Avendo illustrato come sia sufficiente la conoscenza dei soli campioni temporali x_n = x(nT_c) per descrivere completamente un segnale tempo continuo e limitato in banda x(t), e come alla sequenza tempo-discreta dei suoi campioni x_n corrisponda una periodizzazione in frequenza X^•(f), notiamo come ciò sia in qualche modo speculare alla proprietà dei segnali periodici nel tempo, che possiedono una rappresentazione equivalente nel dominio della frequenza, costituita dalla sequenza dei coefficienti X_n noti come serie di Fourier. L’analogia è più stringente di quanto non possa apparire, dato che è assolutamente lecito ed esatto usare l’espressione della serie di Fourier (10.7) nella direzione opposta [169]   [169]  A prima vista può sembrare ardito accettare che i coefficienti di Fourier (10.74) siano pari ai campioni di segnale x_n, ma se proviamo a calcolare

X^•(f) = F {x^•(t)} = ∫^∞_−∞(∑^∞_{n = −∞}x_nδ(t − nT_c))e^−j2πftdt = 

 = ∑^∞_{n = −∞}x_n ∫^∞_−∞e^−j2πftδ(t  − nT_c)dt = ∑^∞_{n  = −∞}x_ne^−j2πfnT_c

otteniamo esattamente la (10.73).

, ossia per ottenere lo spettro periodico di ampiezza X^•(f) a partire dalla sequenza dei campioni temporali x_n: definendo così una trasformata di Fourier a tempo discreto [170]   [170] Condizione sufficiente per la convergenza della serie (10.73) è che risulti ∑^∞_{n  = −∞}|x_n| < ∞, in quanto

 |X^•(f)| = |∑^∞_{n = −∞}x_n e^−j2πfnT_c| ≤ ∑^∞_{n  = −∞}|x_n| 

o DTFT, che produce una X^•(f) periodica in frequenza di periodo f_c =  1T_c [171]   [171] Infatti se applichiamo la (10.73) per calcolare X^•(f  + f_c) si ottiene

 ∑^∞_{n = −∞}x_n e^{−j2π(f  + f_c)nT_c} = ∑^∞_{n  = −∞}x_n e^{− j2πfnT_c}e^{− j2πf_cnT_c} = X^•(f) 

dato che, essendo f_c = 1 T_c , risulta e^{−j2πf_cnT_c}  = e^−j2πn  = 1 per qualsiasi n.

, in cui T_c è il periodo di campionamento con cui sono prelevati i valori x_n [172]   [172] Proprio come ai coefficienti della serie di Fourier per segnali periodici, intervallati di F Hz, corrisponde un segnale periodico nel tempo, di periodo T = 1 F .. Alla (10.73) è associata una antitrasformata, in grado di valutare i campioni temporali x_n a partire dalla conoscenza di un periodo di X^•(f), definita come e che è del tutto analoga (a parte il segno) alla (10.6) che calcola i coefficienti della serie di Fourier. Molte delle proprietà già note per la serie e la trasformata di Fourier sono valide anche in questo caso, come ad esempio

Ciò permette di svolgere operazioni sui segnali (come analisi spettrale e filtraggio) senza dover svolgere calcoli analitici (integrali e trasformate), bensì operando direttamente sui campioni di segnale mediante appositi algoritmi di calcolo numerico eseguiti su dispositivi ottimizzati a tale scopo [173]   [173] I chip progettati appositamente per svolgere calcoli di elaborazione numerica del segnale sono detti dsp (Digital Signal Processor), che tipicamente eseguono somme di prodotti; Nel caso di dati multidimensionali, sono invce adottate le GPU nate per scopi di accelerazione grafica, vedi ad es. https://en.wikipedia.org/wiki/Multidimensional_DSP_with_GPU_Acceleration, e quindi effettuare il processo di conversione d/a per riottenere un risultato tempo-continuo, come mostrato in fig. 4.23.