Affrontiamo [226]   [226] Senza pretesa di rigore e completezza, essendo questi argomenti trattati anche in diversi altri corsi. ora il tema di come passare dai concetti esposti al § 5.2 agli schemi di calcolo da adottare nel caso di una implementazione completamente numerica, associata all’elaborazione di dati campionati. Come descritto al § 5.2.2, i campioni y_k del risultato di una convoluzione y(t) = x(t) * h(t) tra segnali limitati in banda x(t) e h(t) si ottengono mediante la convoluzione discreta (10.98) equivalente a campionare l’uscita y(t) di un filtro trasversale con coefficienti c_n = T ⋅ h_n proporzionali ai campioni h_n della risposta impulsiva h(t) del filtro analogico di partenza. Anziché campionare l’uscita del filtro digitale, l’operazione di filtraggio viene implementata per via hw o sw in modo da eseguire direttamente la convoluzione discreta y_k = ∑^N_n = 0 h_nx_k − n, come ad es. svolto dal codice Octave mostrato sopra. Notiamo esplicitamente che nel filtraggio numerico viene omesso il fattore T = ¹⁄_fc, che è inserito autonomamente dal filtro di restituzione (eq. (10.68)) nel momento del passaggio da numerico ad analogico.

Acquisiamo innanzitutto due metodi per ricavare un insieme finito di coefficienti h_n per il filtro numerico, a partire dalla descrizione analogica del comportamento desiderato in termini di h(t) o di H(f).

In questo approccio i valori di h_n si ottengono campionando una versione finestrata h_w(t) = h(t) ⋅ w(t) della h(t) desiderata, e quindi ritardando gli stessi al fine di ottenere un filtro causale, come discusso all’esempio di pag. 1. Come noto dal § 3.8.4, l’operazione di finestratura produce una risposta in frequenza per il filtro sintetizzato pari a H_w(f) = H(f) * W(f), e dunque va posta particolare attenzione nella scelta della funzione finestra w(t).

E’ una tecnica iterativa [227]   [227] Vedi https://en.wikipedia.org/wiki/Parks-McClellan_filter_design_algorithm volta a rendere minimo il massimo errore di approssimazione tra l’andamento desiderato per |H(f)|, espresso nella forma di uno schema di tolleranza (vedi pag. 1), e l’andamento ottenibile esprimendo |H(f)| come una combinazione di polinomi di Chebyshev [228]   [228] Vedi http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/courses/DSPDF/00700_OptimalFIR.pdf . Il risultato è una Ĥ(f) che presenta oscillazioni ridotte ma a tutte le frequenze [229]   [229] Il filtro risultante è detto per questo equiripple., mentre i coefficienti h_n si ottengono mediante dft inversa (§ 4.5) della sequenza H_n ottenuta campionando Ĥ(f).

Al § 4.5.1 abbiamo già discusso come una sequenza di campioni x_n =  x(t)|_t = nT di un segnale limitato in banda W = 12T possa essere descritta dalla sua trasformata zeta

e come calcolando quest’ultima per z = e ^jω si ottenga una rappresentazione spettrale di {x_n} che corrisponde alla periodizzazione della X(f) = F {x(t)}, in cui l’intervallo di frequenze  − ^f_c⁄₂ < f < ^f_c⁄₂ si mappa in quello  − π < ω < π, ovvero f = ω2πT.

Affrontiamo la descrizione di un filtro fir mediante la trasformata zeta rifacendoci dapprima al caso del filtro del primo ordine (§ 5.2.3) descritto da una h(t) = δ(t) + αδ(t − T), e consideriamo al suo ingresso una sequenza impulsiva δ_n = ⎧⎨⎩ 1    n = 0     0 n ≠ 0 al posto dell’impulso di Dirac δ(t). Il filtro è ora caratterizzato nei termini della sequenza di risposta all’impulso h_n = δ_n + αδ_n − 1 la cui trasformata zeta risulta [231]   [231] E’ sufficiente applicare la definizione H(z) = ∑^∞_{n = −∞}h_n z^− n = ∑^∞_{n = −∞}(δ_n + αδ_n − 1)  z^− n = 1 + αz⁻¹, dato che Z{δ_n} = 1 e che un ritardo di m indici ha trasformata

Z{x_n − m} = ∑^∞_{n = −∞}x_n − m z^− n = ∑^∞_{k = −∞}x_k z^{− k − m} = z^−m∑^∞_{k = −∞}x_k z^− k = z^−mX(z)

(si è posto n − m = k). In particolare, un ritardo unitario corrisponde al prodotto per z⁻¹ della sequenza trasformata, e dunque Z{δ_n − 1} = z⁻¹.

Allo schema computazionale di pag. 1 si affianca quindi quello algoritmico mostrato a lato, in cui il blocco z⁻¹ rappresenta il ritardo di un campione, mentre il prodotto per α è ora raffigurato come una etichetta posta sull’arco da cui passa la sequenza in transito, cosicché possiamo scrivere ossia la (10.104) applicata alla (10.103). Estendendo ora la trattazione ad un generico filtro fir di ordine N descritto da una h_n = ∑^N_k = 0a_kδ_n − k otteniamo in cui gli N valori c_n rappresentano gli zeri [232]   [232] Si dicono zeri di un polinomio P(z) = ∑^N_k = 0β_kz^k di grado N le radici z = c_n (n = 1, 2, ⋯, N) dell’equazione P(z) = 0. La (10.105) può essere riscritta come H(z) = z^−N∑^N_k = 0a_kz^N − k = ∑^N_k = 0a_kz^N − k z^N e dunque si azzera per N(z) = ∑^N_k = 0a_kz^N − k = 0, che è un polinomio a potenze positive. Una volta trovate le sue radici c_n possiamo scrivere N(z) = a₀∏^N_n = 1(z − c_n) o equivalentemente H(z) = N(z)z^N  = a₀∏^N_n = 1(1 − c_nz⁻¹). (reali, od in coppie complesse coniugate) di H(z).

Partendo anche questa volta dal caso del primo ordine (§ 5.2.4) notiamo che campionando l’uscita si osserva la sequenza y_n = x_n + αy_n − 1 da cui, trasformando ambo i membri, si ottiene Y(z) = X(z) + αz^− 1Y(z) ovvero Y(z)(1 − αz^− 1) = X(z) e dunque con un polo [234]   [234] Ossia una radice del denominatore D(z) di H(z), che scritta come H(z) = zz − α vale D(z) = z − α, e si azzera in z = α. in z = α. Ad un generico filtro iir di ordine N corrisponde una in cui (a_k, b_k) sono i coefficienti di numeratore e denominatore [235]   [235] Il rapporto tra polinomi viene normalizzato in modo da far risultare b₀ = 1., e (c_n, d_n) le rispettive radici. Mentre il numeratore di (10.106) esprime la componente fir, la presenza del denominatore che conferisce alla H(z) poli diversi da z = 0 determina la componente con risposta infinita. Scrivendo infatti (10.106) come rapporto tra polinomi H(z) = A(z)B(z) la relazione Y(z) = H(z)X(z) diviene Y(z)B(z) = X(z)A(z) che, antitrasformata [236]   [236] I passaggi iniziano con lo scrivere Y(z)(1 − ∑^N_k = 1b_kz^−k) = X(z)∑^M_k = 0a_kz^−k ovvero Y(z) − ∑^N_k = 1b_kz^−kY(z) = ∑^M_k = 0a_kz^−kX(z); dato ora che Z^− 1{z^−kX(z)} = x_n − k, si arriva al risultato mostrato., dà origine all’equazione alle differenze finite y_n − ∑^N_k = 1b_ky_n − k = ∑^M_k = 0a_kx_n − k ovvero

I poli del denominatore della (10.106) devono giacere tutti all’interno del cerchio unitario |z| < 1 pena l’instabilità del filtro, sebbene siano ammessi poli con modulo unitario qualora posti in corrispondenza di uno zero, in modo da cancellarne l’effetto.

La precedente considerazione rende evidente il problema legato alla realizzazione del filtro mediante operazioni a precisione finita: l’effetto di quantizzazione subìto dai coefficienti porta a variazioni delle posizioni di poli e zeri che possono determinare effetti indesiderati. Anche per questo motivo esistono architetture alternative [237]   [237] Vedi ad es. http://raffaeleparisi.site.uniroma1.it/didattica/circuiti-a-tempo-discreto/dispense-di-circuiti-a-tempo-discreto, capitolo 8. Alcune architetture si dimostrano (a parità di precisione) migliori di altre nel definire la posizione di zeri e poli nel piano z. a quella canonica, legate a modi di diversi di scrivere la (10.106) come ad esempio nel prodotto di fattori, che dà luogo ad una architettura di celle in cascata.

Mentre per i filtri fir esiste la possibilità di ottenere una fase lineare (vedi pag. 1) e dunque non distorcente, per i filtri iir questo non è possibile; d’altra parte i secondi permettono di ottenere una buona rapidità di variazione della risposta in frequenza pur mantenendo basso l’ordine, e dunque il carico computazionale.

Il progetto di filtri analogici si basa su metodi consolidati ed efficienti (§ 5.1), che danno luogo ad una rappresentazione nella variabile s del tipo della (10.90) [238]   [238] Per ridurre le possibilità di confusione, adottiamo il pedice _a per riferirci al mondo analogico. a cui corrisponde una risposta impulsiva h_a(t), ed una equazione differenziale A partire da queste grandezze sono stati individuati metodi che consentono di definire un filtro numerico più o meno equivalente [239]   [239] Nel senso che alimentando il filtro numerico con i campioni di un segnale si ottiene circa lo stesso risultato che campionando l’uscita del filtro analogico di partenza. ad uno analogico, alcuni dei quali illustriamo appresso.

Questo approccio ottiene i campioni h_n per il filtro numerico come h_n = h_a(nT), ovvero campionando h_a(t) = F ⁻¹{H_a(f)}. Qualora H_a(s) abbia N poli in s = d_k, per essa sussiste le sviluppo in frazioni parziali [240]   [240] Vedi ad es. https://it.wikipedia.org/wiki/Decomposizione_in_fratti_semplici H_a(s) = ∑^N_k = 1 A_k s − d_k , a cui corrisponde una h_a(t) = ∑^N_k = 1 A_k e^d_kt e dunque una la cui trasformata zeta vale [241]   [241] Vedi esempio a pag. 1 ovvero con poli in z = e^d_kT = e^sT|_s = dk ( [242]   [242] Infatti con alcuni passaggi

H(z) = ∑^N_k = 1 A_k 1 − e^d_kTz⁻¹  = ∑^N_k = 1zA_k z − e^d_kT

può essere riscritta come

H(z) = k ∏^M_n = 1(z − c_n)∏^N_n = 1(z − e^d_nT)

in cui però gli zeri c_n vanno calcolati.

). L’ultima osservazione comporta l’aver fatto uso della trasformazione [243]   [243] Seppur limitata alla sola corrispondenza per la posizione dei poli, in quanto gli zeri di H(s) non si mappano nel piano z allo stesso modo di come fanno i poli, vedi nota precedente. z = e^sT, che garantisce il mantenimento della stabilità [244]   [244] Infatti scrivendo s come s = σ + jΩ si ottiene z = e^sT = e^σTe ^jΩT, e dunque i poli d_k = σ_k + jΩ_k di H_a(s) che giacciono nel semipiano negativo del piano s, ovvero con σ_k < 0, vengono mappati all’interno del cerchio unitario nel piano z, in quanto ad essi corrispondono poli per H(z) in z = z_k = e^σ_kTe ^jΩ_kT, per i quali |z_k| = e^σ_kT < 1..

In questo metodo la relazione z = e^sT si estende [245]   [245] Vedi https://en.wikipedia.org/wiki/Matched_Z-transform_method. Che ci sia qualcosa di sensato nello scrivere z = e^sT è motivato anche dal fatto che applicando la definizione di trasformata di Laplace ad h_a(t) otteniamo

H_a(s) = L{h_a(t)} = ∫^∞_−∞h_a(t)e^− stdt = ∫^∞_−∞[∑^∞_n = 0h_nδ(t − nT)]e^− stdt = 

 = ∑^∞_n = 0h_n ∫^∞_−∞δ(t − nT)e^− stdt = ∑^∞_n = 0h_ne^− snT

e, dato che H(z) = ∑^∞_{n = −∞}h_n z^− n, ne discende che H_a(s) =  H(z)|_z = e^sT.

anche alla trasformazione degli zeri di H_a(s) in quelli di H(z): in pratica, dopo essere arrivati alla forma fattorizzata ogni zero c_n (o polo d_n) si trasforma in e^c_nT (o e^d_nT) dando luogo a Sono mantenute le stesse corrispondenze tra piano s e piano z del § 5.3.3.1, così come la possibilità di aliasing. D’altra parte, i valori della risposta impulsiva h_n non corrispondono più ai campioni di h(t).

Qui si parte dalle equazioni differenziali (10.108) che sono a monte della H(s), e che vengono approssimate come equazioni alle differenze finite (10.107). Ciò porta alla equivalenza che permette di ottenere la H(z) a partire dalla H(s) mediante un cambio di variabile, e che dà luogo alla corrispondenza mostrata al centro di tab. 5.1, in cui i punti dell’intero semipiano negativo del dominio s si mappano in punti interni alla circonferenza nel piano z di raggio 0.5 e centrata in z = 0.5. Pertanto ora sono evitati i problemi legati all’aliasing, ma la presenza dei poli solo nel semipiano destro del piano z impedisce l’uso del metodo per la progettazione di filtri passa-alto.

Anche quest’ultimo metodo, detto di Tustin, trae origine dalla approssimazione numerica di una equazione differenziale, ma può essere anche visto come una approssimazione di primo ordine [246]   [246] https://en.wikipedia.org/wiki/Bilinear_transform della relazione z = e^sT analizzata in precedenza. Il metodo di Tustin si basa sul cambio di variabile che corrisponde a mappare l’intero semipiano destro del piano s all’interno della circonferenza di raggio unitario del piano z, come mostrato alla destra di tab. 5.1.