La dimostrazione inizia definendo una potenza istantanea assorbita dal bipolo come w(t) = v(t)i(t) = v(t)⋅(v(t)*y(t)). La potenza media (nel tempo) allora risulta Nel terzultimo passaggio si è fatto uso del teorema di Parseval, e del fatto che ℛ_v(τ) è pari; nell’ultimo, si è tenuto conto che P_v(f), R(f) e |Z(f)|² = R²(f) + X²(f) sono funzioni pari di f, mentre X(f) è dispari: pertanto il termine ∫^∞_{−  ∞}ℑ{Y(f)}P_v(f)df  = ∫^∞_− ∞P_v(f)(X(f))/(|Z(f)|²)df è nullo. Notiamo che quest’ultimo termine rappresenta la potenza reattiva, che non è trasformata in altre forme di energia, e viene accumulata e restituita dalla componente reattiva del carico. Al contrario, il termine relativo a ℜ{Y(f)} rappresenta la potenza assorbita dalla componente resistiva, nota come potenza attiva, che viene completamente dissipata.

Svolgiamo per intero la dimostrazione delle (16.65↑). Verifichiamo subito che, mantenendo Z_g(f) fisso e per qualunque valore di R_c(f), la potenza ceduta ad un carico espressa dalla (16.64↑): W_zc(f) = P_vg(f)(R_c(f))/(|Z_c(f) +  Z_g(f)|²) risulta massima se il suo denominatore è il più piccolo possibile, e ciò si verifica quando X_c(f) =  − X_g(f), ed in tal caso risulta Per individuare ora la condizione su R_c(f) che rende minimo il denominatore (e dunque W_zc(f) massima), eseguiamone la derivata rispetto ad R_c (omettendo per brevità la dipendenza da f) ed eguagliamola a zero: che fornisce la condizione R_c(f) = ±R_g(f) in cui il valore negativo viene scartato mentre quello positivo, assieme alla condizione X_c(f) =  − X_g(f) determina la condizione Z_c(f) = Z^*_g(f) espressa alla (16.65↑). Volendo verificare che la (16.102↑) individui effettivamente un minimo e non un massimo del denominatore di (16.101↑), se ne può eseguire la derivata seconda, ottenendo che verifichiamo immediatamente essere sempre positiva.

Avendo a disposizione un generatore di segnale di potenza disponibile W_d(f) ed impedenza interna Z_g(f) assegnate, la tensione a vuoto ai suoi capi ha densità di potenza (di segnale) pari a P_v(f) = W_d(f)4R_g(f). Collegando al generatore un carico generico Z_c(f), la potenza dissipata da quest’ultimo risulta pari a W_zc(f) = P_v(f)(R_c(f))/(|Z_g(f) +  Z_c(f)|²). Il rapporto tra la densità di potenza effettivamente ceduta a Z_c(f), e quella che le sarebbe ceduta se questa fosse adattata per il massimo trasferimento di potenza, fornisce la perdita di potenza subìta: Pertanto, se Z_c(f) ≠ Z^*_g(f), su Z_c(f) si dissipa una potenza pari a W_zc(f) = α(f)W_d(f). Il medesimo risultato è valido anche per l’analisi dell’accoppiamento tra il generatore equivalente di uscita di una rete due porte ed un carico.