Con questo termine si indica un tipo di elaborazione numerica che comporta la variazione per un rapporto intero della frequenza di campionamento [248]   [248] Un buon approfondimento si può trovare in Multirate Digital Filters, Filter Banks, Polyphase Networks, and Applications: A Tutorial, 1990, di P.P.Vaidyanathan, reperibile presso
https://authors.library.caltech.edu/6798/1/VAIprocieee90.pdf. La circostanza in cui abbiamo incontrato questa stranezza è stata la discussione degli aspetti realizzativi del teorema del campionamento, più precisamente in relazione alle operazioni di decimazione (§ 4.2.1) ed interpolazione (§ 4.2.3), in cui un filtro numerico che approssima quanto più possibile un passa-basso ideale con risposta in frequenza H(f) ≃ rect_2W(f) con W pari alla massima frequenza del segnale viene rispettivamente anteposto o posto a valle di un elemento che rimuove od aggiunge elementi alla sequenza numerica in transito. Analizziamo ora come la realizzazione di tale filtro possa essere semplificata in modo che funzioni alla minima frequenza possibile.

Riprendiamo quanto discusso al § 4.2.1, in cui una sequenza x_n è ottenuta sovracampionando alla frequenza f_c = 2LW un segnale x(t) di cui si desidera limitare la banda in ± W, ma che ne occupa una pari a ± LW a causa di un filtro analogico antialiasing che per mantenere una fase lineare deve possedere una ampia regione di transizione. La sequenza x_n viene limitata nella banda ± W = ±f_c 2L mediante un filtro numerico ideale H(ω) = rect_^2π⁄L, che produce un nuova sequenza y_n alla stessa velocità, vedi figura a lato. I valori y_n attraversano quindi un decimatore con rapporto L:1 che produce una sequenza z^d_m tale che z^d_m = y_n = Lm, saltando cioè L − 1 valori ogni L, come mostrato alla figura seguente per L = 3.

Consideriamo per primo il caso in cui la decimazione dimezzi f_c , ovvero L = 2. La f.d.t. H(z) = ∑^∞_{n = −∞}h_nz⁻ⁿ del filtro descritto dai coefficienti h_n può allora essere riscritta come in cui sono rispettivamente le f.d.t dei filtri con coefficienti e⁰_n = h_2n (indici pari di h_n) e e¹_n = h_2n + 1 (indici dispari), chiamate congiuntamente decomposizione bifase del filtro. Tale decomposizione è valida sia per filtri fir che iir, ma attualmente siamo interessati al primo caso, per il quale la fig. 5.22 fornisce un esempio dello schema di calcolo.

Al § 4.2.3 abbiamo discusso come, allo scopo di distanziare le repliche del segnale campionato (fig. 4.8), sia opportuno innalzare la frequenza di campionamento f_c di un fattore K ovvero f’_c = Kf_c, e qualora K sia sufficientemente elevato, ottenere anche il vantaggio (§ 4.2.4) di ridurre la distorsione lineare legata ad un convertitore d/a che adotta un s&h con impulso rettangolare.

La trasformata zeta della sequenza interpolata y_m risulta

in cui, essendo y_m = x_^m⁄K se m = Kn e zero altrimenti, al terzo termine la sommatoria è valutata per m = ⋯,  − 2K,  − K, 0, K, 2K, ⋯, da cui il cambio di variabile.

Il termine originale inglese è cascaded integrator-comb o filtro di Hogenauer (dal nome del suo ideatore) o brevemente filtro cic, e trova impiego negli stadi di decimazione ed interpolazione numerica, permettendo di semplificare ulteriormente la realizzazione circuitale in quanto risulta privo di moltiplicatori, e consentendo la programmabilità del rapporto di variazione della frequenza di campionamento; il suo uso è particolarmente vantaggioso nel caso di tassi di variazione elevati.

Questo componente (detto anche accumulatore) implementa l’equazione alle differenze da cui Y(z) = z⁻¹ Y(z) + X(z) ed è quindi descritto da una funzione di trasferimento a cui corrisponde il guadagno di potenza [252]   [252] Essendo H(ω) =  H(z)|_{z =  e ^jω} = 1 1 −   e^−jω  =  1 1 − cosω + jsinω , si ha
|H(ω)|² =  1 (1 − cosω)² + (sinω)²  =  1 1 − 2cosω + cos²ω + sin²ω  =  1 2 − 2cosω + 1  =  1 2(1 − cosω) (pag. 1) |H_I(ω)|² =  1 2(1 − cosω) mostrato in figura: si comporta pertanto come un passa basso, presentando guadagno infinito per ω = 0.

Come sarà chiaro tra breve, per ottenere un tasso di decimazione (od interpolazione) L occorre impostare una equazione alle differenze y_n = x_n − x_n−L a cui corrisponde una f.d.t. ed un guadagno di potenza |H_C(ω)|² = 2(1 − cosLω) di cui alla figura a lato viene mostrato l’andamento per L = 1 ed L = 3, coerentemente con quanto ottenuto a pag. 1.

Concatenando i due filtri in cascata si realizza una funzione di trasferimento in cui il polo in z = 0 dell’integratore viene cancellato dallo zero del comb nella medesima posizione, producendo un guadagno di potenza |H_IC(ω)|² =  1 − cosLω 1 − cosω mostrato in figura per L = 3, dimostrandosi un passa basso, con zeri alle frequenze f_i = i ⋅ f_c L con i = 1, ⋯, L − 1.

Ricordando nuovamente l’uguaglianza ∑^N− 1_n = 0 aⁿ = 1 − a^N 1 − a si ottiene che la (10.110) può essere riscritta come ossia (a meno del coefficiente ¹⁄_L) la f.d.t. di un filtro a media mobile (pag. 1) con risposta impulsiva h_n = ∑^L− 1_k = 0 δ_n − k, in quanto tale a fase lineare, e con gli stessi zeri. Evidentemente l’architettura del filtro i&c, mostrata a lato, costituisce una implementazione particolarmente efficiente [253]   [253] Vedi ad es. https://en.wikipedia.org/wiki/Cascaded_integrator-comb_filter di un filtro a media mobile.

L’attenuazione della banda soppressa ovvero delle frequenze per cui |f| > f_c L ossia |ω| > π L viene largamente migliorata qualora si pongano N celle i&c in cascata, in modo da realizzare un filtro con f.d.t.

e dunque con guadagno di potenza

Approfondiamo ora come quanto esposto si integri con la teoria discussa al § 5.4.1. La fig. 5.32 mostra uno schema di decimazione L:1 realizzato mediante filtro cic, che rientrando nel criterio di applicazione della prima nobile identità permette di posizionare il decimatore a monte degli elementi comb come mostrato alla seconda riga, consentendo a questi di operare alla velocità minima. Osserviamo quindi come in questa configurazione gli elementi di ritardo risultino indipendenti dal rapporto di decimazione L, e dunque lo stesso schema può essere riutilizzato modificando unicamente l’elemento decimatore vero e proprio.

A fronte dei vantaggi discussi, l’uso di un filtro cic presenta risvolti che richiedono una attenta progettazione. Infatti la risposta in frequenza pre-decimazione |H_CIC(ω)| = | L sin(^ωL⁄₂) sin(^ω⁄₂) |^N (vedi pag. 1 per la sua derivazione) risulta essere tutt’altro che piatta nella banda passante corrispondente ad una pulsazione |ω| = π L (o inferiore), e dunque deve essere compensata mediante uno stadio di equalizzazione realizzato con un ulteriore filtro fir (per mantenere la linearità di fase) di ordine elevato, e che opera alla velocità decimata a valle dei comb, con l’effetto mostrato in fig. 5.33-a).

Un ultimo aspetto notevole è che l’elaborazione del filtro cic deve essere svolta con operazioni in virgola fissa senza segno, dato che in tal modo è garantita la cancellazione del polo dell’integratore con lo zero del comb. Non solo, occorre anche tenere conto che la dinamica del segnale aumenta sensibilmente con il numero di stadi posti in cascata, e dunque il numero di bit dei registri di calcolo deve essere dimensionato adeguatamente. Per approfondire il tema, si possono consultare i riferimenti riportati in nota [254]   [254] https://www.dsprelated.com/showarticle/1337.php, https://dspguru.com/files/cic.pdf, http://www.tsdconseil.fr/log/scriptscilab/cic/cic-en.pdf, https://www.intel.com/content/dam/www/programmable/us/en/pdfs/literature/an/an455.pdf.

Il filtro cic può svolgere altrettanto bene la funzione del filtro passabasso utilizzato in uno schema di interpolazione numerica (§ 5.4.2). In questo caso il cic è nominalmente posto a valle dell’interpolatore numerico, ma scambiando tra loro di posto gli stadi comb con quelli di integrazione, è possibile applicare la seconda nobile identità per pervenire anche in questo caso ad una architettura dalla complessità computazionale minima, come mostrato alla figura precedente in cui per semplicità si è limitato ad uno il numero di stadi i&c.