Finora si è parlato di eventi in modo astratto, mentre spesso ci si trova ad associare ad ogni punto dello spazio campione un valore numerico: lo spazio campione Ω diventa allora l’insieme dei numeri e prende il nome di variabile aleatoria, d’ora in poi spesso abbreviato in v.a. Il verificarsi di un evento corrisponde ora all’assegnazione di un valore (tra i possibili) alla v.a.; tale valore “prescelto” prende dunque il nome di realizzazione della v.a. Distinguiamo poi tra variabili aleatorie discrete e continue, a seconda se la grandezza che descrivono abbia valori numerabili o continui [263]   [263] Un esempio classico di v.a. discreta è quello del lancio di un dado, un altro sono i numeri del lotto. Una v.a. continua può essere ad esempio un valore di pressione atmosferica in un luogo, oppure l’attenuazione di una trasmissione radio dovuta a fenomeni atmosferici.. La caratterizzazione della variabile aleatoria in termini probabilistici si ottiene indicando come la “massa di probabilità” si distribuisce sull’insieme di valori che essa può assumere, per mezzo delle due funzioni (di v.a.) seguenti.

Come la massa di un oggetto non omogeneo è distribuita in modo più o meno denso in regioni differenti del suo volume complessivo, così la densità di probabilità (o d.d.p.) indica su quali valori della variabile aleatoria si concentra la probabilità. Ad esempio, la densità della v.a. discreta associata al lancio di un dado può essere scritta: il cui significato discutiamo subito, con l’aiuto del grafico a lato, in cui D indica la v.a. (il numero che uscirà), e x una sua realizzazione (una delle 6 facce). I 6 impulsi centrati in x = n rappresentano una concentrazione di probabilità nei sei possibili valori, e l’area di tali impulsi è esattamente pari alla probabilità di ognuno dei sei risultati. E’ facile verificare che ovvero pari alla probabilità che la v.a. D assuma un valore tra a e b. In particolare, non potendosi verificare una probabilità negativa, si ha p_D(x) ≥ 0 con ∀x.

Qualora non si disponga di una espressione analitica idonea a rappresentare il modo con cui si distribuiscono i valori di una v.a., può essere utile svolgerne una stima mediante un istogramma. Questo assume l’aspetto di una versione per così dire quantizzata della d.d.p. incognita, e si ottiene a partire da una serie di realizzazioni [267]   [267] Ricavate ad esempio da basi di dati anagrafici, sanitari, meteorologici o quant’altro, oppure effettuando una apposita campagna di misura basata su di un campione statistico di adeguata numerosità (vedi anche § 6.6). della v.a., suddividendo il campo di variabilità della grandezza X in sotto-intervalli, e disegnandovi rettangoli verticali, ognuno di altezza pari al numero di volte che (nell’ambito del campione statistico a disposizione) X assume un valore in quell’intervallo, come rappresentato in figura.

Si tratta di grandezze per così dire riassuntive del modo con cui si distribuiscono i valori di una v.a., e sono definite a partire da una generica funzione di variabile aleatoria [268]   [268] Un esempio di funzione di v.a. potrebbe essere il valore della vincita associata ai 13 in schedina, che dipende dalla v.a. rappresentata dai risultati delle partite, una volta noto il montepremi e le giocate. Infatti, per ogni possibile vettore di risultati, si determina un diverso numero di giocate vincenti, e quindi un diverso modo di suddividere il montepremi. Essendo i risultati improbabili giocati da un ridotto numero di schedine, a queste compete un valore maggiore in caso di vincita, ben superiore al suo valore atteso, indicativo invece della vincita media. che indichiamo con g(x).

Si definisce valore atteso (o media di insieme [269]   [269] Per insieme ci si riferisce allo spazio campione Ω, costituito dai possibili valori assunti dalla v.a. X. ) di g(x) rispetto alla variabile aleatoria X la quantità che corrisponde ad una media pesata, in cui i valori assunti da g(x) in corrispondenza ad un certo x sono pesati mediante il corrispettivo valore di probabilità p_X(x)dx; tale operazione di media integrale è indicata con la notazione E_X{.} [270]   [270] In effetti, la E simboleggia la parola Expectation, che è il termine inglese usato per indicare il valore atteso. , mediante la quale si indica a pedice la v.a. (X) rispetto a cui eseguire la pesatura.

Qualora si ponga g(x) = xⁿ, ovvero pari alla n-esima potenza della v.a., il valore atteso prende il nome di momento di ordine n, e si indica come Nel caso di variabili aleatorie discrete, i momenti sono definiti come m⁽ⁿ⁾_X = ∑_i xⁿ_ip_i, in cui p_i = Pr{x = x_i}, pesando quindi le possibili realizzazioni x_i con le rispettive probabilità. Notiamo subito che m⁽⁰⁾_X = ∫^∞_−∞p_X(x)dx = 1. Ragioniamo ora su due importanti momenti.

Il momento di primo ordine prende il nome di valor medio della v.a., a volte denominato centroide, e coincide con la media aritmetica ottenibile a partire dalla conoscenza delle realizzazioni della v.a. ottenute ripetendo all’infinito l’esperimento aleatorio. Viceversa il momento di secondo ordine viene indicato come media quadratica.

Nel caso in cui g(x) = (x − m_X)ⁿ il relativo valore atteso è chiamato momento centrato di ordine n, ed indicato come E’ immediato constatare che μ⁽⁰⁾_X = 1 e che μ⁽¹⁾_X = 0.

E’ il nome dato al momento centrato del 2^o ordine, corrispondente a

E’ caratterizzata dal presentare uno stesso valore di probabilità per tutto l’intervallo delle possibili realizzazioni, comprese tra un valore minimo ed uno massimo, come rappresentato in figura; pertanto la densità di probabilità è esprimibile mediante una funzione rettangolare in cui Δ rappresenta l’estensione dell’intervallo di esistenza della variabile aleatoria, mentre il parametro m_X, che indica l’ascissa a cui è centrato il rettangolo, corrisponde esattamente al momento di primo ordine di X. Il calcolo della varianza [272]   [272] Anziché calcolare σ²_X per la p_X(x) data, calcoliamo m⁽²⁾_X per una v.a. uniforme a media nulla, ovvero con m_X = 0, sfruttando il fatto che in base alla (10.119) in tal caso risulta m⁽²⁾_X = σ²_X. Si ottiene:

m⁽²⁾_X = ∫^Δ2_− Δ2 x² 1 Δ dx =  x³ 3Δ || ^{Δ 2} _− Δ2 = 1 3Δ ⎛⎝Δ³ 8  +  Δ³ 8 ⎞⎠ = 1 3Δ 2 Δ³ 8  =  Δ² 12  

invece fornisce: σ²_X = Δ²12.

A differenza del caso uniforme, la v.a. gaussiana presenta valori più probabili in prossimità del valor medio m_x, in accordo alla d.d.p. con espressione ed il cui grafico dalla caratteristica forma a campana è mostrato a lato per diversi valori dei parametri m_x e σ_x che compaiono nella (10.120), pari rispettivamente a media e deviazione standard della v.a. (vedi § 6.7.1), e che descrivono completamente la d.d.p. dal punto di vista analitico: pertanto la stima di m_x e σ_x (a partire da un buon numero di realizzazioni [273]   [273] Disponendo di un insieme {x_n} di N realizzazioni di una variabile aleatoria X, possiamo effettuare le stime ^m_x = 1 N ∑^N_n = 1x_n e ^m⁽²⁾_x =  1 N ∑^N_n = 1x²_n, il cui valore tende asintoticamente a quello delle rispettive medie di insieme, come N (la dimensione del campione statistico) tende a ∞. Al proposito, vedi § 6.6.3.1.) è sufficiente per descrivere completamente il fenomeno aleatorio. La v.a. gaussiana emerge in molti fenomeni naturali, ed è dimostrabile analiticamente che la sua densità è tipica [274]   [274] Tanto che la (10.120) è anche detta Normale, e per questo è indicata anche come N(m, σ²). per grandezze ottenute dalla somma di un numero molto elevato di cause aleatorie, tutte statisticamente indipendenti e con la medesima d.d.p. [275]   [275] Questa condizione è anche detta di v.a. indipendenti e identicamente distribuite, ovvero i.i.d. (teorema centrale del limite  [276]   [276] Il teorema viene dimostrato al§ 6.7.2, ma può essere divertente ed utile sperimentarne la validità ricorrendo alla applet presente presso
http://www.randomservices.org/random/apps/DiceExperiment.html
Inoltre, considerando che al § 6.2.5 si mostra come la d.d.p. di una somma di v.a. indipendenti sia pari alla convoluzione tra le rispettive d.d.p., osserviamo che la convoluzione ripetuta di una stessa d.d.p. con se stessa, la gaussianizza.).

Accade che il valore dell’integrale ∫^x_−∞1 √2πσ e^{− (θ − m)2 2σ2} dθ mostrato in figura e che corrisponde alla funzione di distribuzione F_X(x) della v.a. gaussiana x non sia esprimibile in forma chiusa, e dunque per F_X(x) non esiste una formula precisa. Al contrario, il suo valore viene calcolato per via numerica [277]   [277] Ovvero mediante del software che implementa uno dei metodi descritti ad es. presso
https://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_integration, e reso disponibile mediante tabelle e grafici. Per evitare di dover ripetere il calcolo per ogni possibile valore di media e varianza, l’estensione dell’area tratteggiata viene valutata per una v.a. gaussiana normalizzata Z a media nulla e varianza 12, ed espressa nei termini della funzione erfc{α} [278]   [278] Il termine erfc sta per funzione di errore complementare, e trae origine dai risultati della misura di grandezze fisiche, in cui l’errore di misura, dipendente da cause molteplici, si assume appunto gaussiano. Vedi anche https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_degli_errori. definita come rappresentato in fig. 6.9-a), ovvero il cui andamento è graficato in fig. 6.9-b) per i diversi valori dell’argomento α ≥ 0. In questi termini, la funzione di distribuzione di z si ottiene come

Tale risultato può quindi essere usato per calcolare il valore di probabilità Pr{X > β} con cui una v.a. X con media m e varianza σ² supera una soglia β ≥ m, applicando il cambio di variabile z = x − m√ 2 σ, che fornisce

Ma proviamo a svolgere i calcoli: il valore di probabilità richiesto dall’esercizio corrisponde a Pr{X > β} = ∫^∞_x1 √2πσ e^{− (θ − m)2 2σ2} dθ; ponendo θ − m√2  σ = η risulta dθ = √2 σ dη mentre l’estremo inferiore di integrazione diviene η = x − m√2 σ, ottenendo così Questo risultato tornerà utile al § 15.4, quando dovremo valutare la probabilità di errore nelle trasmissioni numeriche.

Alcuni esprimono la probabilità di evento gaussiano come Q{x} = Pr{X > x} = ∫^∞_x 1 √2π e^{− θ2 2} dθ, riferita dunque ad una sola coda di una v.a. gaussiana a media nulla e varianza unitaria. Tra le due notazioni sussiste pertanto la relazione Q{x} = 12 erfc⎧⎩x √2 ⎫⎭.

Per avere una idea della rapidità di azzeramento della campana gaussiana, può essere utile tenere conto che in un intervallo di estensione 2σ centrato attorno alla media si trova il 68,3% della probabilità, che sale al 95,5% per un intervallo che si estende per ±2σ attorno alla media, ed arriva al 99,7% per un intervallo ±3σ. Vedi anche la tabella a pag. 1.

La funzione caratteristica Φ_X(ω) di una v.a. X è definita come l’antitrasformata di Fourier della sua densità di probabilità, ovvero (equivalentemente) come il valore atteso di e ^jωx: Intuitivamente, possiamo pensare che si sia scelta l’anti-trasformata anziché la trasformata in quanto una d.d.p. è una densità (di probabilità), similmente ad una densità spettrale. Tra una d.d.p. p_X(x) e la relativa Φ_X(ω) intercorre una relazione biunivoca, nel senso che se due d.d.p. hanno la stessa Φ_X(ω), esse coincidono. Affrontiamo subito due importanti applicazioni di questo nuovo strumento.

Osserviamo che, se z = x + y è la somma di v.a. indipendenti, per la sua funzione caratteristica si ottiene in quanto sotto tale ipotesi la d.d.p. congiunta p_XY(x, y) si fattorizza nel prodotto delle d.d.p. marginali p_X(x) e p_Y(y) (vedi § 6.1.5), ed il valore atteso si scompone nel prodotto di due integrali. Pertanto, la funzione caratteristica di una somma di v.a. indipendenti è pari al prodotto delle funzioni caratteristiche.

Consideriamo il caso di una v.a. gaussiana a valor medio nullo e varianza σ²: si tratta di eseguire il calcolo Φ_x(ω) = ∫^∞_−∞ 1 √2πσ e^{− x2 2σ2}  e ^jωx dx, il cui svolgimento [279]   [279]  Ricordando che e^α e^β =  e^α + β possiamo scrivere Φ_x(ω) = 1√2π σ ∫^∞_−∞ e ^{jωx − x2 2σ2} dx; riformuliamo quindi l’esponente jωx −  x² 2σ² come

 − x²2σ²  + jωx − (jωσ)²2 + (jωσ)²2 = − 1 2 ⎛⎝x² σ²  − 2jωx + (jωσ)²⎞⎠ + (jωσ)²2 = − 1 2 ⎛⎝x σ  − jωσ⎞⎠² + (jωσ)²2

in modo da ottenere

Φ_x(ω) = e^12(jωσ)2 1 √2πσ ^∞⌠⌡_−∞ e^{−  1 2 ⎛⎝xσ − jωσ⎞⎠2}dx =  e^{−  1 2 (ωσ)2∞}⌠⌡_−∞1 √2π e^− 12(y)2dy =  e^{−  1 2 ω2σ2}

avendo effettuato il cambio di variabile y =  x σ  − jωσ che dà luogo agli stessi estremi di integrazione, mentre dx = σdy, ed avendo notato come l’integrale ora calcoli l’area di una gaussiana con varianza unitaria, pari a ad uno.

porta al risultato ovvero ancora un andamento gaussiano, con dispersione (varianza) inversamente proporzionale a quella della gaussiana di partenza. Qualora la v.a. abbia invece valore medio m_x ≠ 0 la proprietà di traslazione della F − trasformata fornisce Φ_x(ω) = e^{− 1 2 ω2σ2}⋅ e ^jωm_x.

Osserviamo che dunque Φ_X(ω) ha un massimo nell’origine.

Se Φ_X(ω) è derivabile k volte, dalla (10.122) si ottiene d^kΦ_X(ω) dω^k  = E{(jx)^k e ^jωx} che calcolata per ω = 0 fornisce Pertanto conoscendo i primi n momenti m⁽¹⁾_x, m⁽²⁾_x, ⋯m⁽ⁿ⁾_x della v.a. x è possibile ottenere una approssimazione Φ̂_X(ω) della relativa funzione caratteristica Φ_X(ω) nella forma di una espansione in serie di potenze, ovvero

Conoscendo una stima Φ̂_X(ω) della f.c. della v.a. x si può ottenere una approssimazione p̂_X(x) della relativa d.d.p. calcolandone la trasformata di Fourier, ovvero

In questo caso la v.a. rappresenta congiuntamente un intero vettore x di variabili aleatorie monodimensionali, ossia una loro collezione ordinata, in numero finito (ad es. N), in relazione o meno tra loro in base a legami di tipo probabilistico.

Indicando con X la v.a. vettoriale, e con x una sua realizzazione costituita dalle N componenti x₁, x₂, ⋯, x_N, la v.a. multivariata è descritta per mezzo della d.d.p. p_X(x) = p_X(x₁, x₂, ⋯, x_N) funzione di N variabili, per la quale deve risultare

Anche nel caso multivariato può essere definita una funzione di distribuzione F_X(x), anch’essa N − dimensionale, il cui valore F_X(x) = Pr{x ≤ x} nel punto x = (x₁, x₂, ⋯, x_N) si calcola come

La d.d.p. marginale p_Xi(x_i) della singola v.a. monodimensionale x_i che prende parte al sistema di coordinate su cui X è definita, può essere calcolata a partire dalla d.d.p. congiunta p_X(x) mediante saturazione delle altre v.a., ovvero

La d.d.p. di un sotto-gruppo di v.a. x_a = (x₁, x₂, ⋯, x_a), qualora il valore delle restanti coordinate x_b = (x_a + 1, x_a + 2, ⋯, x_N) di x sia da ritenersi noto, si ottiene dividendo la d.d.p. congiunta p_X(x) per quella marginale p_X(x_b) che descrive gli eventi condizionanti, ovvero in cui p_X(x_b) è ottenuta per saturazione (10.124). La separazione ordinale tra i due gruppi di variabili ha lo scopo di semplificare la notazione di questa definizione; in realtà, le v.a. dei due gruppi possono essere prese con un ordine qualsiasi.

Nel caso in cui si tratti del valore atteso di una funzione di una sola v.a. marginale, si utilizza ancora la (10.116) in cui la d.d.p. è quella marginale p_Xi(x_i) relativa alla v.a. rispetto alla quale si sta eseguendo la media di insieme. Per questa via è possibile ottenere un vettore m_X = (m_x1, m_x2,, ⋯, m_xN) che rappresenta il valor medio della v.a. multivariata X, le cui componenti m_xi sono i momenti di primo ordine delle v.a. marginali, ovvero Notiamo che sebbene la notazione E_X{x_i} indichi un valore atteso calcolato rispetto alla variabilità di tutte le componenti della v.a. multivariata X, il calcolo è svolto ricorrendo alla d.d.p. marginale, in quanto le altre v.a. x_j con j ≠ i saturano (10.124).