La definizione di DFT illustrata al § 4.5 ben si presta a calcolare il risultato relativo ad un integrale di convoluzione, a patto di seguire alcune accortezze.

Dati due segnali x(t) e h(t) limitati in banda tra  − W e W, anche il risultato della convoluzione y(t) = x(t) * h(t) è limitato in banda, ed i suoi campioni y_n = y(nT_c) (con T_c < 1 2W ) possono essere calcolati [187]   [187] Infatti, esprimendo l’integrale di convoluzione x(t) * h(t) nei termini dei campioni di x(t) e h(t) (eq. 10.66), e sfruttando la proprietà di ortogonalità dei segnali sinc(f_c(t − kT_c)) (vedi § 4.1.2), per i campioni dell’uscita possiamo scrivere

y(nT_c)  =  ^∞⌠⌡_−∞x(τ)h(nT_c − τ)dτ =   =  ^∞⌠⌡_−∞[^∞⎲⎳_{k = −∞}x(kT_c) ⋅ sinc(f_c(τ − kT_c))][^∞⎲⎳_{j = −∞}h(jT_c) ⋅ sinc(f_c(nT_c − τ − jT_c))]dτ =   =  ^∞⎲⎳_{k = −∞}^∞⎲⎳_{j = −∞}x(kT_c)h(jT_c)^∞⌠⌡_−∞ sinc(f_c(τ − kT_c)) sinc(f_c(τ − (n − j)T_c))dτ =   =  1f_c ^∞⎲⎳_{k = −∞}x(kT_c)h((n − k)T_c) =  1 f_c ^∞⎲⎳_{k = −∞}x_kh_n − k

in cui alla seconda uguaglianza si è applicata la formula di ricostruzione cardinale x(t) = ∑^∞_{k = −∞}x(kT_c)⋅ sinc(f_c(t − kT_c)) e dunque h(t − τ) = ∑^∞_{j = −∞}h(jT_c)⋅ sinc(f_c(t − τ − jT_c)), quest’ultima valutata per t = nT_c; alla terza uguaglianza si è considerato che sinc(x) è una funzione pari, permettendo di scrivere sinc(f_c((n − j)T_c − τ)) =  sinc(f_c(τ − (n − j)T_c)), ed alla quarta si è applicata la proprietà di ortogonalità tra sinc(f_ct) traslati di multipli di T_c = ¹⁄_fc (vedi § 4.1.2), per cui l’integrale vale T_c = ¹⁄_fc solo quando k = n − j, ovvero j = n − k.

a partire da quelli di x(t) e h(t), come

(10.88) y_n = T_c^∞⎲⎳_{k = −∞}x_kh_n − k

Nel caso in cui le sequenze x_n e h_n abbiano durata finita e pari rispettivamente a N ed M campioni, si otterrà una sequenza y_n di durata pari a N + M − 1 campioni.

Date due sequenze x_n ed h_n di durata finita N, il prodotto Y_m = X_mH_m delle rispettive DFT possiede antitrasformata ỹ_n = IDFT{Y_m} periodica in n di periodo N, e pari a in cui x̃_n e h̃_n sono le sequenze periodiche di periodo N ottenute replicando infinitamente le sequenze originali x_n ed h_n ( [188]   [188] Infatti, ad x_n ed h_n corrispondono le DFT periodiche X̃_m ed H̃_m, che hanno per antitrasformata x̃_n ed h̃_n. Il prodotto X̃_mH̃_m, espresso in termini di x̃_n ed h̃_n, risulta pari a Ỹ_m = X̃_mH̃_m = ∑^N− 1_p = 0∑^N− 1_q = 0x̃_ph̃_q e^{−j2π m N (p + q)}, ed applicando a questo la IDFT (10.78) , otteniamo:

ỹ_n = 1 N ^N− 1⎲⎳_m = 0Ỹ_m e ^{j2π m N n} = 1 N ^N− 1⎲⎳_p = 0^N− 1⎲⎳_q = 0x̃_ph̃_q(^N− 1⎲⎳_m = 0 e ^{j2πm N (n − p − q)})

Dato che ∑^N− 1_m = 0 e ^{j2πm N (n − p − q)} = ⎧⎨⎩ N se q = (n − p) + lN     0  altrimenti , con l intero, risulta allora ỹ_n = ∑^N− 1_p = 0x̃_ph̃_n − p, come espresso dalla (10.89). ). La convoluzione (10.89) è detta circolare perché è possibile immaginare le sequenze x_n ed h_n incollate su due cilindri concentrici, e la somma svolta sui prodotti degli elementi coincidenti. Ogni valore di p corrisponde ad una diversa rotazione relativa (con angolo multiplo di 2π ⁄ N) dei cilindri, ed il campione di h_n che era allineato ad x_N − 1 rientra dall’altro lato, per corrispondere ad x₀.

Sappiamo che la convoluzione produce un risultato di durata pari alla somma delle durate degli operandi; come anticipato, nel caso di due sequenze x_n ed h_n di durata N ed M, il risultato della convoluzione discreta y_n = ∑^N− 1_k = 0x_kh_n − k produce valori non nulli per indici n = 0, 1, …, N + M − 1. Pertanto, per fare in modo che la (10.89) produca lo stesso effetto di una convoluzione discreta, occorre costruire delle sequenze x’_n e h’_n di lunghezza almeno pari ad N + M − 1, ottenute a partire dai valori di x_n ed h_n, a cui si aggiungono M − 1 ed N − 1 valori nulli, rispettivamente. In tal modo, il prodotto X’_mH’_m tra le DFT ad N + M − 1 punti di queste due nuove sequenze può essere antitrasformato, per fornire il risultato corretto.

Due segnali x(t) e h(t) limitati in banda non possono, a rigore, essere limitati nel tempo. Viceversa, una finestra di segnale non può, a rigore, essere rappresentata dai suoi campioni: infatti, l’effetto della convoluzione in frequenza tra la trasformata della finestra (nominalmente illimitata in banda) e lo spettro del segnale, produce una dispersione frequenziale di quest’ultimo.