7  Distorsione e rumore

Occupiamoci ora di descrivere la natura delle perturbazioni, o distorsioni, subite da un segnale che attraversa un sistema fisico, e di caratterizzare lo stesso ai fini di poter quantificare l’entità della perturbazione introdotta. Questa analisi è importante per poter valutare la qualità del segnale ricevuto, ed applicare criteri di progetto che tentano di migliorare le prestazioni del sistema, in termini di probabilità di errore (cap. 8↓) e/o di rapporto segnale/rumore (cap. 13↓). Tali distorsioni hanno origine essenzialmente da tre cause: quelle cosiddette lineari perché prodotte da un sistema lineare, quelle dovute viceversa a fenomeni non lineari, dei mezzi trasmissivi o dei dispositivi, e quelle dovute alle interferenze, alla quantizzazione, ed al rumore termico, detti disturbi additivi in quanto a differenza delle prime due non dipendono dal segnale stesso, ma semplicemente vi si sommano.

Quando un segnale viene “manipolato” di proposito, si dice che questo è elaborato. Se viceversa il segnale si altera per una causa indipendente dalla volontà, allora il segnale subisce una distorsione [244]  [244] Elaborazione di segnale è la traduzione di signal processing, e così il segnale risultante viene anche detto processato..

Per valutare l’entità della distorsione, stabiliamo un criterio con cui distinguere la componente di segnale utile↓ dal disturbo. La ricezione di un segnale identico a quello trasmesso, tranne che per un fattore di scala ed un ritardo temporale, non altera né forma né sostanza del messaggio: pertanto, un canale che presenti una risposta impulsiva viene indicato come canale perfetto, ed il segnale ricevuto y(t)  = u(t)  = ax(t − τ) è tutto utile. Se invece viene ricevuto qualcosa di diverso, si definisce disturbo additivo la differenza ε(t) = y(t) − ax(t − τ)  = y(t)  − u(t) ( [245]  [245] Nella pratica, i valori a e τ non si conoscono, mentre invece possiamo disporre di coppie di segnali (x(t), y(t)). I valori vengono dunque definiti come quelli che rendono SNR massimo ovvero P_ε minimo. Considerando segnali di potenza, ossia processi stazionari ergodici, si ha

P_ε(a,  τ)  =  E{(y(t)  − ax(t  − τ))²} = E{y²(t)} + a²E{x²(t)} − 2aE{y(t)x(t  − τ)}  =         =  P_y  + a² P_x  − 2aℛ_xy(τ)

in cui si è operata la sostituzione E{y(t)x(t  − τ)}  = ℛ_yx( − τ) = ℛ^*_xy(τ) = ℛ_xy(τ).

Il valore di a che rende minimo P_ε(a, τ) si ottiene eguagliando a zero la derivata: (∂)/(∂a)P_ε(a, τ)  = 2aP_x  − 2ℛ_xy(τ) = 0  ⇒  a_opt  = (ℛ_xy(τ))/(P_x), che sostituita nell’espressione di P_ε fornisce

P_ε(τ)  = P_y  + ⎛⎝(ℛ_xy(τ))/(P_x)⎞⎠² P_x − 2(ℛ_xy(τ))/(P_x)ℛ_xy(τ) = P_y  − ((ℛ_xy(τ))²)/( P_x) = P_y⎛⎝1  − ((ℛ_xy(τ))²)/( P_xP_y)⎞⎠

Il valore di P_ε evidentemente è minimo per quel valore di τ  = τ_opt che rende massima (ℛ_xy(τ))², ovvero per quella traslazione temporale che rende “più simili” i segnali di ingresso ed uscita.

). Note queste due quantità, se ne può valutare la rispettiva potenza, ed indicare il rapporto (P_u)/(P_ε) tra la potenza del segnale utile e quella del disturbo come rapporto segnale rumore o SNR.

A volte il peggioramento dell’SNR non dipende da una distorsione od un disturbo additivo, ma dalla riduzione della ampiezza (e dunque della potenza) del segnale ricevuto. Questo è il caso, ad esempio, dei collegamenti radio, in cui oltre alla attenuazione di natura atmosferica (§ 16.3.3.4↓) come pioggia o nebbia, sono possibili cause legate al movimento (§ 16.3.4↓), ed alla casualità delle condizioni di propagazione in condizioni di non visibilità (§ 348↓).