DomandeRicorrenti

Qui sono raccolte le risposte alle domande relative allo svolgimento dei compiti di esame presenti alla pagina del corso di Teoria dei Segnali.

Domande di teoria

Autocorrelazione di un processo e di un segnale deterministico

D: Al capitolo 6 durante lo studio delle auto- inter- correlazioni c’è una cosa che non capisco. Quando lei parla di correlazione per un processo stazionario ergodico (pg. 138) definisce la variabile τ come differenza sull’asse dei tempi di t2-t1. Alla pagina seguente nella parte riguardante auto e inter correlazione per un processo riutilizza tau, che in questo caso però io ho interpretato come l’istante in cui si vuole calcolare tale intercorrelazione , come abbiamo fatto quando abbiamo studiato la convoluzione fra un segnale ed un impulso in cui tau era l’istante in cui veniva calcolato l’impulso. Dunque mi chiedo, c’è un’analogia fra il tau dei processi ergodici e quello delle auto- inter- correlazioni? Oppure tutti i processi su cui sono studiate tali correlazioni sono tutti ergodici e questa cosa mi è sfuggita?

R: Credo che la sua confusione nasca dal fatto che lei mi dice "Alla pagina seguente nella parte riguardante auto e inter correlazione per un processo" mentre la sezione 6.1.4 parla invece di segnali *certi*, e non di processi. Dopodiché se questi segnali sono membri di un processo ergodico, vale la proprietà che la funzione di auto- ed inter-correlazione (tra segnali certi) eguaglia per ogni tau il valore della rispettiva media di insieme.

Quindi quella che lei indica come "analogia" è proprio una eguaglianza, non solo di tau, ma proprio di tutta la funzione, ovvero R_xx(tau) = m_xx^(1,1)(tau).
Riassumendo, nel caso dei processi tau = t2-t1 è l'intervallo temporale tra le due v.a. estratte, mentre per segnali certi è l'anticipo di una copia del segnale rispetto all'altra, sul cui prodotto calcolo l'integrale di correlazione.
Dopodichè, nel seguito si suppone sempre di avere a che fare con processi ergodici, in modo da poter arrivare a risultati applicabili sia a segnali certi, che aleatori.

Il valor medio di un segnale

D:Quando calcoliamo il valor medio o la potenza di un segnale, perché gli estremi di integrazione vanno da -T/2 a +T/2 e non, come per il teorema degli integrali sul valor medio, da t1 a t2?

R:Parto dall'analisi: non avendo frequentato le lezioni con voi, non so bene lei cosa intenda per "teorema degli integrali sul valor medio". Chiedendo a google, trovo https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_della_media_integrale e su questo rispondo.

WP riporta di parlare di "funzione continua", che quindi tra t1 e t2 non presenta salti e/o asintoti verticali. Per t1 < t < t2 la f(t) assume quindi valori compresi in un intervallo (v1,v2). Il che non vuol dire che f(t1)=v1 etc, ma solo che v1 = min {f(t)} per t1<t<t2 e v2 = max (f(t) per t1<t<t2.
Sotto questa ipotesi, la media integrale (1/(t2-t1)) INT (da t1 a t2) f(t)dt fornisce un valore compreso nello stesso intervallo (v1, v2), ovvero un valore che è "una via di mezzo" tra il minimo ed il massimo di f(t) in quell'intervallo.
Viceversa, nella definizione di "media temporale su tau" che riporto a pag. 12 non si fanno ipotesi se il segnale sia continuo o meno. Nella successiva definizione di valore medio compare un passaggio al limite, e dunque non fa alcuna differenza se l'intervallo di integrazione comprenda o meno l'origine. Per giungere alla definizione di media "prima del passaggio al limite", definisco "media temporale su di un intervallo tau" come l'integrale tra -tau/2 e tau/2 per comodità, in modo da poter rimuovere la frasetta "su di un intervallo tau" mediante il passaggio al limite.
In altre parole, il teorema di analisi riguarda una proprietà di funzioni valida su intervalli entro i cui estremi la funzione si mantiene continua, mentre la definizione di valore medio (con il limite) individua una grandezza caratteristica di un segnale nella sua interezza, in modo che un secondo segnale g(t) = f(t) - valor_medio(f(t)) possa essere indicato come "a media nulla", e che quindi non presenta una concentrazione di energia a frequenza nulla - come discusso ai capitoli successivi. Nel caso di segnale periodico, avrà il coefficiente "zeresimo" della serie di Fourier F_0 = 0, o nel caso di segnale di energia, non presenterà impulsi a frequenza nulla.
Più in generale, definire l'integrale come centrato attorno allo zero permette di non dover tenere conto di *dove" questo è centrato, tanto poi il passaggio al limite rende indifferente questo dettaglio.
ps.: mi avvedo che la frase "mentre se lim s (t) = 0 il segnale ha valor medio nullo" a pag. 13 è un colossale refuso, cancellatela completamente.

Domande sugli esercizi svolti

11/02/2020 esercizio C prima parte

D:2° punto: come trovo la tabella presente nelle soluzioni?

R:La trovo come suggerito nel testo, provando un numero di bit/simbolo M via via crescente (prima colonna). Il canale è caratterizzata da potenza di segnale, banda e densità di rumore fisse, dunque la sua capacità C è nota, e la teoria ci avverte che non è possibile trasmettere con f_b > C. Ci chiediamo quindi di verificare che è proprio così. Iniziamo con la minima f_b, e la aumentiamo di volta in volta, finché non è più possibile aumentarla, dato che Pe risulterebbe maggiore di 10^-5 come richiesto.

Ad ogni valore di M (e dunque di L) corrisponde una f_b (dato che B è fissa). Ad esempio, trasmettendo con M = 2 bit/simbolo ovvero L = 4 (seconda riga) in una banda B = 10^5 realizzo la velocità f_b = 2*2*10^5 = 4*10^5 bit/sec. Una volta nota la f_b, conoscendo Px ed No posso calcolare l'Eb/No ovvero il suo valore in dB. Usando ora i grafici di fig. 8.10 a pag. 222, trovo che per ottenere la Pe = 10^-5 (per la quale traccio una riga orizzontale nel grafico) richiesta con L = 4 livelli (seconda curva) sono necessari almeno 13 db (o forse poco più) (tracciando una riga verticale che parte dell'intersezione tra la curva per L = 4 e Pe = 10^5. Perciò dato che con M = 2 (L=4) ho Eb/No = 21 > 13, significa che ho più Eb/No del necessario, quindi riesco ad ottenere Pe < 10^5 a quella velocità f_b.
Se aumento M portandolo a 3 e ripeto i calcoli ed il ragionamento sul grafico usando questa volta la terza curva, trovo che ce la faccio ancora, perché anche se il mio Eb/No è diminuito a 19.2 dB (se aumento f_b con Px costante, si riduce Eb), quello richiesto (18 dB), anche se aumentato (aumentando M i livelli sono più vicini e a parità di rumore la Pe peggiora), è tuttora minore di quello che ho (19.2 db), quindi posso raggiungere anche una f_b = 6*10^5.
Ma se scelgo M = 4 scopro che per L = 16 (quarta curva) l'Eb/No necessario ad ottenere Pe = 10^-5 è di 22.5 dB, mentre ora disponiamo solamente di 18 dB, dunque non possiamo permetterci M = 4, pertanto la f_b massima è quella ad essa associata ad M = 3, ovver 6*10^5, minore della capacità.

11/2/2020 esercizio C seconda parte

D:2° punto: potrebbe farmi un esempio per trovare le armoniche nel caso di segnale sinusoidale e come si legano ad alfa e beta?

R:Diciamo che, visto l'argomento, si dovrebbe trovare la risposta alla sezione 11.3. Ma mi accorgo che nello spostare gli argomenti avanti ed indietro ad ogni edizione, qui c'è c'è scappato un buco. Infatti la frase "di cui ora discutiamo." resta appesa, e tocca tornare indietro alla sezione 7.3

Alla nota 17 di pag. 192 vengono riportate le formulette trigonometriche del quadrato e del cubo di un coseno, che permettono di pervenire alla formula (7.11), che mostra la relazione tra le ampiezze delle componenti di distorsione non lineare di seconda e terza armonica, ed i parametri alfa e beta.

D:Mentre nel caso modulato, perché il termine di secondo ordine giace su frequenze disgiunte dal segnale originario?

R:Occorre fare riferimento alla fig. 7.2 di pag. 194, che esemplifica l'esito delle due espressioni scritte poco sotto. Il termine di secondo ordine è dato dalla convoluzione della densità spettrale del segnale modulato con se stesso. Ricordando la costruzione grafica che esemplifica l'operazione di convoluzione (sez. 3.4.3), il rettangolo "di destra" del segnale modulato si sovrappone a quello "di sinistra" quando tra le due copie si è verificata una traslazione pari a 2f_0, dunque la distorsione "di secondo ordine" produce un effetto concentrato al doppio della frequenza portante. Ma non si può spiegare bene a parole, tocca pensare alla costruzione grafica della convoluzione, prendere una copia della densità di potenza del segnale modulato, ribaltarla, traslarla, e notare quando si sovrappone alla copia che è rimasta ferma.

18/06/2019 esercizio A della prima parte

D:Non mi è chiaro nel primo punto come fa a venirle la H(f); nel secondo punto come le sono venute 3/4A e -1/4A; il punto 3 è la densità di probabilità di un segnale periodico; poi nel punto 4 che formula ha usato per Px e Py.

R: Andiamo con ordine...

- si applica la proprietà di dualità, pag. 56-57 del formato elettronico. Al di là dei rigorosi passaggi analitici, nello specifico, è il caso riportato nell'esercizio a metà di pag. 57. Sapendo che F{rect_T(t)} = T*sinc(fT), allora F{T*sinc(tT)} = rect_T(-f), ed essendo il rect pari, rect_T(-f) = rect_T(f). Nel caso della domanda 1) al posto di T c'è 2W, dunque si ottiene il risultato mostrato.
- Vengono perché nel testo è indicato che x(t) è a media nulla, ed essendo un segnale periodico, la media si può ottenere limitando l'integrale in fondo a pag. 12 ad un periodo. Ma piuttosto che calcolare l'integrale, valutiamo l'area della parte >0 e di quella <0 del segnale x(t) onda quadra con duty cycle 1/4, e le eguagliamo. In pratica, se la parte >0 dura 1/4 di periodo, la sua ampieza deve essere 3 volte quella della parte <0.
- la densità di probabilità?? No, chiedevo la densità di potenza, che per un segnale periodico è quella indicata (eq. 6.10 di pag. 143), ed i coefficienti Xn sono calcolati alla sez. 2.2.1.4 a pag. 35 per un segnale a media non nulla, ma dato che il valor medio incide solo su X_o, quello lo mettiamo direttamente a zero, ed il resto dei coeff. di Fourier sono giusti, essendo nel nostro caso tau = (1/4)*T
- la Px si ottiene integrando x^2(t) su di un periodo e dividendo per T, formula (1.1) di pag. 14, con il trucco che lo stesso risultato si ottiene anche senza centrare l'intervallo di integrazione in zero, l'importante è che si estenda per un periodo. A quel punto l'integrale si fa ad occhio calcolando le aree disegnate. Per la Py invece si applica il teorema di Parseval per segnali periodici, eq. (2.12) pag. 38, limitatamente alle prime 3 armoniche per via del filtro, come detto nei commenti della soluzione

19/02/2019 esercizio A seconda parte

D:Nella soluzione dice che in realtà le armoniche sono ritardare di un numero intero di periodi, però y(t)=x(t), perché?

R:Per la definizione di segnale periodico di periodo T abbiamo che x(t) = x(t-T) o più in generale x(t) = x(t-nT) con n intero. Cioè a dire, se lo traslo di uno, due, o più periodi, e poi lo guardo, non lo posso distinguere da quello "non traslato".

La risposta impulsiva delta(t-0.2) equivale ad un ritardo pari a tau = 0.2 = 1/5 = 1/F = T, e quindi l'uscita è ritardata esattamente di un periodo (per quel particolare ingresso di periodo T = 1/F = 1/5 = 0.2)
Il valor medio X_0 = 1 anche traslato, resta sempre pari ad uno.
La prima armonica non c'è in ingresso, e quindi neanche in uscita.
La seconda armonica ha periodo la metà ovvero 0.1, cioè in 0.2 secondi entrano esattamente due cicli di seconda armonica, infatti è sfasata di 4pi.
Per lo stesso motivo il ritardo di 0.2 sec equivale ad esattamente tre cicli della terza armonica.
Quindi se guardo l'uscita y(t) non la distinguo dall'ingresso x(t), per questo scrivo che sono uguali, anche se l'uscita è ritardata di 0.2, dato che 0.2 è proprio pari al periodo originario T
Non so se sono riuscito a spiegarmi... questo era il punto 4. Oppure i dubbi iniziano dal punto 1? Diciamo che l'unico "trucco" (che in effetti non è venuto in mente a nessuno degli studenti di quella sessione!!) è quello di scrivere pi*20*t come 2*pi*10*t e pi*30*t come 2*pi*15*t. Quindi, scrivere 10 = 2*5 e 15 = 3*5, in modo da rendere evidente come siano presenti solo la seconda e terza armonica di F = 5 Hz.

23/07/2018 esercizio B prima parte

D:Il 4° punto, come trovo la Pe < 10^-5?

R:La fig. 8.10 a pag. 222 (della ed. 1.7 beta 15) viene utilizzata tracciando una linea orizzontale sul valore di Pe = 10^-5, che interseca le curve per L = 2, 4, 8, 16, 32 a diversi valori di Eb/No. Tracciando una verticale che scende dai punti di intersezione, notiamo che per L=16 occorre un Eb/No pari a circa 22,5 dB, ma noi ne abbiamo solo 20,24 e dunque non bastano. Invece la verticale che scende dalla intersezione tra la Pe = 10^-5 e la curva per L=8 (la terza da sinistra) individua un Eb/No pari a circa 18, dunque ce la facciamo alla grande.

23/7/2018 esercizio C seconda parte

D:mi sembra ci sia un errore nel grafico della domanda 1

R:Ha ragione lei, non so perché ho messo uno anziché 4, probabilmente nel mio cervello in quel momento ho fatto il doppio di T/2 e poi l'ho invertito, anziché quello di 2/T. ora correggo

15/6/2018 esercizio A prima parte

D:il rect non esce al quadrato nella sua soluzione, la mia soluzione mi fa fare un'antitrasformata di un quadrato di rect, dove ho sbagliato?

R: Questa è una domanda ricorrente, eppure la risposta è di una semplicità allarmante. Un rect di altezza 1, moltiplicato per un rect di altezza 1, produce ne più ne meno che un rect di altezza 1. Infatti 1*1 = 1. Provi a disegnarli

15/6/2018 esercizio B prima parte

D:Perché la modulazione è AM-BLD-PS?

R:La domanda 2 dell'es. B 1a parte è direttamente collegata alla risposta che viene data alla domanda 1, che chiede semplicemente di effettuare un prodotto. Il risultato del prodotto è x(t) = m(t)*cos(2*pi*fo*t), che corrisponde senz'altro ad una modulazione di ampiezza a banda laterale doppia (eq. 10.1) a pag. 272), dato che manca il termine x_s(t)*sin(2*pi*fo*t) (eq. 9.2 a pag. 253), eq. 10.8 a pag. 275).

21/7/2017 esercizio B seconda parte

D:il numero 2, non mi esce l'integrale come nella sua soluzione poiché entrambi gli esponenti hanno segno negativo (nella sua soluzione invece si annullano generando 1 come risultato), non capisco dove sbaglio

R: Quando si scrive |X(f)|^2 con X(f) complesso si intende sempre X(f) x X*(f) dove con X*(f) si indica il coniugato. Il coniugato di un numero complesso si ottiene invertendo il segno della parte immaginaria, oppure invertendo il segno della fase. Dunque X*(f) = |X(f)| x exp(-arg{X(f)}) Piuttosto la sua perplessità avrebbe dovuto riguardare gli estremi di integrazione, che a rigor di logica sarebbero dovuti essere da f0 - (1/2T) a fo + (1/2T).... ma il risultato non sarebbe cambiato.

6/04/2017 esercizio A della prima parte

D:Il 1° punto, mi sono confusa nel calcolo della Rz, se può darmi qualche delucidazione.

R:Come spesso accade, qualche esercizio dell'appello di aprile rispecchia ciò che sto spiegando a lezione nello stesso periodo, se solo gli studenti avessero la furbizia di provare a seguire qualche lezione anziché tentare l'esame alla cieca.. ma quest'anno non può avvenire

In questo caso, si tratta ne più e ne meno di seguire l'indicazione del testo, proprio per obbligare a fare tutta quella serie di calcoli, mentre alla fine dell'esercizio è indicata "la strada facile", dato che anziché fare la convoluzione delle autocorrelazioni, sarebbe bastato antitrasformare lo spettro di densità di potenza dell'uscita. La possibilità di due percorsi differenti permette ad ogni modo di verificare se i conti sono giusti!
Tornando all'esercizio, per prima cosa vengono valutate le autocorrelazioni Ry dell'ingresso ed Rh della h(t). Ry è quella della somma di due processi indipendenti, dato che il coseno è un membro di un processo armonico, e la sua corr. è a sua volta un coseno come mostrato alla sez. 6.2.3. Rh invece la calcolo come convoluzione h(t)*h(t), in base alla costruzione grafica di pag. 140, dato che h(t) è reale pari. Con una ulteriore "giravolta", anziché eseguire la convoluzione nel tempo, antitrasformo il prodotto in frequenza, che mi viene più facile, dato che il quadrato di un rettangolo unitario è ancora un rettangolo (unitario, in quanto 1x1=1).
A questo punto svolgo la convoluzione tra correlazioni, Per quanto riguarda Rn che è un impulso non ho problemi, mentre per la convoluzione in frequenza tra coseno e sinc, faccio anche qui la "giravolta", ovvero antitrasformo il prodotto nel tempo, in cui il coseno ha come spettro due impulsi (pag. 60). Il prodotto tra i due impulsi in freq. ed il rect_2B mi ridà gli impulsi, dato che B>f_0, che antitrasformati, aridanno il coseno.
E' più chiaro adesso? spero di si....