15.8 Appendici

15.8.1 Potenza di un segnale dati

Al § 376 si è affermato che ad un segnale dati

s(t) = ⎲⎳_n a[n]g(t − nT)

(in cui g(t) è la risposta impulsiva di un filtro a coseno rialzato con roll-off γ, e a[n] è una sequenza di v.a. discrete, statisticamente indipendenti, a media nulla ed uniformemente distribuite su L valori in una dinamica  − Δ2 ≤ a_i ≤ Δ2) corrisponde una potenza

(21.31) P_s = Δ²12 L + 1L − 1⎛⎝1 − γ4⎞⎠

Svolgiamo qui i passi necessari per arrivare al risultato (21.31). Al § 7.7.4 si è mostrato che per lo stesso segnale risulta P_s(f) = σ²_A|G(f)|²T, e dunque

P_s = ⌠⌡ P_s(f) df = ⌠⌡ σ²_A|G(f)|²T df

Si può mostrare [810]   [810] La dimostrazione sarà sperabilmente sviluppata in una prossima edizione... è una delle poche a mancare in questo libro! ..al momento, la fonte che trovo più in accordo con questa tesi, è ancora una volta https://en.wikipedia.org/wiki/Raised-cosine_filter che

(21.32) ⌠⌡ |G(f)|²df = T⎛⎝1 − γ4⎞⎠

e quindi P_s = σ²_A⎛⎝1 − γ4⎞⎠; resta pertanto da calcolare

σ²_A = E_A{(a − m_A)²} = E_A{a²}

in virtù della media nulla. I valori che la v.a. a può assumere corrispondono a quelli dei diversi livelli del segnale dati, esprimibili come a_i = i ⋅ ΔL − 1 − Δ2 (vedi figura), in modo che per i = 0, 1, ⋯, L − 1 corrispondano ad L valori uniformemente spaziati entro l’intervallo ⎛⎝− Δ2, Δ2⎞⎠; inoltre, ogni possibile valore a_i ricorre con probabilità p(a_i) = p_i = ¹⁄_L. Possiamo dunque sviluppare i conti:

15.8.2 Prestazioni del ricevitore ottimo equalizzato

In tali condizioni agli istanti di campionamento il decisore osserva una v.a. gaussiana con media ± d (a seconda dell’a_k per quel simbolo) e varianza σ²_ν, e dunque commette errore quando ν > d o ν <  − d (a seconda di a_k, vedi fig. al § 7.6.1) ovvero con probabilità (vedi eq. (10.121) e § 7.6.1) P_e = 12 erfc{d√2σ_ν}, tanto minore quanto maggiore è il rapporto R = ^d2⁄_2σ²ν: esprimiamo dunque quest’ultimo in funzione della potenza trasmessa P_x =  ∫ P_x(f)df. Sapendo che P_x(f) = σ²_a ⋅ E_hT(f)T_b (eq. (21.2)) dove [812]   [812] σ²_a = E{(a_k)²} = 12 d² + 12( − d)² = d² σ²_a = d² e E_hT(f) = ^G(f)⁄_|H(f)|² troviamo che la potenza trasmessa vale

P_x = ⌠⌡ P_x(f) df = d²T_b ^B⌠⌡_− BG(f)|H(f)|² df

da cui otteniamo d² =  P_xT_b ∫^B_− BG(f)|H(f)|² df, potendo così scrivere

R = d²2σ²_ν = P_xT_b2^B⌠⌡_− BG(f)|H(f)|² df ⋅ ^N₀⁄₂ = E_bN₀ 1⌠⌡^B_− BG(f)|H(f)|² df

In assenza di distorsione lineare si ha [813]   [813] A meno di un valore costante, ininfluente ai fini della valutazione che stiamo svolgendo. |H(f)| = 1 e dunque il denominatore vale 1 [814]   [814] Sempre in quanto ∫G(f)df = 1, riottenendo il risultato noto (10.176) per un filtro adattato con segnalazione antipodale. Se invece |H(f)| non è costante (ovvero |H(f)| ≤ 1) il denominatore è più grande; pertanto la presenza del canale H(f) determina la riduzione del rapporto ^E_b⁄_N0 di un fattore α =  ∫^B_− BG(f)|H(f)|² df, ovvero della quantità α_dB (21.25) qualora il rapporto sia espresso in dB.

a)

b)

Figure 15.58 Ricevitore ottimo equalizzato: a) - al trasmettitore; b) - ripartito

15.8.2.1 Equalizzazione distribuita

15.8.2.2 Discussione

15.8.3 Esercizio

Figure 15.59 Sistema di trasmissione a cui si riferisce l’esercizio

• 1) Se G(f) è a coseno rialzato con γ = .5, determinare la massima frequenza di simbolo f_s = 1T_s.
  2) Desiderando una P_e = P^c_e per la sequenza {c’} pari a P_e = 10^− 4, determinare il massimo numero di livelli/simbolo L.
  3) Indicare la frequenza binaria f_b per la sequenza {b’}.
  4) Valutare P^b_e per la sequenza {b’} e mostrare che il numero di errori per unità di tempo in {b’} è lo stesso che in {c’}.
  5) Mostrare che, adottando una codifica di canale a ripetizione 3:1, la probabilità di errore P^a_e per la sequenza {a’} risulta pari a circa P^a_e ≃ 3(P^b_e)².
  6) Indicare la frequenza binaria f_a per le sequenze {a} ed {a’}.
  Supponiamo ora che P^a_e = 0, e si desideri un SNR_Q = P_x ⁄ P_z − x = 10000. Nel caso in cui x(t) sia un processo con densità di probabilità p(x) uniforme, ed indicando con W la banda di x(t);
  7) Determinare il minimo numero di bit/campione M.
  8) Determinare la massima banda W.
  9) Se la banda è ridotta a W’ = 12 W, determinare il nuovo valore di SNR_Q ottenibile.

• 1) La banda B occupata dal segnale y vale B = f_s2(1 + γ), e quindi deve risultare f_s = 2B1 + γ = 2 ⋅ 31.5 ⋅10³1.5 =  42 ⋅ 10³ =  42.000 baud (baud = simboli/secondo).
  2) Osserviamo che in questo caso la (21.17) non può essere applicata direttamente, in quanto non essendo ancora nota la f_b, non è possibile calcolare il valore di E_b = P_y’f_b. Notiamo però che essendo f_b = f_s ⋅ log₂L, indicando con y l’argomento dell’erfc{.}, questo può essere riscritto come

  y  =  √E_bN₀ 3log₂L(L² − 1)(1 + γ)⎛⎝1 − γ4⎞⎠ = √ P_y’f_s ⋅ log₂L1N₀ 3 ⋅ log₂L(L² − 1)1.31        =  √ P_y’f_s ⋅ N₀ ⋅ 2.29L² − 1

  avendo tenuto conto che se γ = 0.5, allora (1 + γ)⎛⎝1 − γ4⎞⎠⋍1.31. Inoltre, se L≫1 (come verificheremo), la (21.17) può essere approssimata come P_e ≃ erfc{y}, e dunque per P_e = 10^− 4 la figura di pag. 1 ci permette di individuare il valore di y ≃ 2.7, e pertanto

  P_y’f_s ⋅ N₀ ⋅ 2.29L² − 1 = y² = (2.7)² = 7.29

  e, conoscendo i valori di f_s, P_y’ e N₀, scriviamo

  L²  =  1 +  P_y’f_s ⋅ N₀ ⋅ 2.297.29 = 1 + 10^− 242 ⋅ 10^− 3 ⋅ 4.61 ⋅10^− 4 ⋅ 0.31        =  1 + 5.16 ⋅ 10⁶ ⋅0.31 ≃ 1.6 ⋅ 10⁶

  e quindi L = √1.6 ⋅ 10⁶ = 1265 che, essendo un valore massimo, limitiamo a L = 1024 livelli
  3) Dato che ad ogni simbolo di {c} ad L livelli, con frequenza di emissione pari a f_s, corrisponde ad un gruppo di N_b = log₂L = 10 bit della sequenza {b}, la frequenza f_b è di 10 volte f_s, e quindi f_b = 10 ⋅ f_s = 10 ⋅ 42 ⋅10³ = 420 Kbps.
  4) Grazie all’adozione del codice di Gray, in caso di errore tra livelli contigui per i simboli di {c’}, nella sequenza {b’} solo uno (tra N_b) dei bit associati ad un simbolo è errato; il bit errato è uno qualsiasi del gruppo di N_b, e pertanto la probabilità che un bit specifico sia errato (quando è errato il simbolo di {c’}) è 1N_b. Pertanto P^b_e = P^b ⁄ c_eP^c_e = 1N_bP^c_e, in cui P^b ⁄ c_e è la probabilità condizionata che un generico bit di {b’} sia sbagliato quando è sbagliato il simbolo di {c’} da cui ha origine.
  • Il numero di bit (della sequenza {b’}) errati per unità di tempo è dato da P^b_e ⋅ f_b; sostituendo: P^b_e ⋅ f_b = P^c_eN_b ⋅ f_b = P^c_e ⋅ f_bN_b = P^c_e ⋅ f_s, ovvero è numericamente pari ai simboli errati (nella sequenza {c’}) per unità di tempo;
  • risulta dunque infine:
    • P^b_e = P^c_eN_b = 10^− 410 = 10^− 5;
    • P^b_e ⋅ f_b = P^c_e ⋅ f_s = 10^− 5 ⋅ 420 ⋅10³ = 10^− 4 ⋅ 42 ⋅10³ = 4.2   errorisecondo
  5) Ogni bit di {a’} è sbagliato solo se sono sbagliati 2 o più bit in un gruppo di 3; come mostrato al § 15.6.1.1, la probabilità di 2 bit errati su 3 è calcolabile dalla distribuzione di Bernoulli, e vale  ⎛ ⎝3 2 ⎞⎠p²_e(1 − p_e) = 3p²_e(1 − p_e), a cui va sommata la probabilità di 3 bit errati, pari a p³_e. Pertanto

  p^a_e = 3p²_e(1 − p_e) + p³_e = 3p²_e − 3p³_e + p³_e ≃ 3p²_e

  in cui ovviamente p_e = P^b_e, e l’approssimazione è legittima in quanto se p_e = 10^− 5 allora p²_e = 10^− 10 e p³_e = 10^− 15, trascurabili rispetto a p_e. Lo stesso risultato si ottiene osservando che 2 bit errati su 3 hanno probabilità p²_e(1 − p_e), e questi possono essere scelti in tre modi diversi (1^o e 2^o, 1^o e 3^o, 2^oe 3^o). In definitiva, risulta P^a_e ≃ 3(P^b_e)² = 3 ⋅ 10^− 10.
  6) Dato che ad ogni 3 bit di {b’} corrisponde un solo bit di {a’}, si ottiene f_a = f_b3 = 420 ⋅ 10³3 = 140 Kbps, a cui corrisponde

  P^a_e ⋅ f_a = 3 ⋅ 10^− 10 ⋅ 140 ⋅10³ = 4.2 ⋅ 10^− 5

  errorisecondo.
  7) Sappiamo che per un processo uniforme l’SNR di quantizzazione risulta approssimativamente SNR_q = (L − 1)², in cui L è il numero di livelli del quantizzatore, a cui corrisponde l’utilizzo di M = log₂L bit/campione. Risulta pertanto L = 1 + √SNR_q = 1 + √10⁴ = 101 livelli. Per ottenere un numero intero di bit/campione ed un SNR_q migliore od uguale a quello desiderato, determiniamo l’intero superiore: M = ⌈log₂L⌉ = 7 bit/campione (equivalente a 128 livelli).
  8) Come sappiamo, la frequenza di campionamento f_c = 1T_c non può essere inferiore a 2W; inoltre, la frequenza binaria f_a risulta pari al prodotto dei bit/campione per i campioni a secondo: f_a = f_c ⋅ M; pertanto f_c = f_aM = 140 ⋅ 10³7 = 20 KHz e dunque la W massima risulta W_Max = f_c2 = 10 KHz.
  9) Nel caso in cui W’ = 12 W, allora si può dimezzare anche la frequenza di campionamento f_c’ = f_c2 = 10 KHz, e pertanto utilizzare un M’ = 2M per ottenere la stessa f_a. Pertanto il nuovo SNR_q risulta

  SNR_q’ = (L’ − 1)² = (2^2M − 1)² = (2¹⁴ − 1)² ≃ 2.68 ⋅ 10⁸

  ovvero SNR_q’(dB) = 84.3 dB.

15.8.4 Codifica di carattere

15.8.4.1 Codifica UNICODE

• i primi 127 CodePoints, che corrispondono all’alfabeto ascii, sono rappresentati da un singolo byte; pertanto un file ascii è anche un file utf-8 corretto;
• i valori numerici associati ai caratteri dell’insieme iso 8859-1 corrispondono ai CodePoints degli stessi caratteri;
• i primi 1792 CodePoints, mediante i quali sono rappresentati i caratteri usati dalla totalità delle lingue occidentali, sono rappresentati (esclusi gli ascii) mediante due byte;
• i 65536 CodePoints del Piano di Base entro cui ricade la quasi totalità delle assegnazioni fatte finora, sono rappresentati (esclusi i casi precedenti) mediante tre byte;
• i restanti CodePoints sono rappresentati mediante quattro byte.

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