Sezione 16.7: Schema riassuntivo delle prestazioni Su Capitolo 16: Modulazione numerica Sezione 16.9: Sistemi a spettro espanso 

16.8 Modulazione OFDM

La sigla sta per Orthogonal Frequency Division Multiplex, ossia multiplazione a divisione di frequenza ortogonale. Si tratta della tecnica di modulazione numerica multiportante adottata per le trasmissioni adsl [860]   [860] adsl = Asymmetric Digital Subscriber Line, vedi § 24.9.4., dvb-t, WiFi e per telefonia mobile; si contraddistingue per la particolarità di utilizzare in modo ottimo la banda del canale, e di ricondurre l’operazione di equalizzazione ad un prodotto tra vettori.

16.8.1 Rappresentazione nel tempo ed in frequenza

La modulazione ofdm suddivide una sequenza binaria su N diversi flussi, trasmessi a divisione di frequenza mediante forme d’onda ortogonali. Concettualmente possiamo pensare l’ofdm come una evoluzione [861]   [861] La trasmissione numerica contemporanea su più portanti è a volte indicata con il nome di Multi Carrier Modulation (mcm) o Discrete Multi Tone (dmt). La modulazione FSK utilizza invece una portante alla volta, in quanto la sua definizione prevede la presenza di un solo oscillatore. della modulazione fsk, in cui le diverse frequenze sono spaziate tra loro di Δ Hz come descritto dall’espressione
(21.57) fn = f0 + Δ ⋅ ⎛⎝n − N2⎞⎠
con n = 0, 1, ..., N − 1 e sono utilizzate contemporaneamente,
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mentre su ognuna di esse si realizza una modulazione numerica a due o più livelli (es. qpsk o qam) con impulso nrz rettangolare di durata T.
Indicando con akn = aknc + jakns le coordinate nel piano dell’inviluppo complesso di un generico punto della costellazione realizzata per la portante fn all’istante t = kT, il segnale ofdm può essere scritto come
(21.58)
xOFDM(t)  =   ⎲⎳k rectT(t − kT) N− 1⎲⎳n = 0(aknccosωn(t − kT) − aknssinωn(t − kT))        =  ∞⎲⎳k = −∞δ(t − kT) * ⎛⎜⎝rectT(t) N− 1⎲⎳n = 0(aknccosωnt − aknssinωnt)⎞⎟⎠
in cui la prima sommatoria (su k) identifica gli istanti di simbolo, e la seconda (su n) le diverse portanti. Tale segnale presenta [862]   [862] Osserviamo innanzitutto che per un segnale
 x(t) = cosω1t = 12( e jω1t + e −jω1t) 
risulta x+(t) = 12 e jω1t, e quindi il suo inviluppo complesso x(t) calcolato rispetto ad f0 vale
 x(t) = 2x+(t)e −jω0t = 212 e jω1te −jω0t = e j(ω1 − ω0)t 
Allo stesso modo si ottiene che per y(t) = sinω1t risulta y(t) = 1je j(ω1 − ω0)t. Pertanto, considerando che 1j = jj2 = − j, ad ogni termine zk(t) = aknccosωnt − aknssinωnt corrisponde un
 z(t) = aknce j(ωn − ω0)t + jaknse j(ωn − ω0)t = akne j2π(fn − f0)t 
Applicando ora la (21.57) si ottiene fn − f0 = Δ ⋅ ⎛⎝n − N2⎞⎠ e quindi la (21.59).
un inviluppo complesso rispetto a f0 pari a
(21.59)
xOFDM(t) = ∞⎲⎳k = −∞δ(t − kT) * ⎛⎜⎝rectT(t)N− 1⎲⎳n = 0akne j2π⎡⎣Δ⎛⎝n − N2⎞⎠⎤⎦t⎞⎟⎠
L’espressione (21.58) non vincola la durata T di un simbolo ad un valore particolare; deve però risultare T ≥ T0 = 1⁄Δ, in quanto il ricevitore opera sul segnale xR(t) ottenuto per moltiplicazione con una finestra temporale di estensione T0 = 1⁄Δ, allo scopo di
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rendere ortogonali tra loro [863]   [863] Come mostrato per il caso incoerente discusso al § 16.12.1 le frequenze fn = f0 + Δ ⋅ (n − N⁄2), e mettere il ricevitore in grado di calcolare i valori akn per tutti gli n presenti all’istante t = kT, mediante un ricevitore concettualmente simile a quello a correlazione presentato a pag. 1.
L’intervallo T0 è detto periodo principale del simbolo ofdm, mentre la differenza Tg = T − T0 è indicata come tempo di guardia, od anche preambolo, ed il segnale ricevuto durante Tg non è usato in ricezione. Il motivo di tale “spreco” [864]   [864] Infatti la frequenza di simbolo fs = 1T = 1T0 + Tg risulta ridotta rispetto al caso in cui Tg sia nullo. risiede nel fatto che, in presenza di un canale che introduce distorsione lineare, la parte iniziale di ogni
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simbolo risulta corrotta (vedi figura a lato) da una interferenza intersimbolica (isi) dovuta al risultato della convoluzione tra la coda del simbolo precedente e l’h(t) del canale. Consideriamo ora un solo simbolo (fissiamo k = 0 e consideriamo l’origine dei tempi ritardata di Tg) ricevuto nell’intervallo T0 = 1Δ ≤ T, con inviluppo complesso
(21.60)
xT0(t) =  rectT0(t) ⋅ N− 1⎲⎳n = 0ane j2π⎡⎣Δ⎛⎝n − N2⎞⎠⎤⎦t
e calcoliamone la trasformata per determinare l’occupazione di banda:
(21.61)
XT0(f)  =  T0  sinc(fT0) * N− 1⎲⎳n = 0anδ⎛⎝f − Δ⎛⎝n − N2⎞⎠⎞⎠ =   =  T0 N− 1⎲⎳n = 0an sinc⎛⎝⎛⎝f − Δ⎛⎝n − N2⎞⎠⎞⎠T0⎞⎠
 figure f10.202.png
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Otteniamo pertanto la costruzione grafica mostrata alla figura a lato, che evidenzia come ogni funzione sinc sia moltiplicata per uno dei coefficienti an, che potrebbero quindi essere ri-ottenuti in ricezione campionando (in modo complesso) X(f) su frequenze spaziate di Δ.
Per quanto riguarda la densità di potenza PxR(f) dell’inviluppo complesso xR(t) ricevuto e finestrato, consideriamo l’espressione (vedi § 7.3.1)
(21.62) PxR(f) = 1T E{|XT0(f)|2}
in cui |XT0(f)|2 è la densità di energia di un simbolo ofdm (eq. (21.61)): la figura a lato ne mostra l’andamento (in scala lineare ed in dB) per un simbolo a 32 portanti, di cui 16 (esterne) spente (vedi appresso), mentre per le 16 centrali si è posto an = 1. Notiamo come si ottenga una densità spettrale di potenza quasi rettangolare pur utilizzando simboli a durata finita.
Potenza complessiva
Mostriamo ora come mettere in relazione la potenza ricevuta complessiva PxR di xR(t) e del suo inviluppo complesso PxR
(21.63) PxR = ⌠⌡ PxR(f)df
con la dinamica dei valori an utilizzati per modulare le singole portanti: nel seguito ci riferiamo a costellazioni l-qam, indicando con Mn ed Ln = 2Mn rispettivamente il numero di bit e di punti di costellazione per la portante n-esima, ad ognuna delle quali la (21.58) attribuisce una potenza Pn.
Per calcolare la (21.63) mediante la (21.62) utilizzando l’espressione di XT0(f) fornita dalla (21.61), osserviamo che le funzioni sinc(fT0) che vi compaiono sono ortogonali se spaziate per un multiplo di Δ = 1T0, ovvero (vedi § 4.1.2) sussiste la condizione
∫∞−∞ sinc((f − nΔ)T0) sinc((f − mΔ)T0) df = ⎧⎨⎩ 0     se  n ≠ m 1T0     se  n = m
Pertanto, introducendo una insignificante [865]   [865] Equivalente a definire l’inviluppo complesso con riferimento ad una portante a frequenza pari alla prima delle fn. traslazione di f pari a N2Δ, si ha
PxR  =  1T ⌠⌡ E{|XT0(f)|2}df =         =  1T ⌠⌡ T20 N− 1⎲⎳n = 0N− 1⎲⎳m = 0E{ana * m} sinc((f − Δn)T0)  sinc((f − Δm)T0) df =   =  T20T N− 1⎲⎳n = 0E{a2n}⌠⌡ sinc2((f − Δn)T0)df = T20T N− 1⎲⎳n = 0E{a2n}1T0 = T0T N− 1⎲⎳n = 0σ2an
in quanto i termini incrociati prodotti dalla doppia sommatoria si annullano [866]   [866] Vedi nota 70 a pag. 1.
Scegliendo il lato della costellazione qam in modo opportuno [867]   [867] Al § 15.8.1 si è mostrato che se gli an sono v.a. indipendenti e distribuite uniformemente su L’ livelli tra ± A, si ottiene σ2a = A23 L’ + 1L’ − 1. Nel caso di una costellazione qam quadrata ad L livelli si ha L’ = √L, e se le realizzazioni sui rami in fase e quadratura sono indipendenti risulta σ2an = E{(anc + jans)2} = 2σ2a = 2A23 √L + 1√L − 1; volendo eguagliare tale valore a 2 Pn, occorre quindi scegliere A = √3 Pn√L − 1√L + 1., si può ottenere σ2an = E{a2n} = 2 Pn, in cui Pn è la potenza per la n-esima portante qam; considerando infine (vedi eq. (14.22) a pag. 1) che
PxR = P+xR + P−xR = 24 PxR = 12 PxR
possiamo scrivere
PxR = 12 T0T N− 1⎲⎳n = 02 Pn = T0T N− 1⎲⎳n = 0 Pn
in cui è evidenziata la perdita di potenza legata alla presenza del preambolo.

16.8.2 Architettura di modulazione

Una caratteristica fondamentale della modulazione ofdm è quella di essere realizzata senza oscillatori e integratori, ma attraverso l’uso della elaborazione numerica. Con riferimento alla figura 16.39 , il flusso binario a frequenza fb viene parallelizzato per formare simboli ad L = 2M livelli a frequenza fs = fb⁄M = fb⁄log2L.
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Figure 16.39 Architettura di un modulatore ofdm numerico
Questi M bit/simbolo sono suddivisi in Ñ gruppi di Mn (n = 0, 1, ..., Ñ − 1) bit ciascuno, con M = ∑Ñ− 1n = 0 Mn, e ad ogni gruppo di Mn bit corrisponde un punto di costellazione an, scelto tra Ln = 2Mn punti possibili.
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La sequenza {an} viene poi arricchita con N − Ñ valori nulli (metà all’inizio e metà alla fine) ottenendo una nuova sequenza {an} di N valori, in modo che la sommatoria in (21.61) dia luogo ad un inviluppo complesso praticamente limitato in banda (vedi figura) tra (circa) ± N2 ⋅ Δ Hz, che può essere pertanto rappresentato dai suoi campioni xT0(hTc) presi a frequenza fc = N ⋅ Δ  campionisecondo. Il blocco indicato come FFT− 1 ha esattamente il ruolo di valutare i campioni temporali di xT0, calcolando [868]   [868]  La (21.64) è in qualche modo simile alla formula di ricostruzione (10.7) (vedi pag. 1) per il segnale (complesso) periodico limitato in banda ± N2 F
x(t) = N ⁄ 2⎲⎳m = − N ⁄ 2Xme j2πmFt
che calcolata per t = hTc = hNF fornisce x(hTc) = ∑N ⁄ 2m = − N ⁄ 2Xme j2πmNh. Ponendo ora n = m + N2 e Yn = Xn − N2 otteniamo
x(hTc) = N− 1⎲⎳n = 0Yne j2πn − N⁄2Nh = e −jπhN− 1⎲⎳n = 0Yne j2πnNh
dato che⎛⎝n − N2⎞⎠1N = nN − 12. Osservando ora che dalla (21.60) con Tc = 1NΔ si ha
x(hTc) = N− 1⎲⎳n = 0ane j2πΔ⎛⎝n − N2⎞⎠hNΔ = N− 1⎲⎳n = 0ane j2πΔn − N⁄2Nh = e jπhN− 1⎲⎳n = 0ane j2πnNh
e che e −jπh = ( − 1)h, si ottiene la (21.64). La coppia di relazioni
Xn = 1N N− 1⎲⎳h = 0xhe −j2πhNn e xh = N− 1⎲⎳n = 0Xne j2πnNh
sono chiamate Discrete Fourier Transform (dft) diretta e inversa, in quanto costituiscono la versione discreta della trasformata di Fourier (vedi § 4.5), e consentono il calcolo di una serie di campioni in frequenza a partire da campioni nel tempo e viceversa.
(21.64) N− 1⎲⎳n = 0ane j2πnNh = 1( − 1)h xT0(hTc)
Il risultato della FFT− 1 è quindi una sequenza di valori complessi {xh}, che a meno di un segno alterno rappresentano i campioni dell’inviluppo complesso xT0(t) espresso dalla (21.60) relativamente ad un simbolo. Dopodiché, il preambolo da trasmettere durante il tempo di guardia Tg è ottenuto aggiungendo in testa a {xh} un gruppo di campioni prelevati dalla coda [869]   [869] In effetti la (21.64) fornisce un risultato periodico rispetto ad h, con periodo N, ossia con periodo N ⋅ Tc = N1fc = N1ΔN = 1Δ = T0 per la variabile temporale. Per questo motivo il preambolo dell’ofdm è detto anche estensione ciclica..
Infine, le parti reale ed immaginaria di {xh} sono inviate ad una coppia di convertitori D/A operanti a fc = N + NgT = NT0 = NΔ in modo da ottenere le c.a. di b.f., utilizzate per produrre il segnale xOFDM(t) mediante una coppia di modulatori in fase e quadratura.

16.8.3 Efficienza dell’OFDM

Come vedremo al § 16.8.9, questa è una tra le tecniche di modulazione che meglio approssima i risultati della teoria dell’informazione, tanto più quanto maggiore è la sua efficienza. Quest’ultima si ottiene considerando che solo Ñ portanti su N trasportano informazione, e che solo fc ⋅ T0 campioni su fc ⋅ T sono unici; combinando queste quantità si ottiene
ρ = ÑN T0T = ÑN T − TgT = ÑN ⎛⎝1 − TgT⎞⎠
che misura la frazione di segnale utile rispetto all’occupazione di banda ed al numero di campioni/simbolo presenti in xOFDM(t). La ridondanza introdotta (le portanti vuote ed il preambolo) ha gli stessi scopi di quella introdotta dal roll-off γ di un impulso a coseno rialzato, in quanto evita che si verifichino fenomeni di interferenza tra simboli, e realizza un segnale limitato in banda. Osserviamo che l’efficienza migliora all’aumentare di T e di N, dato che Tg ed N − Ñ sono fissi.
Esercizio Un flusso binario a velocità fb = 1 Mbps è trasmesso mediante modulazione OFDM con portante 1 GHz, caratterizzata da: Ñ = 464 portanti attive su N = 512 totali, Mn = 2 bit a portante, con modulazione qpsk, e Tg = 28 μsec di tempo di guardia.
Calcolare: 1) il numero di bit/simbolo M ed il corrispondente periodo di simbolo T e 2) la spaziatura tra portanti Δ = 1⁄T0 e la corrispondente occupazione di banda.

16.8.4 Architettura di demodulazione

Per ottenere gli elementi della sequenza {an} e quindi il gruppo di M bit che hanno originato il simbolo si adotta l’architettura mostrata in figura 16.41, che svolge una azione del tutto inversa a quella del modulatore.
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Figure 16.41 Architettura di un demodulatore ofdm numerico
Innanzitutto il ricevitore deve acquisire il sincronismo di frequenza (vedi § 16.8.11), in modo che il segnale ricevuto possa essere demodulato in fase e quadratura, e le c.a. di b.f. campionate a frequenza fc = N + NgT. Dopo l’inversione di segno ad indici alterni, e dopo avere acquisito il sincronismo di simbolo, fc ⋅ T campioni complessi sono bufferizzati, quindi gli Ng campioni del preambolo rimossi, e sugli N valori del periodo principale viene calcolata una fft (vedi nota 868), ottenendo i valori
(21.65) 1N N− 1⎲⎳h = 0xhe −j2πhNn = XT0⎛⎝⎛⎝n − N2⎞⎠Δ⎞⎠ = an
Solo gli Ñ valori centrali sono avviati verso altrettanti decisori, che determinano il punto di costellazione più vicino all’an ricevuto per ogni portante, associandovi il relativo codice di Mn bit, ed il risultato finale è quindi serializzato per produrre gli M bit che hanno dato origine al simbolo.

16.8.5 Prestazioni

Al § 16.12.2 viene svolta una laboriosa analisi per arrivare a valutare l’espressione della Pbite in caso di tempo di guardia Tg = 0 ed in presenza di rumore additivo gaussiano limitato alla stessa banda del segnale; il risultato è confrontato con quello ottenibile per una trasmissione qam che occupi la medesima banda dell’ofdm, trasporti lo stesso flusso fb, utilizzi ovviamente una sola portante con un adeguato numero di livelli, e adotti un impulso a coseno rialzato che determini la stessa (in)efficienza spettrale legata nell’odfm alla presenza delle Ñ portanti spente. Il risultato è che le prestazioni sono identiche.
E allora dov’è la convenienza ? E’ il tema delle prossime sottosezioni!

16.8.6 Sensibilità alla temporizzazione

Con l’ofdm non siamo nelle condizioni di demodulazione coerente come per l’fsk (§ 16.5.1), e le portanti del simbolo ofdm ricevuto mantengono ortogonalità (§ 16.12.1) purché finestrate su di un periodo T0 = 1Δ. Pertanto nel caso in cui il ricevitore non acquisisca una perfetta sincronizzazione di simbolo, se l’isi introdotta dal canale ha una durata minore di Tg, la fft di demodulazione può operare su di un gruppo di campioni presi a partire dalla coda del preambolo, riducendo così la sensibilità rispetto agli errori di sincronizzazione.

16.8.7 Equalizzazione

Consideriamo il caso in cui la trasmissione attraversi un canale la cui h(t) è descritta da un inviluppo complesso H(f) in cui il modulo non è costante e/o la fase non è lineare: in tal caso XT0(f) di (21.61) si altera a causa del filtraggio, ed i suoi campioni an restituiti dalla (21.65) si modificano in
ãn = an ⋅ Hn
dove Hn = Hne jφn = H(f − Δ(n − N2)) sono i campioni (complessi) di H(f). Come anticipato, l’equalizzazione si riduce a svolgere un semplice prodotto tra la sequenza dei valori ricevuti ãn e quella di equalizzazione 1Hn e −jφn che inverte l’effetto del canale, ovviamente purché si conosca H(f), od una sua stima.

16.8.8 Codifica differenziale

Nel caso in cui l’entità della distorsione lineare introdotta dal canale non sia eccessiva si può evitare del tutto lo stadio di equalizzazione e ricorrere ad una codifica differenziale (§ 16.4), che risulta particolarmente semplice qualora le sottoportanti siano modulate psk o qpsk. In tal caso infatti il processo di demodulazione per ogni sottoportante non risente di variazioni di guadagno, ovvero variazioni di Hn = |Hn|, e dunque devono essere compensate le sole variazioni di fase φn tra una portante e l’altra, ognuna delle quali determina la corrispondente rotazione (vedi nota 584) del piano dell’inviluppo complesso su cui sono riferiti gli an, rispetto alla disposizione degli assi per la portante n − 1.
Acquisendo dunque un primo riferimento di fase da una portante pilota (§ 16.8.11) sempre accesa senza trasportare informazione, si può prendere quello per demodulare la portante successiva, acquisire da questa un nuovo riferimento di fase, e iterare il procedimento per tutte le portanti. Questo procedimento si attua applicando la teoria del § 16.4 alla sequenza simbolica di valori complessi an da trasmettere, sostituendo nelle (21.48) e (21.49) l’or esclusivo con una operazione di prodotto, ed aggiungendo una operazione di coniugato, come mostrato in fig. 16.42, in cui R rappresenta un ritardo unitario.
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Figure 16.42 Codifica differenziale per simboli complessi, R rappresenta un ritardo
Dal lato della trasmissione le portanti sono quindi modulate a partire dalla sequenza
dn = an ⋅ dn − 1
con n = 0, 1, ⋯, Ñ − 1, avendo posto a0 = 1. In assenza di rumore e di distorsione lineare la sequenza dn è ricevuta inalterata, ed è così disponibile in uscita dal demodulatore odfm; da essa si ottiene quindi
(21.66)
ân = dn ⋅ d * n − 1 = an ⋅ dn − 1 ⋅ d * n − 1 = an ⋅ |dn − 1|2
che presenta la stessa fase di an.
In presenza di distorsione lineare al posto di dn si riceve invece d̃n = dn ⋅ Hn in cui Hn = Hne jφn sono i campioni della risposta in frequenza del canale, e dunque la (21.66) fornisce
ân = d̃n ⋅ d̃ * n − 1 = an ⋅ dn − 1 ⋅ Hn ⋅ d * n − 1 ⋅ H * n − 1 = an ⋅ |dn − 1|2 ⋅ ΔHn ⋅ e jΔφn
in cui ΔHn = |HnH * n − 1| (ma il modulo non ci interessa), e Δφn = φn − φn − 1 è la differenza tra i valori della risposta di fase del canale valutata per due portanti contigue, e rappresenta l’entità di cui è ruotato il piano dell’inviluppo per i simboli trasportati dalle due portanti. Pertanto, se questa è di lieve entità (essendo le portanti vicine), produce un errore trascurabile.
Accenniamo brevemente all’ulteriore possibilità di applicazione del principio differenziale, oltre che portante per portante, anche ad interi simboli ofdm consecutivi: in questo caso il vettore di simboli akn da trasmettere all’istante k viene combinato con i valori del vettore trasmesso al simbolo precedente k − 1, ovvero dkn = akn ⋅ dk− 1n. In questo modo possono essere contrastati i fenomeni tempo-varianti che modificano il canale, per una stessa portante n, simbolo dopo simbolo.

16.8.9 Distribuzione ottima di potenza

Si riferisce alla possibilità dell’ofdm di assegnare valori di potenza differenti alle diverse portanti, che consente di sfruttare al massimo la capacità trasmissiva dal canale, anche in presenza di attenuazione selettiva e/o rumore colorato.
La trasmissione numerica con una fb elevata, eseguita utilizzando un tecnica ad una sola portante, deve necessariamente occupare una banda molto ampia, rendendo scarsamente applicabile la semplificazione di cui al § 13.1.2.4; in tal caso H(f) presenta distorsione di ampiezza, la cui equalizzazione (§ 18.4) causa una colorazione del rumore in ingresso al demodulatore, ed un peggioramento delle prestazioni. Un problema analogo nasce nel caso in cui il rumore non sia bianco, ad esempio perché derivante da un segnale interferente.
In entrambi i casi per tenere conto dell’andamento incostante di PN(f) il calcolo della capacità di canale [870]   [870] Come discusso ai § 17.2 e 17.3 la teoria di Shannon asserisce che fb = C è la massima velocità di trasmissione per cui si può (teoricamente) conseguire una probabilità di errore nulla, e che il canale consegue capacità C massima a seguito di una scelta appropriata su come trasmettere il messaggio. C = Wlog2(1 +  PR⁄WN0), valido in presenza di un rumore bianco PN(f) = N0⁄2 e con una potenza ricevuta PR in una banda (positiva) W, si modifica come segue. Se consideriamo il canale scomposto in infinite sottobande entro le quali le densità di potenza di segnale e di rumore possono ritenersi costanti, l’espressione della capacità diviene
(21.67) C = supPR(f) ⌠⌡f ∈ Iflog2⎛⎝1 +  PR(f)PN(f)⎞⎠df
in cui If rappresenta l’insieme delle frequenze in cui è presente il segnale, ovvero If = {f: PR(f) > 0}. La (21.67) significa che se PN(f) in ingresso al canale non è pari ad una costante, la massima capacità trasmissiva C (e dunque velocità fb) può essere raggiunta sagomando in modo opportuno la densità di potenza PR(f) del segnale ricevuto. Nell’ofdm ciò equivale a distribuire la potenza totale PR in modo non uniforme tra le portanti, a patto che la PR(f) che rende massima (21.67) rispetti i vincoli
(21.68)  ⌠⌡f ∈ IfPR(f)df = PR      e     PR(f) ≥ 0
Questo problema di ottimo vincolato ammette la soluzione (vedi § 16.12.3)
(21.69)
PR(f) + PN(f) = ⎧⎨⎩ μ     se   PN(f) < μ       PN(f)    se  PN(f) ≥ μ
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detta anche riempimento d’acqua (water-filling) perché (vedi figura) determina una maggiore potenza di segnale nelle regioni di frequenza dove il rumore è minore, un po’ come se PR fosse un volume d’acqua versata sopra PN(f). La costante μ viene determinata in modo da ottenere ∫ PR(f)df = PR.
In un sistema di modulazione numerica a singola portante PR(f) non può essere modificato a piacere, in quanto il suo andamento è vincolato dal particolare formatore di impulsi G(f) scelto per ottenere una ricezione priva di isi. Nel caso dell’ofdm invece la potenza assegnata a ciascuna portante può essere variata liberamente, e se la PR(f) che realizza le condizioni (21.69) viene resa nota al modulatore, è possibile avvicinarsi alla velocità massima permessa dalla (21.67).
Bit loading
In particolare si ottiene che la massima velocità fb è conseguibile attribuendo a tutte le portanti la medesima probabilità di errore, e quindi in definitiva determinando dei valori ⎛⎝EbN0⎞⎠n per ogni portante n = 0, 1, ..., Ñ − 1 tali da rendere le Pe ⁄ n = Pe. Questo risultato può essere ottenuto scegliendo le potenze Pn in accordo alla (21.69), e quindi trasmettere (o caricare) più bit Mn sulle portanti n per le quali Pn è maggiore.

16.8.10 Modulazione codificata

Abbiamo appena mostrato come, conoscendo la PN(f) e la H(f) del canale, sia possibile equalizzare Px(f) = PR(f)|H(f)|2 e al contempo soddisfare (21.69) e rendere massima la fb. Ma nel caso di collegamenti tempo-varianti la H(f) non è nota, ed anche se lo fosse non esiste garanzia che rimanga costante. In tal caso non ha senso determinare una distribuzione ottima della potenza e dei bit sulle portanti, mentre invece occorre aggiungere della ridondanza al segnale trasmesso mediante un codice di canale, allo scopo di correggere i bit errati.
Osserviamo ora che nel caso di una modulazione a portante singola la presenza di una H(f) tempo-variante rende il processo di equalizzazione particolarmente complesso, dato che deve inseguire le variazioni di H(f). Se l’equalizzazione non è perfetta insorge isi, e la trasmissione può divenire rapidamente così piena di errori da renderne impossibile la correzione anche adottando codici di canale.
Nel caso dell’ofdm, al contrario, l’andamento di H(f) determina un peggioramento di prestazioni solamente per quelle portanti per le quali |H(f)| si è ridotto [871]   [871] Si consideri ad esempio il caso in cui H(f) ha origine da un fenomeno di cammini multipli, che determina un andamento di H(f) selettivo in frequenza (§ 20.4.5).. Pertanto l’applicazione di un codice di canale (§ 17.4) al blocco di M bit che costituisce un simbolo, seguito da una operazione di scrambling (§ 15.6.2.3), consente al lato ricevente di recuperare l’informazione trasmessa anche nel caso in cui per alcune portanti si determini un elevato tasso di errore.
La trasmissione ofdm in cui è presente una codifica di canale prende il nome di trasmissione cofdm (Coded ofdm).

16.8.11 Portanti pilota

Fin qui abbiamo assunto che il ricevitore ofdm mostrato in fig. 16.41 operi in condizioni di sincronismo sia per quanto riguarda la portante di demodulazione, sia per gli intervalli di simbolo. A questo scopo alcune delle sottoportanti - dette pilota - non sono usate per trasmettere dati, ma sono mantenute costantemente attive, con potenza di poco superiore alle altre, allo scopo di facilitare la sincronizzazione in frequenza. In figura 16.44 è rappresentato il caso per il dvb-t, in cui ogni riga rappresenta le portanti di un simbolo, e quelle pilota si trovano in posizione fissa; sono inoltre mostrate delle portanti disperse (scattered) le cui posizioni evolvono ciclicamente di simbolo in simbolo, e consentono di acquisire un sincronismo sia di simbolo che di trama, oltre che eventualmente permettere una migliore stima della H(f) del canale attraversato.
figure f10.25.png
Figure 16.44 Allocazione delle portanti OFDM in un sistema di trasmissione DVB-T

16.8.12 Accesso multiplo OFDMA

Lo sviluppo di protocolli di gestione e coordinamento delle risorse impiegate da più utenti mobili per comunicare con una stessa stazione radio-base (§§ 11.1.1.3, 16.9.2.5) rende possibile assegnare differenti sottoinsiemi di portanti ai diversi utenti, permettendo
figure OFDMA.jpg
di ripartire la banda a disposizione in percentuali variabili tra gli stessi. Ogni utente semplicemente spenge le portanti a lui non intestate prima di eseguire l’ifft, così come ne scarta il risultato della decodifica. Si determinano così i vantaggi
Per far fronte a fenomeni di fading selettivo (§ 20.4.5) la qualità del canale tra stazione base ed ogni utente è monitorata di continuo affinché l’allocazione delle portanti possa essere modificata dinamicamente, e mantenuta una adeguata qualità di servizio per tutti: in questo senso si realizzano gli scopi della radio cognitiva (pag. 1).
La modalità di trasmissione ofdma è stata adottata nei sistemi WiFi 802.11ax, [872]   [872] https://en.wikipedia.org/wiki/IEEE_802.11ax-2021 WiMAX 802.16e, e di telefonia mobile lte e 5g.
 Sezione 16.7: Schema riassuntivo delle prestazioni Su Capitolo 16: Modulazione numerica Sezione 16.9: Sistemi a spettro espanso