Capitolo 4: Campionamento quantizzazione ed elaborazione numerica Su Capitolo 4: Campionamento quantizzazione ed elaborazione numerica Sezione 4.2: Aspetti realizzativi del campionamento 

4.1 Teorema del campionamento

Esprime la possibilità di ricostruire un segnale limitato in banda a partire dai suoi campioni:
Un segnale con spettro nullo a frequenze maggiori di W è completamente descritto dai suoi valori prelevati ad intervalli temporali regolari tn = nTc, con n intero e periodo di campionamento Tc ≤ 12W; da questi è possibile risalire ai suoi valori per qualunque altro istante
La frequenza fcmin = 1TcMax = 2W, chiamata velocità di Nyquist [142]   [142] Questo teorema è stato derivato indipendentemente e in tempi diversi da Borel, Whittaker, Kotelnikov e Shannon. Il contributo di Nyquist è in realtà relativo al problema di determinare la massima velocità di segnalazione fs su di un canale limitato in banda, vedi § 15.2.2.2., corrisponde alla minima velocità con cui occorre campionare un segnale x(t) limitato in banda, ed è pari al doppio della massima frequenza W presente nel segnale. Se questa condizione è rispettata, il segnale originario può essere (ad esempio [143]   [143] Al § 4.2.2 troveremo che in realtà la formula (10.66) non è l’unica possibile.) ricostruito ricorrendo ad una formula di interpolazione [144]   [144] L’interpolazione individua un insieme di metodi per ottenere un segnale che passi per N punti (istante, valore) prefissati, vedi https://it.wikipedia.org/wiki/Interpolazione.
Qualora i punti siano prelevati a frequenza fc ≥ fcmin da un segnale limitato in banda, la (10.66) fornisce i suoi valori esatti anche per istanti t ≠ nTc, vedi
https://it.wikipedia.org/wiki/Formula_di_interpolazione_di_Whittaker-Shannon. (detta cardinale) che utilizza i campioni di segnale x(nTc) nell’espressione
(10.66) x(t) =∞⎲⎳n = −∞x(nTc) ⋅ sinc(fc(t − nTc))
che si basa sulla ripetizione ritmica del segnale sinc(fct) = sinπfctπfct, detto per questo motivo seno cardinale (pag. 39). Come richiamato in fig. 4.1-a),
figure f4.4.png
Figure 4.1 a) - Funzione sinc(fct) centrata in t = 0 e traslata in t = 3Tc; b) - ricostruzione del segnale limitato in banda mediante la formula (10.66)
sinc(fct) passa da zero per gli istanti t = n⁄fc = nTc, e dunque sommando i termini sinc(fc(t − nTc)) centrati a multipli di Tc e con ampiezza x(nTc) si ottiene il risultato di 4.1-b), ovvero un segnale che per t = nTc vale esattamente x(nTc), mentre negli istanti intermedi il valore si forma come somma di tutte le “code” dei sinc adiacenti.
figure f4.2c.png
Figure 4.3 Campionamento del segnale x(t) e sua ricostruzione mediante filtraggio del segnale campionato x•(t)
Osserviamo ora che la (10.66) può essere realizzata mediante lo schema simbolico mostrato in fig. 4.3, ovvero moltiplicando il segnale x(t) per un treno di impulsi πTc(t) con periodo Tc ≤ 1⁄2W, ed il risultato x•(t) fatto passare attraverso un filtro con risposta impulsiva h(t) =  sinc(fct). Il segnale x•(t) = x(t) ⋅ πTc(t) è dunque costituito (eq. (10.43)) da impulsi con area pari ai campioni di segnale, ossia
x•(t) =∞⎲⎳n = −∞x(nTc)δ(t − nTc)
e per ogni impulso x(nTc)δ(t − nTc) presente in ingresso al filtro si otterrà in uscita una replica della risposta impulsiva centrata sulla posizione dell’impulso, ovvero x(nTc) ⋅ sinc(fc(t − nTc)), e cioè
y(t)  =  x•(t) * h(t) = [  ⎲⎳n x(nTc)δ(t − nTc) ] * sinc(fct) =   =   ⎲⎳n x(nTc) sinc(fc(t − nTc))
che corrisponde alla (10.66). Per dimostrare che il segnale y(t) così ottenuto eguaglia il segnale originario x(t), deriviamo l’espressione di X•(f) = F {x•(t)}. Ricordando il risultato a pag. 1 per la trasformata di un treno di impulsi, possiamo scrivere
(10.67)
X•(f)  =  F {x(t) ⋅ πTc(t)} = X(f) * 1Tc Π1Tc(f) = X(f) * 1Tc ⎲⎳∞n = −∞δ⎛⎝f − nTc⎞⎠ =   =  fc ⋅ ⎲⎳∞n = −∞X(f) * δ(f − nfc) = fc ⋅ ⎲⎳∞n = −∞X(f − nfc)
dove il penultimo passaggio scambia l’integrale (di convoluzione) di una somma con una somma di integrali, e l’ultimo passaggio tiene conto della proprietà di
figure f4.3c.png
convoluzione con un impulso (§ 3.4.4).
Lo spettro di x•(t) è dunque un segnale periodico in frequenza costituito da infinite repliche di X(f), centrate a multipli della frequenza di campionamento fc, e che nel caso in cui si sia scelto fc = 2W ovvero pari al suo valore minimo, appare come mostrato a lato [145]   [145] Il risultato ottenuto replica in frequenza quello della trasformata di segnali periodici nel tempo: ad un segnale periodico in frequenza con periodo fc corrisponde una antitrasformata di Fourier costituita da impulsi nel tempo distanziati dall’inverso Tc = 1⁄fc del periodo fc..
A questo punto osserviamo che al filtro con h(t) =  sinc(fct) corrisponde una risposta in frequenza
(10.68) H(f) = 1fc rectfc(f)
ovvero quella di un passa basso ideale, che permette l’attraversamento delle sole frequenze nell’intervallo ( − fc⁄2, fc⁄2), e dunque dell’unica replica spettrale di X•(f) centrata in f = 0. In uscita è quindi presente un segnale y(t) con spettro di ampiezza
Y(f) = H(f)X•(f) = 1fc f c X(f) = X(f)
che è perfettamente equivalente al segnale originario, ma ricostruito sulla base dei suoi soli campioni x(nTc). Per questo motivo il filtro H(f) è anche noto come filtro di restituzione.
Abbiamo così verificato la correttezza della (10.66) che esprime il teorema del campionamento nella sua forma cardinale, ossia quando fc è esattamente pari a 2W, cioè pari al suo valore minimo. Analizziamo ora cosa accade se la condizione fc ≥ 2W non è rispettata.

4.1.1 Aliasing

Questo termine ha origine dalla parola inglese [146]   [146] In realtà alias è di origine latina !!! alias (copia, clone) e sta ad indicare il fenomeno che si produce nell’applicare il teorema del campionamento quando i requisiti non sono soddisfatti, e cioè quando la frequenza di campionamento è inferiore alla velocità di Nyquist, ossia fc = 1Tc < 2W (ovvero Tc > 12W).
figure f4.5.png
In questo caso la (10.67) indica come le repliche spettrali che compongono X•(f) siano più ravvicinate, e si sovrappongano, come rappresentato dalla figura a lato: l’aliasing è infatti indicato anche come fold-over, o ripiegamento.
Quando questo avviene il filtro passa-basso di restituzione non è più in grado di estrarre la replica centrata in f = 0, e dunque il segnale y(t) alla sua uscita si differenzia da x(t) in particolar modo per i contenuti energetici nella regione delle frequenze più elevate [147]   [147] In un segnale audio, ad esempio, ci si accorge che c’è aliasing quando è udibile una distorsione (rumore) congiuntamente ai passaggi con maggior contenuto di alte frequenze, vedi ad es.
https://dspillustrations.com/pages/posts/misc/aliasing-and-anti-aliasing-filter.html .
Filtro anti-aliasing
figure f4.5a.png
Il fenomeno dell’aliasing può insorgere, oltre che nel caso in cui si commetta il banale errore di adottare fc < 2W, anche a causa di una imperfetta limitazione in banda del segnale da campionare, che infatti viene sempre preventiva- mente filtrato, in modo da assicurarsi che non contenga componenti a frequenze maggiori della metà di quella di campionamento.

4.1.2 Ortogonalità delle funzioni sinc

Si può dimostrare [148]   [148] Applicando il teorema di Parseval (§ 3.2) e la proprietà di traslazione temporale, la (10.69) diviene
  ∫∞−∞Tc rectfc(f)e −j2πfkTc Tc rectfc(f)e + j2πfhTcdf = (Tc)2 ∫fc⁄2 − fc⁄2e −j2πfk − hfcdf 
in cui l’esponenziale complesso sotto integrale compie un numero intero di oscillazioni a media nulla per f ∈ [ − fc⁄2, fc⁄2] se k ≠ h, e dunque in tal caso l’integrale è nullo; al contrario, l’esponenziale vale 1 se k = h, ed il suo integrale definito vale fc, determinando il risultato mostrato, in cui δ(h, k) è il simbolo di Kronecker, che vale uno quando h = k e zero altrimenti.
che le funzioni sinc costituiscono una base di rappresentazione ortogonale per segnali limitati in banda, in quanto
(10.69) ∞⌠⌡ −∞ sinc(fc(t − kTc)) sinc(fc(t − hTc))dt = Tc ⋅ δ(h, k) = ⎧⎨⎩ 0  se h ≠ k    Tc se h = k
Pertanto sussiste un equivalente del teorema di Parseval (2.3), ed il valore dell’energia di un segnale limitato in banda è calcolabile a partire dai suoi campioni, e vale
Ex  =  ∞⌠⌡ −∞x(t)x*(t)dt =  ⎲⎳k  ⎲⎳h xkx * h ∞⌠⌡ −∞ sinc(fc(t − kTc)) sinc(fc(t − hTc))dt  =   ⎲⎳k  ⎲⎳h xkx * h Tc δ(h, k) = Tc  ⎲⎳k |xk|2
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