6.8
Filtri analogici↓
Sono
ottenuti mediante componenti elettrici a costanti concentrate come
condensatori, induttori e resistori. Applicando la trasformata di
Laplace
alle equazioni differenziali che descrivono la relazione
ingresso-uscita, si ottiene una funzione di trasferimento
↓
razionale del tipo
H(s) = (N⎲⎳i
= 0aisi)/(M⎲⎳j = 0bjsj)
(in cui
N ≤ M), definita su
di un piano complesso
s = σ + j2πf.
Ponendo
s = j2πf
si ottiene la funzione di trasferimento in
f:
H(f) = H(s
= j2πf).
Questo procedimento è valido solo se il filtro è stabile, che nel
dominio di Laplace equivale a richiedere che tutti i poli di
H(s)
siano a sinistra dell’asse immaginario.
6.8.1
Filtro analogico ad un polo
La tensione
vu(t) in uscita dal filtro RC di tipo
passa basso
↓ mostrato in
figura può essere espressa come convoluzione tra quella di ingresso
vi(t) ed una risposta impulsiva
h(t) = (1)/(RC)e
− (t)/(RC)
L’analisi del circuito mostra che la funzione di
trasferimento risulta
H(f) = ℱ{h(t)} = (1 ⁄ jωC)/(R + 1 ⁄ jωC) = (1)/(1 + j2πfRC)
ovvero, nel dominio di Laplace
H(s) = (1)/(1 + sRC)
Pertanto,
H(s) presenta un polo in
s
= − (1)/(RC) che fa sì che
H(s)|s
= − (1)/(RC) = ∞.
A lato è raffigurato l’andamento di
|H(s)|2, espresso in decibel, e
con
RC = 8. Come evidente,
|H(s)|2
può essere pensata come una sorta di
cono vulcanico attorno al
polo, le cui falde, quando intersecate dal piano verticale infisso
sull’asse
j2πf,
individuano la funzione di trasferimento in frequenza
H(f) = H(s = j2πf).
Come si vede dalla figura,
H(f) risulta di tipo passa basso, con
fianchi tanto più ripidi quanto più il polo è vicino all’origine.
6.8.2
Frequenza di taglio ↓
Definiamo
frequenza di taglio di un filtro la frequenza
fT
per la quale
|H(fT)| = (|HMax|)/(√(2))
Nel caso del filtro RC, si ha
|HMax| = H(0) = 1 e dunque scriviamo
|H(f)| = (1)/(√(1 + (2πfRC)2)) = (1)/(√(1 + ⎛⎝(f)/(fT)⎞⎠2))
in cui
fT = (1)/(2πRC),
pari quindi alla frequenza di taglio (infatti
|H(fT)| = (1)/(√(1 + 1))
= (1)/(√(2))). Notiamo infine che
|H(fT)|2 =
(1)/(2) e dunque
|H(fT)|2|dB
= -3 dB; per questo la frequenza di taglio è indicata anche
come frequenza a 3 dB.
6.8.3
Assenza di distorsione lineare↓
Quali proprietà devono essere verificate da un
filtro affinché l’uscita non differisca dall’ingresso per più di un
fattore di scala ed un ritardo, ovvero si verifichi la proprietà di
canale
perfetto espressa a pag.
1↓?
La condizione cercata si esprime come
y(t) = αx(t
− t0), che
corrisponde a
Y(f) = αX(f)e − j2πft0,
e quindi la risposta in frequenza di tale filtro deve essere del tipo
H(f) = (Y(f))/(X(f))
= αe − j2πft0
ovvero la sua risposta impulsiva è pari a
h(t) = αδ(t − t0).
Pertanto le condizioni poste nel tempo, si riflettono su di una risposta
in frequenza con
modulo costante e
fase lineare,
quantomeno, nella banda del segnale.