Rumore termico nei circuiti, temperatura di sistema, fattore di rumore, reti in cascata

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18.2 Rumore nelle reti due porte

Al § 8.4.2.1 abbiamo mostrato come in un bipolo attivo, una volta ridotto [1019] [1019] Applicando il teorema di Thévenin, vedi https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Thévenin nella sua forma canonica come un generatore di segnale (a vuoto) V_g(f) con in serie una impedenza interna Z_g(f) a temperatura T_g, quest’ultima contenga al suo interno anche un generatore di rumore termico, con densità di potenza di segnale P_n(f) = 2kT_g R(f) Volt², generato dalla sola parte reale R(f) = R{Z_g(f)} dell’impedenza. Qualora tale generatore sia chiuso su di un carico Z_c(f) = Z^*_g(f) adattato per il massimo trasferimento di potenza, su Z_c(f) si dissipa sia la potenza disponibile di segnale W_dg(f) = P_g(f)4R(f), sia quella (sempre disponibile) di rumore W_{d_n}(f) = P_n(f)4R(f) = 12 kT_g ⎡⎣ Watt Hz⎤⎦: pertanto, il generatore nasce già di per se rumoroso, con un

SNR_g(f) = W_dg(f)12 kT_g

Qualora tra il generatore ed il carico siano invece interposte una (o più) reti due porte, occorre investigare su come tenere conto dell’ulteriore rumore introdotto da queste ultime.

Temperatura equivalente di uscita

Collegando un generatore rumoroso a temperatura T_g all’ingresso di una rete due porte a temperatura

T_Q (vedi fig. a lato), in uscita della rete troviamo un processo di rumore dipendente sia dal generatore che dalla rete, e la cui potenza disponibile W_{dn_u}(f) può essere espressa in funzione di una temperatura equivalente di uscita T_{e_u}(f) (seconda figura), tale che

W_{dn_u}(f) = 12 kT_{e_u}(f)

D’altra parte a T_{e_u}(f) concorrono sia la temperatura del generatore T_g(f), che la rete con una propria T_{Q_u}(f) equivalente di uscita (fig. a lato); scriviamo dunque

W_{dn_u}(f) = 12 k ⋅ [T_g(f)G_d(f) + T_{Q_u}(f)]

in cui la potenza disponibile in ingresso alla rete (che ha guadagno disponibile G_d(f)) è riportata in uscita, moltiplicata per G_d(f).

Temperatura di sistema

Se ora riportiamo in ingresso alla rete il contributo di

rumore dovuto a T_{Q_u} otteniamo

W_{dn_u}(f) = 12 kG_d(f) ⋅ [T_g(f) + T_{Q_i}(f)]

(in cui T_{Q_i}(f) = T_{Q_u}(f)G_d), ovvero

W_{dn_u}(f) = 12 k G_d(f) T_{e_i}(f)

dove

(21.129)
T_{e_i}(f) = T_g(f) + T_{Q_i}(f) = T_g(f) + T_{Q_u}(f)G_d(f)

è detta anche temperatura di sistema T_s = T_{e_i}, poiché riporta in ingresso alla rete tutti i contributi al rumore di uscita, dovuti sia al generatore che alla rete. Siamo però rimasti con un problema irrisolto: che dire a riguardo di T_{Q_i} e T_{Q_u}?

18.2.1 Reti passive

Nel caso in cui la rete due porte non contenga elementi attivi, e considerando tutti i componenti passivi della rete alla stessa temperatura T_Q, si può mostrare che risulta

⎧⎨⎩ T_{Q_u}(f) = [1 − G_d(f)]T_Q T_{Q_i}(f) = T_{Q_u}(f)G_d(f) = [A_d(f) − 1]T_Q

in modo da poter scrivere:

⎧⎨⎩ T_{e_u}(f) = G_d(f)T_g(f) + T_{Q_u}(f) = G_d(f)T_g(f) + [1 − G_d(f)]T_Q T_{e_i}(f) = T_{e_u}(f)G_d(f) = T_g(f) + [A_d(f) − 1]T_Q

Questo risultato evidenzia come per una rete passiva (con 0 ≤ G_d ≤ 1), la temperatura di rumore equivalente in uscita sia una media pesata delle temperature del generatore e della rete. Nei casi limite in cui G_d = 0 oppure 1, la T_{e_u}(f) è pari rispettivamente a T_Q e T_g(f); infatti i due casi corrispondono ad una “assenza” della rete oppure ad una rete che non attenua.

18.2.1.1 Rapporto SNR in uscita

La valutazione del rapporto segnale rumore in uscita alla rete porta a

SNR_u(f) = W_dg(f)G_d(f)12 kT_{e_i}(f)G_d(f) = W_dg(f)12 k ⋅ [T_g(f) + [A_d(f) − 1]T_Q]

Ricordando che il generatore in ingresso presenta un SNR_i(f) = W_dg(f)12 kT_g(f) possiamo valutare il peggioramento prodotto dalla presenza della rete come

(21.130)
SNR_i(f)SNR_u(f) = W_dg(f)12 kT_g(f) ⋅ 12 k ⋅ [T_g(f) + [A_d(f) − 1]T_Q]W_dg(f) = = 1 + T_QT_g(f) ⋅ [A_d(f) − 1]

18.2.1.2 Fattore di rumore per reti passive

Il rapporto (21.130) F(f) = 1 + T_QT_g(f) ⋅ [A_d(f) − 1] ≥ 1 è chiamato fattore di rumore [1020] [1020] A volte si incontra anche il termine figura di rumore, derivato dall’inglese noise figure (che in realtà si traduce cifra di rumore), e che si riferisce alla misura di F in decibel. della rete passiva, e rappresenta il peggioramento dell’SNR dovuto alla sua presenza, potendo infatti scrivere

SNR_u(f) = SNR_i(f)F(f) ≤ SNR_i(f)

Notiamo subito che se T_g(f) = T_Q, allora F = A_d: pertanto una rete passiva che si trova alla stessa temperatura del generatore presenta un fattore di rumore pari all’attenuazione. Infatti, mentre la potenza disponibile di rumore è la stessa (essendo generatore e rete alla stessa temperatura), il segnale si attenua di un fattore A_d.

18.2.2 Reti attive

In questo caso il rumore introdotto dalla rete non ha origine solo dai resistori, e dunque non è più vero che T_{Q_u}(f) = [1 − G_d(f)]T_Q. Inoltre, il guadagno disponibile può assumere valori G_d > 1. Per le reti attive si può quindi esprimere l’SNR in uscita come

SNR_u(f) = W_dg(f)G_d(f)12 k[G_d(f)T_g(f) + T_{Q_u}(f)] = W_dg(f)12 k ⋅ [T_g(f) + T_{Q_i}(f)]

ed il peggioramento individuato in (21.130) come

(21.131) SNR_i(f)SNR_u(f) = W_dg(f)12 kT_g(f) ⋅ 12 k ⋅ [T_g(f) + T_{Q_i}(f)]W_dg(f) (21.132) = 1 + T_{Q_i}(f)T_g(f) = F(f, T_g)

Quest’ultima espressione dipende ancora da T_g. Allo scopo di ottenere una grandezza che dipenda solamente dalla rete due porte, si definisce quindi il

18.2.2.1 Fattore di rumore per reti attive

Viene posto pari a

F(f) = 1 + T_{Q_i}(f)T₀

e rappresenta il peggioramento di SNR causato dalla rete quando il generatore è a temperatura ambiente T₀ = 290 ^oK = 17 ^oC. In realtà non ci è dato di conoscere T_{Q_i}(f), mentre invece F(f) può essere misurato a partire dal rapporto dei rapporti SNR, ed è proprio ciò che fa il costruttore della rete due porte. Il valore di F(f) misurato ci permette dunque il calcolo di T_{Q_i}(f) = T₀[F(f) − 1] che, sostituito nella (21.129), permette finalmente di valutare la temperatura di sistema come

(21.133) T_{e_i}(f) = T_g(f) + T₀[F(f) − 1]

mentre dalla (21.131) si determina il peggioramento dell’SNR come

SNR_i(f)SNR_u(f) = 1 + T₀T_g(f) [F(f) − 1]

Riassunto

il fattore di rumore è definito come il peggioramento di SNR dovuto alla presenza della rete tra generatore e carico, quando il generatore è a temperatura T₀ = 290 ^oK = 17 ^oC;
dal fattore di rumore si deriva la temperatura di sistema T_{e_i}(f) = T_g(f) + T₀ [F(f) − 1];
Se T_g = T₀ allora T_{e_i}(f) = F(f)T₀, e dunque la temperatura di sistema T_{e_i} è F(f) volte quella del generatore;
Se la rete non è rumorosa si ottiene F = 1 (pari a 0 dB);
Se la rete è passiva allora F(f) = [A_d(f) − 1] T_QT₀ + 1, e se è a temperatura T_Q = T₀ allora F = A_d.

Esempio Sia data una rete due porte con assegnati

guadagno disponibile G_d, banda di rumore B_N e fattore di rumore F. Valutare il rapporto segnale rumore disponibile in uscita nei due casi in cui il generatore si trovi ad una generica temperatura T_g oppure a T₀.

Soluzione Sappiamo che la densità di potenza disponibile di rumore in uscita vale

W_{dn_u}(f) = 12 kT_{e_i}G_d = 12 k ⋅ [T_g + T_{Q_i}] ⋅ G_d

in generale F = 1 + T_{Q_i}T₀ e quindi T_{Q_i} = T₀(F − 1), dunque

W_{dn_u}(f) = 12 k ⋅ [T_g + T₀(F − 1)] ⋅ G_d

Pertanto, la potenza disponibile di rumore si ottiene integrando la densità sulla banda di rumore

W_{dn_u} = k ⋅ [T_g + T₀(F − 1)] ⋅ G_dB_N

che, nel caso in cui T_g = T₀, si riduce a W_{dn_u} = kT₀FG_dB_N. Per la potenza di segnale, si ha invece W_{ds_u} = W_dgG_d, e pertanto se T_g = T₀, risulta

SNR_u = SNR_iF = W_dgkT₀FB_N = W_dgkT_{e_i}B_N

ottenendo quindi lo stesso SNR in ingresso, ma con un rumore F volte più potente. Nel caso in cui T_g sia generico, considerando un fattore di rumore costante nella banda di rumore B_N, otteniamo:

SNR_u = SNR_iF(T_g) = W_dgkT_gB_N ⋅ 11 + T_{Q_i}T_g = W_dgkT_gB_N ⋅ 11 + T₀(F − 1)T_g = = W_dgk[T_g + T₀(F − 1)]B_N = W_dgkT_{e_i}B_N

Esercizio Un trasmettitore con potenza di 50 mW e portante 30 MHz modula am bld ps un segnale con banda ± B = ± 10 KHz, prodotto da un generatore a temperatura T₀. Qualora si desideri mantenere un SNR in ricezione di almeno 25 dB, determinare la distanza che è possibile coprire adottando antenne isotrope, ed un ricevitore caratterizzato da un fattore di rumore F = 10 dB. N.B.: l’esercizio può essere affrontato con le ulteriori conoscenze dei §§ 19.1 e 20.2.

Svolgimento Assumendo che si verifichino le condizioni di massimo trasferimento di potenza, il valore desiderato SNR = SNR₀ = W_RW_N può essere ottenuto se

W_R = W_N ⋅ SNR = 2B ⋅ W_dN(f) ⋅ SNR = B ⋅ kT₀F ⋅ SNR

, e quindi occorre ricevere un potenza

      W_{R_min}(dBm) = 10log₁₀10⁴(Hz) - 174(dBm/Hz) + F_dB + SNR_dB =

                    = 40 - 174 + 10 + 25 = - 99 dBm.

Il guadagno di sistema (pag. 1) risulta allora pari a

      G_s(dB) = W_T(dBm) - W_{R_min}(dBm) = 10log₁₀50 + 99 = 17 + 99 = 116 dB

Non prevedendo nessun margine, l’attenuazione dovuta alla distanza può essere pari al guadagno di sistema, e pertanto applicando la (21.179) di pag. 1 scriviamo

      A_d = 116 = 32.4 + 20log₁₀f(MHz) + 20log₁₀d(Km) =

                   = 32.4 + 29.5 + 20log₁₀d(Km)

e quindi 2.7 = log₁₀d(Km), da cui d = 10^2.7 = 501 Km. Svolgendo nuovamente i calcoli nel caso in cui il fattore di rumore del ricevitore sia pari a 20 dB e 100 dB, si ottiene che la nuova massima distanza risulta rispettivamente di 158 Km e di 15 metri.

18.2.3 Fattore di rumore per reti in cascata

Sappiamo che il guadagno disponibile dell’unica rete due porte equivalente alle N reti poste in cascata è pari al prodotto dei singoli guadagni, ovvero G_d = Π^N_n = 1G_{d_n}. Come determinare invece il fattore di rumore equivalente complessivo ?

Con riferimento alla figura mostrata a lato, il singolo contributo di rumore dovuto a ciascuna rete può essere riportato all’ingresso della rete stessa, individuando così una temperatura

T⁽ⁿ⁾_{Q_i} = T₀(F⁽ⁿ⁾ − 1)

I singoli contributi possono quindi essere riportati a monte delle reti che li precedono, dividendo la potenza (ovvero la temperatura) per il guadagno disponibile delle reti scavalcate. Dato che i contributi di rumore sono indipendenti, le loro potenze si sommano, e dunque è lecito sommare le singole temperature T⁽ⁿ⁾_{Q_i} riportate all’ingresso, in modo da ottenere un unico contributo complessivo di valore

T^(T)_{Q_i} = T⁽¹⁾_{Q_i} + T⁽²⁾_{Q_i}1G_d₁ + T⁽³⁾_{Q_i}1G_d₁G_d₂ + ⋯ + T^(N)_{Q_i}1Π^N− 1_n = 1G_{d_n}

in cui, sostituendo le espressioni per i T⁽ⁿ⁾_{Q_i} si ottiene

T^(T)_{Q_i} = T₀ ⋅ ⎡⎣F₁ − 1 + F₂ − 1G_d₁ + F₃ − 1G_d₁G_d₂ + ⋯ + F_N − 1Π^N− 1_n = 1G_{d_n}⎤⎦

Applicando la definizione F^(T) = 1 + T^(T)_{Q_i}T₀, si ottiene

F^(T) = F₁ + F₂ − 1G_d₁ + F₃ − 1G_d₁G_d₂ + ⋯ + F_N − 1Π^N− 1_n = 1G_{d_n}

che costituisce proprio l’espressione cercata:

F^(T) = F₁ + ^N⎲⎳_i = 2F_i − 1Π^i− 1_j = 1G_{d_j}

Il risultato, noto come formula di Friis [1021] [1021] Vedi https://it.wikipedia.org/wiki/Formula_di_Friis, ma da non confondere con la (21.179), anche se si tratta... della stessa persona!, si presta alle seguenti considerazioni:

la prima rete due porte deve avere F più piccolo possibile, dato che quest’ultimo non può essere ridotto in alcun modo e contribuisce per intero ad F^(T);
la prima rete due porte deve avere G_d più elevato possibile, dato che quest’ultimo divide tutti i contributi di rumore delle reti seguenti.

Pertanto l’elemento che determina in modo preponderante il rumore prodotto da una cascata di reti due porte è la prima rete della serie, ed il suo progetto deve essere eseguito con cura particolare, anche tenendo conto del fatto che le due esigenze sopra riportate sono spesso in contrasto tra loro. E’ inoltre appena il caso di ricordare che l’espressione ottenuta non è in dB, mentre spesso F è fornito appunto in dB; pertanto per il calcolo di F^(T) occorre prima esprimere tutti gli F_i in unità lineari.

Esercizio

Una trasmissione video modulata

am-blu con portante f_p = 2 GHz viene ricevuta secondo uno dei due schemi in figura, indicati come caso A e B. E’ presente una discesa in cavo coassiale con φ = 1.2/4.4 mm lunga 50 metri, un filtro-amplificatore con guadagno disponibile G_d₁ = 20 dB, fattore di rumore F₁ = .4 dB e banda di rumore B_N = 7 MHz, ed un mixer che converte il segnale a frequenza intermedia f_I, e che esibisce G_d₂ = 0 dB e F₂ = 10 dB. Tutti i componenti a valle dell’antenna si trovano alla stessa temperatura T₀ = 290 ^oK. Calcolare:

1) La minima potenza disponibile W_{d_R} che occorre ricevere per ottenere SNR₀ = 50 dB nei due casi. Ripetere il calcolo supponendo l’antenna ricevente a temperatura T_a = 10 ^oK anziché T₀.

2) La minima potenza che è necessario trasmettere per superare un collegamento terrestre lungo 50 Km, con antenne di guadagno G_T = G_R = 30 dB. Ripetere il calcolo per un down link satellitare in orbita geostazionaria, con G_T = G_R = 40 dB.

3) Il valore efficace della tensione ai capi del generatore equivalente di uscita dell’amplificatore di potenza del trasmettitore, per il caso migliore (tra A e B) del collegamento terrestre, nel caso di massimo trasferimento di potenza con Z_u = Z_a = 50 Ω, oppure con Z_u = 50 Ω e Z_a = 50 - j 50 Ω.

Svolgimento

Determiniamo innanzitutto l’attenuazione del cavo coassiale, che risulta A_d(f) = A₀√f(MHz) dB/Km. Per il diametro indicato risulta A₀ = 5.3 dB/Km, ed alla frequenza di 2 GHz si ottiene A_d(f)_dB = 5.3√2 ⋅ 10³ = 237 dB/Km; e quindi in 50 metri si hanno 11.85 ≃ 12 dB. Dato che il cavo è a temperatura T₀, risulta anche F_cavo = A_d = 12 dB. Riassumendo:

	A_d = F_cavo	F₁	G_d₁	F₂	G_d₂
dB	11.85	.4	20	10	0
lineare	15.3	1.1	100	10	1

A) Il fattore di rumore complessivo risulta

F^A = F_cavo + A_d(F₁ − 1) + A_dG_d₁(F₂ − 1) = 15.3 + 15.3 ⋅ (.1) + 15.3100(9) = 18.2

ovvero pari a 12.6 dB. Dato che per la trasmissione televisiva am-blu si ha SNR = SNR₀, scriviamo

W_{d_R} = SNR ⋅ W_{d_N} = SNR₀ ⋅ F^A ⋅ B_N ⋅ kT₀

e quindi

W_{d_R}(dBm) = SNR₀(dB) + F^A(dB) + B_N(dBMHz) + KT₀(dBm/MHz) =

= 50 + 12.6 + 8.45 - 114 = -43 dBm

B) Il fattore di rumore complessivo risulta ora

F^B = F₁ + (F_cavo − 1)G_d₁ + A_dG_d₁(F₂ − 1) = 1.1 + 14.3100 + 15.3100(9) = 2.26

ovvero pari a 3.5 dB. La differenza con il caso A è di 9.1 dB, e la potenza disponibile che occorre ricevere diminuisce pertanto della stessa quantità, e quindi ora risulta W_{d_R} = -52.1 dBm.

Nel caso in cui T_a = 10 ^oK ≠ T₀, non si ottiene più T_{e_i} = FT₀, ma occorre introdurre la T_{Q_i} della rete riportata al suo ingresso, e considerare la rete non rumorosa in modo da scrivere T_{e_i} = T_g + T_{Q_i} = T_A + T₀(F − 1). Ripetiamo i calcoli per i due casi A e B:

W_{dR_W} = SNR ⋅ W_{d_N} = SNR ⋅ B_N ⋅ k ⋅ (T_a + T_{Q_i}) = SNR ⋅ B_N ⋅ k ⋅ (T_a + T₀(F^A − 1))

che espresso in dB fornisce

W_{dR_dBW} = SNR_dB + 10log₁₀7 ⋅ 10⁶ + 10log₁₀(1.38 ⋅ 10^− 23(10 + 290 ⋅ 17.2))

= 50 + 68.5 − 191.61 = − 73.11 dBW = − 43.11 dBm

B) W_{d_R}(dBW) = 50 + 68.5 + 10log₁₀(1.38 ⋅ 10^− 23(10 + 290 ⋅ 1.26)) = - 84.3 dBW = -54.3 dBm. Notiamo che se la T_a è ridotta, le prestazioni per la configurazione A migliorano di soli 0.11 dB, mentre nel caso B il miglioramento è di circa 2.2 dB. Questo risultato trova spiegazione con il fatto che in A predomina comunque il T_{Q_i} prodotto dal cavo.

2) In un collegamento radio terrestre si assume T_a = 290 ^oK. Inoltre, per il caso in esame si trova una attenuazione disponibile pari a A_d = 32.4 + 20log₁₀f(MHz) + 20log₁₀d(Km) - G_T - G_R = 32.4 + 66 + 34 - 60 = 72.4 dB

A) W_{d_T} = W_{d_R} + A_d = - 43.11 + 72.4 = 29,29 dBm = 850 mW

B) W_dT = W_{d_R} + A_d = - 54.3 + 72.4 = 18.1 dBm = 66 mWatt Per il downlink si ha d = 36.000 Km, mentre T_a = 10 ^oK. Pertanto: A_d = 32.4 + 20log₁₀f(MHz) + 20log₁₀d(Km) - G_T - G_R = 32.4 + 66 + 91.12 - 80 = 109.5 dB e quindi, utilizzando il valore W_{d_R} ottenuto per il caso B, otteniamo W_{d_T} = W_{d_R} + A_d = - 54.3 + 109.5 = 55.2 dBm = 25.2 dBW → 331 Watt

3) Nel caso di adattamento, la potenza ceduta all’antenna T_x è proprio quella disponibile del generatore, e quindi si ha W_{d_T} = σ²_g4R, da cui

    σ_g = √W_{d_T}4R = √66 ⋅ 10^− 3 ⋅ 4 ⋅50 = 3.63 Volt.

In caso di disadattamento, desiderando che la potenza ceduta all’antenna trasmittente rimanga la stessa, e supponendo le impedenze indipendenti dalla frequenza, scriviamo (in accordo alla relazione (21.122))

    W_T = P_{v_o}R_a|Z_a|² = P_{v_o}5050² + 50² = P_{v_o} ⋅ 10^− 2

e quindi P_{v_o} ≃ 6.6 (Volt²). Applicando ora la regola del partitore, si ottiene
P_{v_o} = P_{v_g}||Z_aZ_a + Z_u||² = P_{v_g}||50 − j5050 + 50 − j50||² = P_{v_g}50² + 50²100² + 50² = P_{v_g} ⋅ 0.4.

Dunque, P_{v_g} = P_{v_o}0.4 = 6.60.4 = 16.5 Volt², ovvero V_{g_eff} = √16.5 ≃ 4 Volt.

Evidentemente, il disadattamento produce un innalzamento del valore efficace, se si vuol mantenere la stessa potenza di uscita.

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