4.7 Riassumendo
La
dft (
10.75) e la
idft (
10.78) costituiscono una coppia di relazioni invertibili che permettono di passare da una sequenza complessa di lunghezza N ad un’altra di pari lunghezza. Ma:
- calcolando la dft (10.75) su di una finestra di N campioni xn di un segnale x(t) limitato in una banda W < fc⁄2, si ottengono delle stime Xm dei campioni della sua trasformata di Fourier X(f) per f = mN fc, ossia Xm ≃ fc X⎛⎝mN fc⎞⎠ con m = 0, 1, …, N − 1;
- calcolando la idft (10.78) degli Xm si ri-ottengono i campioni di x(t) di partenza;
- sia gli Xm che gli xn sono in realtà sequenze periodiche di periodo N;
- i calcoli indicati dalle (10.75) e (10.78) sono in realtà svolti mediante un diverso algoritmo, chiamato Fast Fourier Transform o fft, che ha il vantaggio di richiedere una complessità O(Nlog2N) ridotta rispetto a quella della dft, che è O(N2).
Se la sommatoria (
10.75) della
dft venisse applicata, anziché ad un numero finito
N di campioni
xn, ad un loro numero infinito, allora
- si otterrebbe una sequenza periodica X̃m (10.83) di periodo N, corrispondente al campionamento dello spettro periodico X•(f);
- l’applicazione della idft a X̃m produrrebbe una sequenza periodica x̃n (10.84), coincidente con la sequenza originaria xn solo nel caso in cui questa fosse di durata finita, minore o uguale ad N;
- segmentando un segnale x(t) in sotto-intervalli disgiunti, si può eseguire la convoluzione tra x(t) ed una h(t) di durata finita (§ 4.6.4), operando esclusivamente nel dominio digitale, e sommando tra loro le idft dei prodotti tra la dft dei campioni di Tc ⋅ h(t), e le dft dei campioni di x(t) prelevati in corrispondenza ai suoi segmenti.
L’interpretazione dei valori che risultano dalla applicazione della
dft su dei campioni di segnale, come stima della trasformata di Fourier del segnale, deve tenere conto oltre che delle fonti di approssimazioni evidenziate nella nota
4.5, anche dei corretti valori da assegnare alla scala delle frequenze e delle ampiezze, ossia:
4.7.1 Le frequenze della DFT
Occorre tener presente il valore della frequenza di campionamento e della periodicità degli Xm. Infatti i valori Xm per m = 0, 1, …N − 1 corrispondono ai campioni di X•(f) per f = mN fc, ma se x(t) è reale, X•(f) oltre ad essere periodico presenta simmetria coniugata, e dunque per valori f > fc2, ossia per m > N2, X•(f) assume valori speculari a quelli risultanti per f < fc2.
Esempio Se N = 512, i primi 256 valori (con m da 0 a 255, ossia per m = 0, 1, 2, …, N⁄2 − 1) sono da mettere in corrispondenza con quelli di X(f) con f = 0, 1N fc, 2N fc, …N⁄2 − 1N fc; mentre i restanti 256 valori (da 256 a 511, ossia per m = N⁄2, N⁄2 + 1, …, N − 1, e corrispondenti a f = 12 fc, N⁄2 + 1N fc, …, N − 1N fc) esibiscono un comportamento speculare a quello dei precedenti.
4.7.2 Le ampiezze della DFT
Come espresso dalla (
10.79), i valori
Xm rappresentano una approssimazione dei coefficienti della serie di Fourier calcolati sulla finestra temporale da cui provengono i campioni di segnale, e moltiplicati per il numero di campioni utilizzati nel calcolo:
Xm ≃ N ⋅ XSFm. Pertanto, i valori ottenuti dalla
dft devono essere normalizzati, dividendoli per
N.
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