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4.8 Sottocampionamento

Questo capitolo ha messo fin da subito in chiaro come per poter ricostruire un segnale limitato in banda x(t) a partire dai suoi campioni è necessario che la frequenza di campionamento fc superi il doppio della massima frequenza W contenuta in x(t), ovvero fc ≥ 2W . In realtà, ciò è vero solamente per segnali di banda base. Nel caso di segnali limitati in banda e centrati attorno ad una frequenza f0 detti segnali modulati (cap. 11), la cui massima frequenza è f0 + W, la ricostruzione è possibile purché si scelga 2W ≤ fc < f0k con k intero, nel senso che in tal caso il segnale con spettro periodico in frequenza X(f) che si viene a creare non presenta aliasing, e quello di partenza può essere recuperato mediante una operazione di filtraggio passa banda.
Per illustrare ciò che accade, facciamo riferimento alla figura che segue. Partiamo da un segnale x(t) limitato in banda, e consideriamo un secondo segnale con spettro Y(f) = X+(f) + X(f) in cui X(f) si è scisso in due parti, quella a frequenze positive ed a frequenze negative, centrate rispettivamente ad f0 e  − f0.[190]  [190]  In effetti, questo è ciò che succede nel caso di modulazione in banda laterale unica o blu, vedi § 12.1.2
figure f.undersampling.png
Anche se in teoria dovremmo campionare y(t) a frequenza almeno pari a 2(f0 + W), scegliamo di adottare fc = f02. Sappiamo che il risultato sarà un segnale con spettro periodico
Y(f) = n Y(f − nfc)
e dunque disegniamo le repliche di Y(f) traslate in ± nfc, per poi all’ultima riga sovrapporle tra loro e verificare il risultato. Osserviamo allora che non solo gli spettri X+(f) e X(f) sono ancora al loro posto e possono essere recuperati mediante un filtraggio passa banda, ma addirittura si è ricomposto anche il segnale x(t) di banda base, estraibile da Y(f) mediante filtraggio passabasso, da realizzare ovviamente per via numerica, avendo già a disposizione i campioni.
Ci si può ora chiedere se il trucco funzioni solo per segnali blu. La risposta è no, funziona anche per segnali a modulazione con banda laterale doppia, come ad esempio y(t) = x(t)cosω0t, a cui corrisponde Y(f) = 12 [X(f + f0) + X(f − f0)]. Scegliendo fc = f0k otteniamo
Y(f)  = n Y f − n f0k = 12 n X f − n f0k + f0 + n Xf − n f0k − f0 =   = 12 n Xf − nk − 1f0 + n Xf − nk + 1f0 =   = 12 n Xf − (n − k)f0k + n Xf − (n + k)f0k =   = 12 m Xf − m f0k + m Xf − m f0k = m Xf − m f0k
ovvero lo stesso risultato a cui saremmo pervenuti campionando direttamente il segnale x(t) di banda base di partenza.
Quanto esposto costituisce di fatto una strada alternativa per demodulare (sia in forma omodina che eterodina) un segnale modulato e passare alla sua rappresentazione digitale in un colpo solo, secondo un approccio chiamato software defined radio [191]  [191] Vedi ad es. https://en.wikipedia.org/wiki/Software-defined_radioin cui tutta l’elaborazione del segnale avviene in forma numerica. Oltre ad avere ovvia applicazione nella tecnologia dei nostri attuali telefonini e schede WiFi, il sottocampionamento di segnali radio è uno degli avanzamenti tecnologici che contribuiscono alla progettazione della telefonia 5g, in cui i segnali radio ricevuti dalle base station collegate alle antenne collocate sopra palazzi e torri, anziché essere elaborati in loco, vengono subito campionati e spediti su fibra ottica presso il data center più vicino, dove ciò che una volta era una centrale telefonica si è trasformato un centro di elaborazione dati.
Vi sono alcune accortezze di cui tenere conto:
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