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4.4  Trasformata di Fourier di sequenze

Avendo illustrato come sia sufficiente la conoscenza dei soli campioni temporali xn = x(nTc) per descrivere completamente un segnale tempo continuo e limitato in banda x(t), e come alla sequenza tempo-discreta dei suoi campioni xn corrisponda una periodizzazione in frequenza X(f), notiamo come ciò sia in qualche modo speculare alla proprietà dei segnali periodici nel tempo, che possiedono una rappresentazione equivalente nel dominio della frequenza, costituita dalla sequenza dei coefficienti Xn noti come serie di Fourier. L’analogia è più stringente di quanto non possa apparire, dato che è assolutamente lecito ed esatto usare l’espressione della serie di Fourier (10.7) nella direzione opposta[169]  [169]  A prima vista può sembrare ardito accettare che i coefficienti di Fourier (10.74) siano pari ai campioni di segnale xn, ma se proviamo a calcolare
X(f) = F {x(t)} = −∞(n = −∞xnδ(t − nTc))e −j2πftdt = 
 = n = −∞xn −∞e −j2πftδ(t  − nTc)dt = n  = −∞xne −j2πfnTc
otteniamo esattamente la (10.73).
, ossia per ottenere lo spettro periodico di ampiezza X(f) a partire dalla sequenza dei campioni temporali xn:
(10.73) X(f) = n = −∞xn e −j2πfnTc
definendo così una trasformata di Fourier a tempo discreto[170]  [170] Condizione sufficiente per la convergenza della serie (10.73) è che risulti n  = −∞|xn| < ∞, in quanto
|X(f)| = |n = −∞xn e −j2πfnTc| ≤ n  = −∞|xn|
o DTFT, che produce una X(f) periodica in frequenza di periodo fc =  1Tc[171]  [171] Infatti se applichiamo la (10.73) per calcolare X(f  + fc) si ottiene
n = −∞xn e −j2π(f  + fc)nTc = n  = −∞xn e  − j2πfnTce  − j2πfcnTc = X(f)
dato che, essendo fc = 1 Tc , risulta e −j2πfcnTc  = e −j2πn  = 1 per qualsiasi n.
, in cui Tc è il periodo di campionamento con cui sono prelevati i valori xn[172]  [172] Proprio come ai coefficienti della serie di Fourier per segnali periodici, intervallati di F Hz, corrisponde un segnale periodico nel tempo, di periodo T = 1 F .. Alla (10.73) è associata una antitrasformata, in grado di valutare i campioni temporali xn a partire dalla conoscenza di un periodo di X(f), definita come
(10.74) xn = 1fc fc 2 −  fc 2X(f) e j2πfnTcdf
e che è del tutto analoga (a parte il segno) alla (10.6) che calcola i coefficienti della serie di Fourier. Molte delle proprietà già note per la serie e la trasformata di Fourier sono valide anche in questo caso, come ad esempio
Ciò permette di svolgere operazioni sui segnali (come analisi spettrale e filtraggio) senza dover svolgere calcoli analitici (integrali e trasformate), bensì operando direttamente sui campioni di segnale mediante appositi algoritmi di calcolo numerico eseguiti su dispositivi ottimizzati a tale scopo[173]  [173] I chip progettati appositamente per svolgere calcoli di elaborazione numerica del segnale sono detti dsp (Digital Signal Processor), che tipicamente eseguono somme di prodotti; Nel caso di dati multidimensionali, sono invce adottate le GPU nate per scopi di accelerazione grafica, vedi ad es. https://en.wikipedia.org/wiki/Multidimensional_DSP_with_GPU_Acceleration, e quindi effettuare il processo di conversione d/a per riottenere un risultato tempo-continuo, come mostrato in fig. 4.23.
figure elabnum.png
Figure 4.23 Elaborazione numerica di segnale analogico
Resta comunque il fatto che nelle (10.73) e (10.74) compaiono tuttora una somma di infiniti termini ed un integrale di funzione continua, mentre per effettuare le operazioni di elaborazione numerica possono essere usate solo sequenze di durata finita e somme. Per questo motivo affrontiamo la sezione successiva, che illustra come ciò possa essere risolto eseguendo il campionamento anche in frequenza, e limitando i segnali ad una durata limitata.
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