8 Distorsione e rumore

Descriviamo la natura del peggioramento, o distorsione, subìto da un segnale che attraversa un sistema fisico, e caratterizziamo quest’ultimo al fine di quantificare l’entità della distorsione introdotta. Questa analisi serve a valutare la qualità di un segnale dopo che ha attraversato circuiti (cap. 18), linee di trasmissione (§ 19.2) od amplificatori, oltre che a sviluppare criteri di progetto che tentano di migliorare le prestazioni del sistema, in termini di probabilità di errore (cap. 15) e/o di rapporto segnale/rumore (cap. 14). La natura della distorsione subita da un segnale rientra in una o più delle seguenti categorie:

Osserviamo poi che per distorsione si intende un effetto indesiderato, mentre se invece il segnale viene “manipolato” di proposito, si dice che questo è elaborato [419]   [419] Elaborazione di segnale è la traduzione di signal processing, e così il segnale risultante viene anche detto processato..

Può essere preferibile trattare i tre fenomeni esposti in modo unificato, definendo la distorsione come un disturbo additivo che si sovrappone ad una componente di segnale utile presente nel segnale ricevuto. Tale impostazione si basa sulla considerazione che ricevere un segnale identico a quello trasmesso, tranne che per un fattore di scala ed un ritardo temporale, non altera né forma né sostanza del messaggio: pertanto, un canale che presenti una risposta impulsiva viene indicato come canale perfetto, ed il segnale ricevuto y(t) = u(t) = ax(t − τ) è tutto utile. Se invece viene ricevuto qualcosa di diverso, la differenza ε(t) = y(t) − ax(t − τ) = y(t) − u(t) viene chiamata disturbo additivo. Noti  [420]   [420] Nella pratica, i valori a e τ non si conoscono, mentre invece possiamo disporre di coppie di segnali (x(t), y(t)). Tali valori vengono quindi valutati come quelli che rendono SNR massimo ovvero P_ε minimo. Considerando segnali di potenza reali, ossia processi stazionari ergodici, si ha

P_ε(a, τ) = E{(y(t) − ax(t − τ))²} = E{y²(t)} + a²E{x²(t)} − 2aE{y(t)x(t − τ)} = 

 = P_y + a² P_x − 2aR_xy(τ)

in cui si è operata la sostituzione E{y(t)x(t − τ)} = R_yx(−τ) = R ^* _xy(τ) = R_xy(τ). Il valore di a che rende minimo P_ε(a, τ) si ottiene eguagliandone a zero la derivata: ∂∂aP_ε(a, τ) = 2aP_x − 2R_xy(τ) = 0 e dunque a_opt = R_xy(τ) P_x, che sostituita nell’espressione di P_ε fornisce

P_ε(τ) = P_y + ⎛⎝R_xy(τ)P_x ⎞⎠² P_x − 2R_xy(τ)P_xR_xy(τ) = P_y − (R_xy(τ))² P_x = P_y⎛⎝1 − (R_xy(τ))² P_xP_y⎞ ⎠

Il valore di P_ε evidentemente è minimo per quel valore di τ = τ_opt che rende massima (R_xy(τ))², ovvero per quella traslazione temporale che rende “più simili” i segnali di ingresso ed uscita.

u(t) e ε(t), se ne può valutare la rispettiva potenza, e caratterizzare la qualità del segnale ricevuto nei termini del rapporto P_uP_ε tra la potenza del segnale utile e quella del disturbo, indicato come rapporto segnale rumore o SNR: ovviamente, la qualità è tanto migliore quanto più SNR è elevato  [421]   [421] Una volta individuati i valori di a e τ, è possibile valutare P_u = E{(ax(t − τ))²} = a² P_x, mentre per P_ε è valido il risultato di cui alla precedente nota, fornendo in definitiva

SNR = P_uP_ε = a² P_xP_y⎛⎝1 − (R_xy(τ))² P_xP_y⎞⎠ = a² P²_x P_xP_y − (R_xy(τ))²

che tende ad infinito qualora ε(t) sia nullo, ovvero (R_xy(τ))² =  P_xP_y, mentre si azzera se a = 0.

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Il modello di canale costituito dalla sua componente perfetta e da un disturbo additivo si presta bene a rappresentare, oltre alle cause di distorsione lineare e non, anche quelle più propriamente additive, come il rumore termico la cui natura è descritta al § 8.4.2. In tal caso il disturbo ε(t) si manifesta in ricezione, con una potenza P_ε indipendente da quella P_u del segnale. Allo stesso tempo, al diminuire del fattore di scala a che caratterizza il canale perfetto, la potenza del segnale utile diminuisce con a², e l’SNR di pari misura.