del rumore e la mancata realizzazione delle condizioni di filtro adattato nel primo caso, in quanto l’impulso che giunge al ricevitore ha densità spettrale
HT(f)H(f) = G(f)H(f) ≠ HR(f) = G(f)H(f)
In realtà quest’ultima affermazione non è vera, perché nulla vieta di considerare (vedi fig. 15.58-b) HR(f) = G(f) ed inglobare il termine 1H(f) assieme al canale ed all’altra mezza equalizzazione, per riottenere un filtro adattato. A mio avviso le migliori prestazioni rispetto all’equalizzazione al trasmettitore sembrano essere dovute ad una minore “distorsione totale” subìta dal segnale in transito, in quanto anziché invertire per intero H(f) per poi subirne la distorsione sempre per intero, nel caso distribuito la massima distorsione in ogni singolo passo è limitata a H(f) od al suo inverso. Mentre per quanto riguarda la correlazione dei campioni di rumore al decisore, questo significa solamente che è possibile fare ancora di meglio, vedi la nota 766 a pag. 1, così come il § 18.4.4.

15.8.3 Esercizio

Un sistema di trasmissione basato sul campionamento e sulla trasmissione numerica è rappresentato in figura 15.59. Il canale riportato all’estremità destra è considerato ideale entro una banda ± B = ±31.5 KHz, purché la potenza al suo ingresso non superi il valore PMaxy = 1 Volt2; in tal caso la potenza in uscita risulta Py = 0.01 ⋅  Py. Al segnale ricevuto è sovrapposto un rumore additivo gaussiano bianco stazionario ergodico a media nulla, con spettro di densità di potenza PN(f) = N02 = 4.61 ⋅ 10 − 14 Volt2/Hz, e limitato nella banda ± B.
figure f5.22.png
Figure 15.59 Sistema di trasmissione a cui si riferisce l’esercizio
Svolgimento

15.8.4 Codifica di carattere

Il codice ascii (American Standard Code for Information Interchange) è un codice a 7 bit, e molti codici ad 8 bit (come l’iso 8859-1) si riducono ad ascii nella loro metà bassa (con il bit più significativo a zero); i primi 32 codici corrispondono a caratteri non stampabili, detti codici di controllo, ottenibili su di una tastiera mediante la pressione del tasto control, e che hanno un significato speciale, come il carriage return (cr), il line feed (lf), start of text (stx), backspace (bs), data link escape (dle). La tavola 15.2 mostra i 128 caratteri ascii. La controparte internazionale dell’ascii è nota come iso 646; lo standard è stato pubblicato dallo United States of America Standards Institute (usasi) nel 1968.

15.8.4.1 Codifica UNICODE

Dal 2004 iso/iec non si occupa più della manutenzione delle codifiche di carattere ad 8 bit, supportando invece attivamente il consorzio Unicode nella definizione dello Universal Character Set, che contiene centinaia di migliaia di caratteri di praticamente tutte le lingue del mondo, ognuno identificato in modo non ambiguo da un nome, e da un numero chiamato Code Point. Mentre per enumerare tutti i caratteri previsti occorre una parola di ben 21 bit, sono state definite codifiche a lunghezza variabile, la più diffusa delle quali prende il nome di utf-8, in base alla quale
dec hex char dec hex char dec hex char dec hex char
0 00 NUL 32 20
64 40 @ 96 60
1 01 SOH 33 21 ! 65 41 A 97 61 a
2 02 STX 34 22 66 42 B 98 62 b
3 03 ETX 35 23 # 67 43 C 99 63 c
4 04 EOT 36 24 $ 68 44 D 100 64 d
5 05 ENQ 37 25 % 69 45 E 101 65 e
6 06 ACK 38 26 & 70 46 F 102 66 f
7 07 BEL 39 27 71 47 G 103 67 g
8 08 BS 40 28 ( 72 48 H 104 68 h
9 09 HT 41 29 ) 73 49 I 105 69 i
10 0A LF 42 2A * 74 4A J 106 6A j
11 0B VT 43 2B + 75 4B K 107 6B k
12 0C FF 44 2C , 76 4C L 108 6C l
13 0D CR 45 2D - 77 4D M 109 6D m
14 0E SO 46 2E . 78 4E N 110 6E n
15 0F SI 47 2F / 79 4F O 111 6F o
16 10 DLE 48 30 0 80 50 P 112 70 p
17 11 DC1 49 31 1 81 51 Q 113 71 q
18 12 CD2 50 32 2 82 52 R 114 72 r
19 13 CD3 51 33 3 83 53 S 115 73 s
20 14 DC4 52 34 4 84 54 T 116 74 t
21 15 NAK 53 35 5 85 55 U 117 75 u
22 16 SYN 54 36 6 86 56 V 118 76 v
23 17 ETB 55 37 7 87 57 W 119 77 w
24 18 CAN 56 38 8 88 58 X 120 78 x
25 19 EM 57 39 9 89 59 Y 121 79 y
26 1A SUB 58 3A : 90 5A Z 122 7A z
27 1B ESC 59 3B ; 91 5B [ 123 7B {
28 1C FS 60 3C < 92 5C \ 124 7C |
29 1D GS 61 3D = 93 5D ] 125 7D }
30 1E RS 62 3E > 94 5E ^ 126 7E ~
31 1F US 63 3F ? 95 5F _ 127 7F DEL
Table 15.2 Tabella di codici e caratteri ascii
 Sezione 15.7: Sincronizzazione dati Su Capitolo 15: Trasmissione dati in banda base Capitolo 16: Modulazione numerica