La trasmissione via onda radio si differenzia da quella via cavo o fibra ottica sotto diversi aspetti, tra cui la condivisione di uno stesso mezzo tra più comunicazioni, e la possibilità di comunicare in movimento. E’ resa possibile dalla conversione di un segnale elettrico in radiazione elettromagnetica [734]  [734] Dato che tale conversione avviene unicamente a seguito delle variazioni del segnale, è esclusa la presenza di una componente continua, e per questo (ma non solo) il segnale può unicamente essere di natura modulata. ad opera dei dispositivi di antenna, che fungono da carico dal lato trasmissione, e da generatore dal lato ricezione. La descrizione circuitale delle antenne viene poi semplificata dalla circostanza che per il segnale modulato è praticamente sempre vera la condizione di occupare una banda stretta attorno alla portante f₀, in modo da poterlo assimilare ad una singola sinusoide. In tal caso, le condizioni di massimo trasferimento di potenza (§ 15.1.1.3↑) tra amplificatore finale e antenna trasmittente (Z_g  = Z^*_T) e tra antenna ricevente e stadio di ingresso al ricevitore (Z_R  = Z^*_i) danno luogo, nella banda di segnale, ad una risposta in frequenza H(f) che non dipende dalla frequenza (modulo e fase costanti), e questo corrisponde (a parte una rotazione di fase) all’assenza di distorsione lineare, vedi pag. 1↑. Tutta la potenza disponibile fornita dall’amplificatore finale W_dT  = (V²_Teff)/(4R_g) viene ceduta all’antenna, e da questa allo spazio. In effetti Z_T dipende dalla frequenza portante ed in parte dalla geometria dello spazio circostante, mentre Z_g è in genere fissata a 50 Ω; perciò tra stadio di uscita del trasmettitore Tx e cavo di antenna può essere interposto un adattatore di impedenza [735]  [735] Vedi ad es. https://en.wikipedia.org/wiki/Antenna_tuner.

Se l’antenna trasmittente irradia allo stesso modo in tutte le direzioni, W_dT si distribuisce su di una sfera; dunque una superficie dS, posta a distanza d, è attraversata da una potenza pari a Si noti che il denominatore rappresenta la superficie di una sfera di raggio d.

Sono antenne che hanno direzioni privilegiate di emissione. Ad esempio, le antenne paraboliche dispongono di un illuminatore o feed [736]   [736] Dall’inglese to feed = alimentare. posto in corrispondenza del fuoco della parabola stessa, la cui superficie riflette le onde elettromagnetiche in modo che si propaghino in forma pressoché parallela [737]  [737] Il processo di focalizzazione parabolica, comunemente usato ad esempio nei fanali degli autoveicoli, era ben noto ad Archimede da Siracusa, che lo impiegò negli specchi ustori....

Se una antenna identica a quella trasmittente viene usata (dall’altro lato del collegamento) per ricevere, questa mantiene lo stesso guadagno G_R  = G_T e lo stesso θ_b. Si definisce allora la sua area efficace come il valore legato alla forma e dimensione dell’antenna, a meno di un fattore di efficienza ρ ( [739]   [739] Indicando con A_r l’area reale (fisica) dell’antenna, risulta A_e  = ρA_r, con ρ  < 1. La diseguaglianza tiene conto delle perdite dell’antenna, come ad esempio le irregolarità nella superficie della parabola, o l’ombra prodotta dalle strutture di sostegno. Ovviamente, anche l’antenna trasmittente presenta perdite, ed il valore G_T misurato è inferiore a quello fornito dalla (16.111↑), a meno di non usare appunto il valore di area efficace.). Perciò una stessa antenna (A_e fisso) aumenta il suo guadagno (e stringe il beam) all’aumentare della frequenza, ovvero al diminuire di λ  = (c)/(f) ( [740]   [740] La costante c = 3⋅10⁸ metri/secondo rappresenta la velocità della luce nel vuoto, ossia la velocità di propagazione dell’onda elettromagnetica nello spazio.).

Usando l’area efficace dell’antenna ricevente (16.112↑) per intercettare parte della potenza irradiata (16.110↑), si ottiene Ovviamente, anche il ricevitore ha la propria Z_i  = Z^*_R accordata per il massimo trasferimento di potenza, e la banda di segnale è sempre stretta a sufficienza da garantire l’assenza di distorsioni lineari. Quindi la W_R =  W_dR è proprio la potenza ricevuta.

Il termine è chiamato attenuazione di spazio libero, e dipende da f² oltreché da d². In realtà ai fini del bilancio di collegamento, la dipendenza dalla frequenza si elide con quella relativa al guadagno delle antenne: G_T = A_e(4π)/(λ²) = A_e(4πf²)/(c²) ( [741]   [741] Mantenendo fissa la dimensione delle antenne, si ottiene il risultato che trasmissioni operanti a frequenze più elevate permettono di risparmiare potenza. Purtroppo però, guadagni di antenna superiori a 30-40 dB (corrispondenti a piccoli valori di θ_b) sono controproducenti, per i motivi esposti al § 16.3.3.1↓.).

Il rapporto è chiamato attenuazione disponibile, ed indica di quanto si riduce la potenza trasmessa. Il suo valore espresso in decibel, tenendo conto delle costanti che vi compaiono, ed usando le unità di misura più idonee, risulta essere nota come equazione di Friis↓. Osserviamo che, a differenza della trasmissione in cavo, l’attenuazione cresce con il quadrato della distanza, e quindi con il suo logaritmo quando espressa in decibel. Infatti ora l’attenuazione è dovuta esclusivamente all’aumentare della superficie su cui si distribuisce la potenza irradiata, e non a fenomeni dissipativi, come accade invece per cavo (eq. (16.109↑)) e fibra ottica. Per un esempio di applicazione della (16.115↑), si veda l’esercizio a pag. 1↑.

Sono ora descritti i fenomeni legati alla geometria del territorio ed alle condizioni atmosferiche, che determinano l’insorgenza di attenuazioni supplementari A_s ovvero in più, da sommare al valore A_d(dB) fornito dalla (16.115↑) per ricavare la potenza realmente ricevuta.

Come ricavabile anche dall’espressione dell’area efficace (16.112↑), all’aumentare della frequenza si possono ottenere antenne di dimensioni ridotte e contemporaneamente di elevato guadagno. Allo stesso tempo, per evitare l’assorbimento terrestre, occorre posizionare l’antenna in alto (in cima ad una torre), e trasmettere per onda diretta↓, condizione nota anche come los↓ o line of sight.

Nel calcolare l’altezza delle torri (ed il puntamento delle antenne) si deve considerare anche il fenomeno legato al fatto che l’onda elettromagnetica, propagandosi, si piega verso gli strati dell’atmosfera con indici di rifrazione maggiori (ossia verso terra). Pertanto, i calcoli vengono effettuati supponendo che il raggio terrestre sia per 4 ⁄ 3 maggiore di quello reale. Inoltre, l’indice di rifrazione (che aumenta verso il basso) può variare con l’ora e con le condizioni climatiche: pertanto, anche in questo caso, le antenne con guadagni elevati (e molto direttive) possono andare fuori puntamento.

Anche se le antenne si trovano in condizioni di visibilità, occorre tenere conto dei fenomeni di diffrazione↓ [744]   [744] http://it.wikipedia.org/wiki/Diffrazione, che deviano nella zona in ombra le onde radio che transitano in prossimità di ostacoli [745]   [745] Lo stesso fenomeno di diffrazione è egualmente valido per l’energia luminosa, e può essere sperimentato illuminando una fessura, ed osservando le variazioni di luminosità dall’altro lato.. Pertanto, la determinazione dell’orizzonte radio deve prevedere un margine di distanza h tra la congiungente delle antenne ed il suolo, od un eventuale ostacolo.

Tra 0,1 e 10 GHz si può verificare il fenomeno della diffusione troposferica↓ [746]  [746] http://en.wikipedia.org/wiki/Tropospheric_scatter (lo strato dell’atmosfera fino a 20 Km di altezza), causata da turbolenze e particelle sospese, e che comportano un numero infinito di cammini multipli↓.

Per lunghezze d’onda di dimensione comparabile a quella delle molecole di ossigeno, si produce un fenomeno dissipativo di assorbimento; le frequenze interessate sono quelle superiori a 30 GHz, con un massimo di 20 dB/Km a 60 GHz( [749]   [749] L’elevata attenuazione chilometrica presente a 60 GHz può essere sfruttata nei sistemi di comunicazione cellulare, allo scopo di riusare una stessa banda di frequenze anche a breve distanza.). Inoltre, il vapor d’acqua (con molecole di dimensioni maggiori) produce una attenuazione supplementare di 1-2 dB/Km (al massimo) a 22 GHz [750]   [750] L’assorbimento di potenza da parte delle molecole d’acqua per onde elettromagnetiche a 22 GHz è il principio su cui si basa il forno a microonde.. Sotto i 10 GHz non si verifica assorbimento né da ossigeno, né da vapore.

In caso di pioggia, si manifesta una ulteriore causa di assorbimento atmosferico, detto appunto da pioggia, che costituisce la principale fonte di attenuazione supplementare per frequenze superiori a 10 GHz. L’attenuazione supplementare da pioggia aumenta con la frequenza portante, con l’intensità di precipitazione e con l’estensione della zona piovosa lungo il tragitto radio; questi ultimi due fattori sono evidentemente elementi aleatori, e per questo il dimensionamento mira a stabilire quale sia il margine necessario a garantire un grado di servizio prefissato. Il margine necessario, è pertanto pari al valore di attenuazione supplementare che viene superato con una probabilità minore o uguale al grado di servizio.

Svolgimento Dal primo grafico di fig. 16.16↑ si ricava un valore di A^10 − 4_s  ≥  50 dB per lo 0.01% del tempo; considerando invece un grado di servizio 10 volte peggiore, occorre considerare il fattore γ(10^− 3)≃ 0.45, e dunque A^10 − 3_s  ≥  50 ⋅ 0.45 = 22.5 dB.

Oltre i 30 MHz, nonostante la direttività delle antenne, alcuni raggi obliqui possono incontrare superfici riflettenti come laghi o masse d’acqua, essere riflessi dagli strati atmosferici, o percorrere notevoli distanze nei condotti atmosferici [751]   [751] Nel caso in cui una massa d’aria calda ne sovrasti una più fredda, si verifica una inversione dell’indice di rifrazione, e l’onda elettromagnetica di propaga come in una guida d’onda, vedi anche http://en.wikipedia.org/wiki/Tropospheric_propagation. per poi tornare al suolo, e causare la ricezione di una (o più) eco ripetuta dello stesso segnale. In questi casi il collegamento si dice affetto da multipath↓, e può essere caratterizzato mediante una risposta impulsiva del tipo in cui i valori τ_n sono i ritardi con cui si presentano le diverse eco, ognuna caratterizzata da una ampiezza a_n, in accordo allo schema di filtro trasversale presentato al § 6.7↑.

E’ il nome attribuito allo schema descritto dall’esempio precedente, esteso ad un caso generale in cui vengono prese in considerazione possibili altezze differenti per le antenne, il cui guadagno viene considerato variabile in funzione dell’angolo di emissione, e sono prese in considerazione le caratteristiche del coefficiente di riflessione al suolo. L’approfondita analisi [753]   [753] Vedi ad esempio https://en.wikipedia.org/wiki/Two-ray_ground-reflection_model, da cui è tratta l’immagine mostrata. Molto interessante, anche l’applet java disponibile presso http://www.cdt21.com/resources/siryo1_02.asp, che grafica l’andamento della attenuazione del modello, al variare di alcuni dei parametri prima illustrati. di tali particolarità porta al risultato che, per distanze brevi tra le antenne le onde diretta e riflessa si sommano costruttivamente, producendo ad un guadagno anziché ad una attenuazione; aumentando la distanza si assiste ad una attenuazione che cresce con d², come per il caso di spazio libero, ma con sovrapposta l’oscillazione su illustrata, e che dipende dalla geometria del problema. Oltre un distanza detta critica, e che corrisponde alla prima zona di Fresnel, l’attenuazione aumenta con d⁴.

Qualora la banda del segnale sia sufficientemente piccola rispetto a (1)/(T), e si possa considerare |H(f)|² costante in tale banda (pag. 1↑), l’attenuazione dovuta alla presenza di cammini multipli prende il nome di flat fading (vedi § 16.3.4.5↓). Il termine fading si traduce come affievolimento o evanescenza, ma è spesso usato in inglese, cosicché l’assenza di distorsione lineare per segnali a banda stretta è anche detta condizione di fading piatto, sottintendendo in frequenza. Nel seguito ci si continua a riferire alle attenuazioni supplementari con il termine più generale di fading.

Il fading prodotto da cammini multipli viene detto selettivo in frequenza quando |H(f)|² varia in modo rilevante, e ciò accade specialmente quando due repliche del segnale giungono al ricevitore con ampiezze molto simili. Il problema può essere affrontato prevedendo una ridondanza↓ degli apparati.

La stessa trasmissione è effettuata mediante due diverse portanti: nel caso in cui una delle due subisca attenuazione, la trasmissione che utilizza l’altra portante ne è probabilmente esente (o viceversa). Se il collegamento è condiviso tra diverse trasmissioni, una unica via di riserva può essere impiegata per fornire una ridondanza N:1. Ad esempio, in una trasmissione multiplata fdm (§ 9.1.1.2↑), la portante di riserva viene assegnata al canale del banco fdm che presenta la maggiore attenuazione.

Adottando due diverse antenne riceventi in posizioni differenti, la differenza di percorso T tra cammini multipli è differente per le due antenne, e dunque la risposta in frequenza |H(f)|² = 1 + a² + 2acos2πfT ha una diversa periodicità nei due casi. Pertanto, anche se un ricevitore subisce una attenuazione selettiva, l’altro ricevitore ne è esente.

Le condizioni di propagazione per comunicazioni radiomobili, come nel caso della telefonia cellulare, presentano diversi aspetti particolari che influenzano il fading.

Il bilancio di collegamento descritto dalla figura di pag. 1↑ può essere impostato come illustrato in fig. 16.22↓, considerando una componente di attenuazione nominale indicata come path loss (o attenuazione di percorso), e due componenti aleatorie di attenuazione supplementare legate a posizione e movimento, indicate rispettivamente come fading su larga scala o shadowing (ombreggiatura) e su piccola scala.

La dipendenza della attenuazione dal quadrato della distanza espressa dalla (16.113↑) si riferisce al caso ideale di spazio libero; misurazioni reali mostrano che invece l’esponente di d aumenta fino alla quarta potenza, a seconda del tipo di ambiente (urbano, rurale) e dell’altezza dell’antenna ricevente [758]   [758] Inoltre, la condizione di nlos introduce una attenuazione supplementare costante. Per una rassegna dei diversi modelli di propagazione, si veda ad es. http://www.slideshare.net/deepakecrbs/propagation-model.. Pertanto, il termine 20log₁₀d(Km) che compare in (16.115↑) viene sostituito con A_pl  = n⋅10log₁₀d(Km) + α, e quindi in questo caso anziché la (16.115↑), l’espressione da usare per l’attenuazione disponibile è in cui n ed α sono determinati in base a campagne di misura, e tengono conto delle condizioni operative. Il valore di n varia da 4 a 3 con d < 100 metri, all’aumentare dell’altezza dell’antenna fissa, mentre il termine α può variare da 7 a 15 dB con antenna fissa alta 30 e 10 metri rispettivamente, e subire un incremento di quasi 30 dB passando da un ambiente aperto ad un ambito urbano.

E’ sufficiente applicare la (16.117↑) utilizzando i valori forniti per i parametri:

La stima delle grandezze n ed α ora introdotte è svolta mediando i risultati di diverse misure condotte nel territorio che si intende caratterizzare, che in realtà variano con il movimento tra territori diversi, in cui si riscontrano valori di fading diversi, anche per uguali valori di d. Questo fenomeno è indicato come slow fading oltre che su larga scala, poiché non si presenta muovendosi di poco in una stessa zona, dipendendo dalla orografia del territorio e dalla natura degli oggetti limitrofi. Ma anche stando fermi, non conoscendo a priori in che zona ci si trovi, l’effetto del fading su larga scala (ls) si manifesta come una attenuazione supplementare a_s aleatoria, che risulta avere un andamento gaussiano in dB [759]   [759]  La d.d.p. gaussiana discende dall’ipotesi che uno dei cammini multipli pervenga al ricevitore con una potenza nettamente predominante rispetto agli altri. In questo caso l’inviluppo complesso x del segnale ricevuto è adeguatamente rappresentato da una v.a. di Rice (vedi pag. 1↑) x = a + r, in cui |r| ha d.d.p. di Rayleigh e rappresenta l’effetto di molte cause indipendenti, relative ai cammini multipli, ed a è l’ampiezza della eco di segnale ricevuta con la maggiore ampiezza. Se a≫|r| possiamo scrivere

     a_s(dB)  = 10log₁₀(1)/(|a  + r|²) =  − 10log₁₀((a  + r_c)²  + r²_s)  = 

                =   − 10log₁₀(a²)/(a²)(a²  + 2ar_c  + r²_c  + r²_s)  = 10⎛⎝log₁₀a²  + log₁₀⎛⎝1 + (2r_c)/(a) + (|r|²)/(a²)⎞⎠⎞⎠  = 

               ≃10⎛⎝log₁₀a²  + (2r_c)/(a)⎞⎠ =  10log₁₀a² + 20(r_c)/(a)

in quanto log(1  + α)≃α con α≪1, e quindi a_s(dB) ha media 10log₁₀a² (compresa nel path loss) ed esibisce una d.d.p. gaussiana, la stessa di r_c.

(per questo detto lognormale) ed a media nulla, cioè del tipo dove σ_ls varia tra 6 ed 8 dB per una altezza dell’antenna tra 5 e 15 metri [760]  [760] All’aumentare dell’altezza dell’antenna, si estende l’area di copertura della stessa, ma in ambito urbano questo corrisponde ad una maggiore variabilità delle effettive condizioni operative.. Per velocità del mobile non superiori ai 15 Km/h, si può assumere a_s costante in frequenza per qualche MHz, e nel tempo per poche centinaia di millisecondi.

Consiste nelle fluttuazioni di livello del segnale radio osservate durante il movimento, causate dalla variazione dei ritardi con cui i cammini multipli↓ giungono al ricevitore: spostandosi infatti di (λ)/(2) si può passare [761]   [761] A frequenza di 1 Ghz, si ha λ≃30 cm. Questo fenomeno può essere facilmente sperimentato quando, durante una sosta al semaforo, si perde la sintonia di una radio fm, riacquistandola per piccoli spostamenti dell’auto; un altro esempio può essere la ricerca del campo per poter telefonare. da una situazione di somma coerente ad una completa opposizione di fase. Analizziamo ora la situazione nel dettaglio, distinguendo tra diversi casi-tipo.

L’inviluppo complesso del segnale ricevuto y(t) in presenza di cammini multipli può essere espresso in funzione di quello trasmesso x(t) considerando che la (16.116↑) consente di scrivere il segnale ricevuto come y(t) = ∑^N_{n  = 1}a_nx(t  − τ_n) da cui si ottiene [762]  [762]  La (16.118↓) discende dal considerare un generico segnale modulato x(t) =  a(t)cos(2πf₀t  + φ(t)) ed il suo inviluppo complesso x(t) = a(t)e^jφ(t): per ogni sua replica ritardata x_n(t) = x(t  − τ_n) possiamo scrivere

x_n(t) = a(t  − τ_n)cos[2πf₀(t  − τ_n) + φ(t − τ_n)] = a(t − τ_n)cos(2πf₀t  − 2πf₀τ_n + φ(t − τ_n))

ed il suo inviluppo complesso rispetto ad f₀ può essere quindi scritto come

x_n(t) = a(t − τ_n)e^{jφ(t  − τ_n)}e^{− j2πf₀τ_n}  = x(t − τ_n)e^{− j2πf₀τ_n}

in cui τ_n è il ritardo dell’n-esimo cammino, ed a_n il rispettivo guadagno. Se durante il tempo che intercorre tra l’arrivo della prima replica (ritardata di τ_min) e l’arrivo dell’ultima (ritardata di τ_max) il segnale x(t) non varia di molto (e cioè x(t − τ_min)≃x(t  − τ_n)≃x(t − τ_max)) [763]  [763] Si consideri che il risultato dell’esempio di pag. 1↑ valuta i ritardi in gioco dell’ordine di grandezza delle decine di nanosecondi, mentre (ad esempio) ad un segnale x(t) limitato in banda a 10 KHz corrisponde un periodo di campionamento T_c  = 50 μsec., l’effetto complessivo equivale alla moltiplicazione di x(t) per un numero complesso, senza quindi produrre distorsione lineare (vedi pag. 1↑). Infatti, in tal caso la (16.118↑) può essere riscritta come in cui il valore complesso X + jY  = ρe^jφ = ∑^N_n = 1a_ncosφ_n  − j∑^N_{n  = 1}a_nsinφ_n riassume l’effetto delle diverse repliche, e rappresenta un v.a. gaussiana complessa, in quanto a partire da valori della portante f₀ dell’ordine dell’inverso di (1)/(τ_n), e tanto più per f₀ più elevate [764]  [764] Se ad esempio i ritardi τ_n sono dell’ordine di 10^− 8, l’ipotesi è valida per f₀  > 100 MHz, quasi ¹⁄₁₀ delle frequenze a cui operano i radiomobili., bastano piccole variazioni di ritardo τ_n per produrre una fase φ_n  = 2πf₀τ_n (nota 347↑) uniformemente distribuita tra 0 e 2π e del tutto indipendente per le diverse repliche. Pertanto, se anche i valori a_n sono realizzazioni di v.a. indipendenti ed equidistribuite, e se i cammini multipli sono in numero elevato, si applica il teorema centrale del limite (§ 5.2.4↑), e quindi i valori di X ed Y nella (16.119↑) possono considerarsi realizzazioni di v.a. indipendenti, gaussiane, a media nulla ed uguale varianza σ².

Per ciò che riguarda l’ampiezza del segnale ricevuto, risulta |y(t)| = ρ⋅|x(t)|, e nelle condizioni descritte ρ = √(X²  + Y²) è una v.a. di Rayleigh (pag. 1↑), la cui d.d.p. ha espressione con ρ ≥ 0; pertanto il valore della potenza istantanea ricevuta, legata [765]   [765] Per semplicità nel seguito consideriamo x(t) a potenza unitaria, in modo che ρ² sia proprio la potenza istantanea

ricevuta. a |y(t)|² = ρ²|x(t)|², risulta variato di una quantità pari a ρ², che è una v.a. esponenziale negativa [766]  [766] 

Impostando il cambiamento di variabile s  = ρ², si possono applicare le regole viste al § 5.4↑, individuando la funzione inversa come ρ  = √(s), la cui (d)/(ds)ρ(s) fornisce (1)/(2√(s)). Pertanto, la d.d.p. della nuova v.a. s vale:

p_S(s) = p_P(√(s))⋅(d)/(ds)ρ(s)  = (√(s))/(σ²) e^{− ((√(s))2)/(2σ2)}⋅(1)/(2√(s)) = (1)/(2σ²) e^{− (s)/(2σ2)}

Nella figura a lato si mostra il processo di costruzione grafica che produce una d.d.p. esponenziale negativa a partire dal quadrato di una d.d.p. di Rayleigh.

, descritta dalla d.d.p. (vedi § 17.2.1↓) in cui si è posto in evidenza il valor medio m_ρ²  = E{ρ²}  = ¹⁄_λ  = 2σ². In base alla (16.121↑) è possibile determinare [767]  [767]  A tal fine osserviamo che il collegamento va fuori servizio quando la potenza ricevuta è inferiore alla sensibilità del ricevitore W_Rmin, e la probabilità di questo evento si esprime come p  = Pr(ρ² <  W_Rmin)  = 1 −  e^{− (W_Rmin)/(m_ρ2)}, essendo appunto ρ² una v.a. a d.d.p. esponenziale con media m_ρ²  = 2σ², e tenendo conto dell’eq. (19.3↓) a pag. 1↓. Al tempo stesso, m_ρ²  = E{ρ²} rappresenta la potenza media ricevuta, ovvero lo zero dB di fig. 16.27↓: esprimendo dunque il margine M (non in dB) come il rapporto tra la potenza media ricevuta e la sensibilità del ricevitore M  = (m_ρ²)/(W_Rmin), si ottiene p  = 1 −  e^{− (1)/(M)}, e quindi  − (1)/(M)  = ln(1 − p) e, passando ai decibel,  − 10log₁₀M  = 10log₁₀( − ln(1  − p)), da cui la (16.122↓). il margine M^ps_dB necessario a contrastare un fading di Rayleigh, qualora si desideri una probabilità di fuori servizio pari a p:↓ il cui andamento è mostrato sopra.

Se è presente movimento a velocità costante, la fig.16.27↑ rappresenta l’andamento di ^ρ2⁄_mρ² (dB) in funzione del tempo. In tal caso, è interessante valutare per quanto tempo la potenza istantanea ρ² del segnale ricevuto scende sotto la soglia W_Rmin, e dunque valutare quanti bit, ricadendo in tale intervallo temporale, saranno soggetti ad una P_e peggiore di quella desiderata. Come osservato alla nota 348↑, la probabilità che ρ² sia minore di W_Rmin vale e la durata media τ_a di questo evento si ottiene dividendo p per il numero medio N_a di affievolimenti per secondo [768]  [768] Infatti in tal modo la percentuale di tempo p viene spalmata su di un secondo, e suddivisa per il numero (medio) di volte (in un secondo) per cui avviene che ρ²  < W_Rmin.

Esempio Se p = 0.1, ed N_a = 5 fading/sec, allora τ_a  = ^0.1⁄₅ = 0.02 ossia 20 msec, ripartendo i 100 msec (10% di 1 secondo) sui 5 affievolimenti medi.

, ovvero τ_a  = (p)/(N_a). D’altra parte, si può mostrare che risulta in cui si è posto α² = (W_Rmin)/(m_ρ²) = (1)/(M^ps), mentre f_D è la massima deviazione doppler (pag. 1↓) che come vedremo è direttamente legata alla velocità di movimento: infatti, per velocità maggiori aumenta la frequenza dei fenomeni di fading. Combinando le (16.123↑) e (16.124↑) si ottiene pertanto il cui andamento normalizzato è rappresentato nella figura 16.29↓ assieme a quello di N_a, al variare di α ovvero di M^ps_dB  = 10log₁₀(1)/(α²)  =  − 20log₁₀α.

Svolgimento Ad un M^ps_dB  = 20 dB corrisponde α =  0.1, ed in base alla (16.125↑) si ottiene τ_a  = 2 msec, minore di T_b  = ¹⁄₅₀  = 20 msec, e quindi l’intervallo temporale per cui il fading è maggiore del margine, interessa un solo bit. Mediante la (16.124↑) (con α = 0.1 e f_D  = 20 Hz) si ottiene che N_a  = 4.96 fading/sec, e dunque in un secondo risultano errati quasi 5 bit su 50, ovvero P^bit_e  = ⁵⁄₅₀  = 0.1.

Si verifica nel caso in cui le ampiezze a_n dei diversi percorsi che compaiono nella (16.118↑) non sono identicamente distribuite, ma ne esiste una (a₀ in figura) che prevale su tutte le altre, come quando l’antenna trasmittente si trova in visibilità (anche parziale) del ricevitore.

Rimuoviamo ora l’ipotesi fatta a pag. 1↑ e assumiamo dunque che nell’intervallo temporale Δτ  = τ_max  − τ_min tra l’arrivo della prima e dell’ultima replica, detto anche dispersione temporale↓, il segnale possa modificare il suo valore. Per analizzare cosa succede, partiamo dalla (16.118↑) per scrivere l’espressione dell’inviluppo complesso della risposta impulsiva del canale come [769]   [769] Il cambiamento negli indici della sommatoria è legato a considerare l’origine dei tempi in corrispondenza al primo arrivato dei cammini multipli. in cui si è posto Z_n = a_ne^{− j2πf₀τ_n}. Facciamo quindi l’ipotesi semplificatrice che i ritardi τ_n siano multipli di un comune intervallo T, cioè τ_n = nT, considerando eventualmente nullo qualche valore a_n: in tal modo la (16.126↑) può essere assimilata all’espressione di un segnale campionato (§ 4.1↑) h^•(t) = ∑^N − 1_{n =  0}Z_nδ(t  − nT), interpretando dunque i coefficienti complessi Z_n come campioni di un processo Z(t) [770]  [770] Si sottintende che T sia minore dell’inverso del doppio della banda di Z(t), ovvero T < ¹⁄_2W., ovvero Z_n = Z(nT) = a_ne^{− j2πf₀nT}. Ciò consente di esprimere la risposta in frequenza equivalente di b.f. del canale come la dtft (vedi § 4.3↑) della sequenza Z_n, ovvero Notiamo ora che i valori di H(f) in funzione di f sono variabili aleatorie, in quanto dipendono dalle caratteristiche statistiche dei termini Z_n, che per i motivi illustrati a pag. 1↑ sono v.a. complesse, indipendenti ed a valor medio nullo, e quindi (vedi § 6.6.1↑) in cui la sequenza di valori σ²_an  = E{a²_n} è indicata nel seguito come...

↓E’ costituita dalla sequenza P_n  = E{a²_n} e rappresenta la distribuzione temporale (media) della potenza (o energia) delle repliche del segnale. Infatti, trasmettendo un impulso di energia unitaria δ(t) si ricevono N impulsi di energia ℰ_n = a²_n, ovvero viene ricevuto l’inviluppo complesso h(t) espresso dalla (16.126↑), la cui energia vale ℰ_h  = ∫^∞_− ∞h^*(t)h(t)dt = ∑a²_n  = ∑ℰ_n, ed il cui valore atteso rispetto all’aleatorietà degli a_n risulta E{ℰ_h} = ∑E{a²_n}  = ∑ℰ_n.

Può essere attuata con tre diverse tecniche, di cui ci si limita ad accennare i principi operativi.

Proseguiamo l’analisi con lo scopo di capire per quale intervallo Δf si ottengano coppie di valori della risposta in frequenza (H(f), H(f  + Δf)) che iniziano a divenire incorrelati, dato che in tal caso un segnale che occupa una banda comparabile a Δf è affetto da distorsione lineare. A tal fine, partendo dalla (16.127↑) interpretiamo H(f) come un processo ad aleatorierà parametrica (§ 5.3.7↑) in frequenza, e dunque ne calcoliamo la funzione di autocorrelazione (appunto, in frequenza): in cui all’ultimo passaggio si è applicata la (16.128↑) considerando m  = n: ℛ_H(Δf) è dunque pari alla trasformata di Fourier di sequenze (§ 4.3↑) della dispersione potenza-ritardo P_n  = σ²_an  = E{a²_n}.

Svolgimento Dato che [773]  [773] 

ℱ{P(τ)}  =  ^∞⌠⌡_− ∞P(τ)e^{− j2πfτ}dτ  = (1)/(σ_τ)^∞⌠⌡₀e^{− (τ)/(σ_τ)}e^{− j2πfτ}dτ  = (1)/(σ_τ)^∞⌠⌡₀e^{− ⎛⎝(1)/(σ_τ) + j2πf⎞⎠τ}dτ  =         =  (1)/(σ_τ)(  − 1)/((1)/(σ_τ) + j2πf)e^{− ⎛⎝(1)/(σ_τ) + j2πf⎞⎠τ}|^∞₀  = (1)/(σ_τ)(1)/((1)/(σ_τ) + j2πf) = (1)/(1  + j2πσ_τf)

ℛ_H(Δf)  = ℱ{P(τ)} = (1)/(1 + j2πσ_τΔf), osserviamo che questa ha il massimo nell’origine (vedi fig. 4.20↑ a pag. 1↑), ed il suo modulo si dimezza [774]  [774] |ℛ_H(Δf)| = (1)/(2) se √(1 + (2πσ_τΔf)²)  = 2, e dunque 2πσ_τΔf  = √(3) ovvero Δf = (1.73)/(6.28σ_τ) = (1)/(3.63σ_τ) per Δf  = (1)/(3.63σ_τ): pertanto la scelta B_c = ¹⁄_5στ  = 40 KHz corrisponde ad una correlazione in frequenza maggiore di 0.5. Lo stesso calcolo mostra che scegliere invece la stima più restrittiva B_c  = ¹⁄_50στ  = 4 KHz corrisponde ad una correlazione |ℛ_H(Δf)| >  0.9 (per l’esattezza, si ottiene |ℛ_H(Δf  = ¹⁄_50στ)| = 0.94).

Ricapitolando, se la banda W del segnale modulato non eccede B_c ci si trova nelle condizioni di fading piatto, mentre se W > B_c le componenti spettrali di x(t) subiscono alterazioni statisticamente indipendenti, i cammini multipli↓ causano un effetto filtrante, si manifesta isi, ed il canale corrispondente viene detto selettivo in frequenza. Approssimando l’occupazione di banda di un segnale numerico modulato come il reciproco del periodo di simbolo W≃(1)/(T_s), osserviamo che la condizione di fading piatto W < B_c implica che T_s≃(1)/(W)  > (1)/(B_c) > σ_τ, ovvero la deviazione standard dei ritardi è inferiore al periodo di simbolo, limitando gli effetti dell’isi.

Finché il ricevitore e gli oggetti riflettenti sono fermi, la distribuzione dei ritardi τ_n non varia nel tempo, e la componente di attenuazione supplementare su piccola scala mantiene uno stesso (casuale) valore, sia esso di Rayleigh o di Rice; in tal caso il fading non è né lento né veloce, ma costante. Viceversa, nel caso in cui ci sia movimento [775]   [775] Del ricevitore, del trasmettitore, o degli oggetti riflettenti. l’inviluppo complesso ricevuto (16.118↑) si riscrive come evidenziando come ora sia le ampiezze a_n che i ritardi τ_n dipendono dal tempo.

Riprendiamo i dati ed il modello usati a pag. 1↑ per ottenere il risultato in figura,

relativo ad un mobile che viaggia a 50 Km/h, e che in 100 sec percorre 1.4 Km a partire da una distanza di 1 Km dal trasmettitore, in presenza di una superficie riflettente posta a 100 metri da metà percorso. Il ritardo del cammino riflesso varia da 66 a 27 nsec, con la legge mostrata in figura, dovuta al variare nel tempo dell’angolo di riflessione.

La figura a lato rappresenta un mobile che viaggia a velocità costante v, ed impiega Δt  = ^d⁄_v secondi per spostarsi tra i punti X ed Y distanti d, mentre riceve una portante a frequenza f₀  = ^c⁄_λ dalla sorgente S. La differenza di distanza Δl dalla sorgente nei due punti risulta [777]  [777] Approssimiamo θ come uguale in X e Y, nell’ipotesi che S sia molto lontana rispetto a d.

Dato che ogni diverso percorso è caratterizzato da una fⁿ_d compresa tra zero e f_D, il segnale ricevuto contiene frequenze che si discostano da f₀ in più o in meno, entro una deviazione massima pari ad f_D, per questo indicata come dispersione (o spread) Doppler, ed il canale è detto dispersivo in frequenza.

L’antitrasformata di P_y(f) è per definizione l’autocorrelazione di y(t), e per la (16.134↑) si ottiene ℛ_yy(τ) = J_o(2πf_Dτ) in cui J₀ è la funzione di Bessel del primo tipo di ordine zero graficata a pag. 1↑, ed il cui primo passaggio per zero avviene con τ≃(0.4)/(f_D), che corrisponde al minimo intervallo di tempo necessario ad osservare valori di y(t) incorrelati; viceversa, un intervallo sufficientemente più piccolo trova il canale in condizioni pressoché immutate. Definendo allora come tempo di coerenza, osserviamo che una trasmissione con periodo di simbolo T_s ≥  T_c subisce condizioni del canale differenti nell’arco di tempo di un simbolo, ostacolandone la sincronizzazione [786]  [786] Ciò avviene perché in pratica è come se due simboli consecutivi pervenissero attraverso due differenti canali, e dunque non è possibile eseguire operazioni di media., ed in tal caso il fading viene detto veloce. Se invece T_s≪T_c il canale si mantiene in condizioni pressoché stazionarie per tutto il periodo di simbolo, il fading è lento, ed il movimento non produce conseguenze sensibili. Utilizzando di nuovo i dati dell’ultimo esempio, ad un doppler spread f_D  = 46.3 Hz corrisponde un tempo di coerenza T_c  = 21.6 msec.

Notiamo che il verificarsi contemporaneo della assenza di distorsione lineare in quanto W  < B_c, e della stazionarietà del canale in quanto T_s  < T_c, ovvero di fading lento e piatto, equivale in pratica al verificarsi delle condizioni di canale perfetto (pag. 1↑). Perché ciò possa accadere è necessario che si verifichi [787]  [787] Infatti le due condizioni W < B_c e T_s < T_c possono essere riscritte come Wσ_τ≪1 e f_DT_s≪1; moltiplicandole tra loro si ottiene Wσ_τf_DT_s≪1. Ponendo quindi W≃(1)/(T_s) si ottiene la condizione indicata. detta condizione di sottodispersione (underspread). Nella pratica, i valori di f_D e σ_τ per i canali in uso nelle telecomunicazioni soddisfano tale condizione. La figura 16.37↓-a) suddivide [788]  [788] Il ramo di iperbole che individua il luogo dei punti W⋅T_s  = cost è tracciato in base all’osservazione della nota precedente, ossia W≃(1)/(T_s), da cui W⋅T_s≃1. il piano T_s,W nelle regioni per le quali si verificano i diversi tipi di fading, in funzione dai valori B_c e T_c, mentre la figura 16.37↓-b) rappresenta in forma gerarchica i fenomeni di attenuazione supplementare fin qui discussi.

Come discusso, il fading su piccola scala, pur se lento, può determinare una attenuazione selettiva in frequenza, vincolando il segnale trasmesso ad occupare una banda minore della banda di coerenza, oppure ad adottare tecniche di equalizzazione (§ 15.4.1↑) da parte del ricevitore. D’altra parte, anche in presenza di fading piatto, con il movimento l’ampiezza del segnale ricevuto subisce fluttuazioni alla Rayleigh (fig. 16.27↑), penalizzando le prestazioni ottenibili, ed imponendo l’adozione di un margine M^ps (eq. (16.122↑)) che aumenta di molto la potenza che occorre trasmettere. Sviluppiamo di seguito una discussione su come modificare le formule di calcolo della probabilità di errore in modo da valutare l’aumento della potenza necessaria senza dover determinare M^ps, mentre ai § 16.3.4.9↓ e 16.3.4.10↓ illustriamo come trasformare il fenomeno dei cammini multipli in una opportunità per ridurre la potenza necessaria.

La variabilità temporale della potenza istantanea ricevuta ρ² può essere tenuta direttamente in conto se l’espressione della P^bit_e(^E_b⁄_N0) ottenuta al § 14↑ per un canale gaussiano viene considerata come quella di una probabilità condizionata Pr⎛⎝err  ⁄ (E_b)/(N₀)⎞⎠ rispetto ad un determinato valore di ^E_b⁄_N0, di cui valutare il valore atteso rispetto alla variabilità statistica dei valori ricevuti di E’_b  = ρ²E_b, ovvero Prendendo come esemplare il caso della modulazione bpsk [789]  [789] A causa delle fluttuazioni di ampiezza legate al fading, non è possibile ricorrere a modulazioni di tipo qam, e nel seguito sono prese in considerazione unicamente modulazioni di fase e di frequenza., partendo dall’eq. (16.22↑) possiamo scrivere Pr⎛⎝err  ⁄ (ρ²E_b)/(N₀)⎞⎠ = P^bit_e⎛⎝(ρ²E_b)/(N₀)⎞⎠ = (1)/(2) erfc{ρ√(^E_b⁄_N0)}, mentre in presenza di fading di Rayleigh la v.a. ρ ha come noto d.d.p. p_P(ρ) = (ρ)/(σ²) e^{− (ρ2)/(2σ2)} con ρ  > 0; ricordando (§ 5.2.4↑) l’espressione di erfc{α} = (2)/(√(π))∫^∞_αe^− y2dy possiamo quindi scrivere ed invertendo l’ordine di integrazione otteniamo [790]   [790] Il dominio di integrazione è rappresentato in figura, e anziché muoversi prima lungo y dalla retta

y = ρ√(^E_b⁄_N0) ad infinito ottenendo una funzione di ρ, e quindi integrare con 0 < ρ < ∞, ci si muove in orizzontale tra ρ = 0 e ρ = y√(^N₀⁄_Eb) ottenendo una funzione di y, quindi integrata con 0 < y < ∞. Verifichiamo quindi che

∫^{y√(N₀⁄_Eb)}₀(ρ)/(σ²) e^{− (ρ2)/(2σ2)}dρ  =  − e^{− (ρ2)/(2σ2)}|^{y√(N₀⁄_Eb)}₀  =  −  e^{− (y2)/(2σ2)(N₀)/(E_b)} + 1.

Notando ora che E{ρ²E_b} = E_b’  = 2σ²E_b, indichiamo con Γ = (2σ²E_b)/(N₀) = (E_b’)/(N₀) l’SNR per bit medio che viene ricevuto, e dopo alcuni passaggi [791]   [791] Con l’ultima posizione la (16.136↑) si riscrive come P^bit_e  = (1)/(√(π))∫^∞₀ e^− y2dy  − (1)/(√(π))∫^∞₀ e^{− y2 − (y2)/(Γ)}dy. Tenendo conto che ∫^∞_− ∞e^− y2dy = √(π) (vedi https://it.wikipedia.org/wiki/Integrale_di_Gauss) il primo termine risulta pari ad (1)/(2), mentre dato che  − y² − (y²)/(Γ) =  − (Γ + 1)/(Γ)y² e che risulta anche ∫^∞_− ∞e^− αy2dy = √(^π⁄_α), il secondo termine si riscrive come (1)/(√(π))∫^∞₀ e^{− (Γ + 1)/(Γ)y2}dy  = (1)/(2)√((Γ)/(1 +  Γ)), da cui il risultato., si ottiene il risultato in forma chiusa che confrontato con l’espressione di P^BPSK_e(bit) per un canale agwn evidenzia come in presenza di fading di Rayleigh la P_e è sensibilmente peggiore, e diminuisce molto più lentamente all’aumentare di ^E_b⁄_N0, come può essere apprezzato dalla figura 16.39↓.

Svolgimento Dal grafico di fig. 16.39↑ osserviamo che nel caso awgn è necessario un ^E_b⁄_N0 circa pari a 8 dB, mentre in presenza di fading ne occorrono circa 34, dunque l’incremento di potenza assomma a 26 dB.

Continuando a trattare il caso di fading di Rayleigh piatto, una soluzione semplice e vantaggiosa è quella di dotare il ricevitore di più di una antenna, in modo da attuare una tecnica di diversità di spazio↓, introdotta al § 16.3.3.6↑. Se la separazione tra le antenne è sufficiente [792]   [792] Nel caso di un telefono cellulare sono presenti numerosi riflettori nelle vicinanze del ricevitore, producendo fading incorrelati per distanze di circa mezza lunghezza d’onda. Viceversa nel caso della base station fissa con cui il cellulare comunica, i cammini multipli hanno tutti origine nei pressi del mobile, riducendo la gamma di angoli di incidenza dei raggi ricevuti, che iniziano ad essere indipendenti per distanze di decine di lunghezze d’onda, e quindi in tal caso sono necessarie antenne molto più lontane tra loro., ad ognuna di esse corrisponde un canale radio statisticamente indipendente da quello dell’altra, e quindi se per uno di essi si riceve un segnale affetto da deep fade, l’altro probabilmente ne è esente.

Consideriamo un ricevitore per cui siano disponibili M canali indipendenti affetti da fading di Rayleigh, che indichiamo come rami di diversità. Su ognuno di essi viene ricevuto un segnale con inviluppo complesso (vedi eq. (16.119↑)) con i = 1, 2, ⋯M, in cui x(t) è l’inviluppo complesso del segnale modulato con potenza E_bf_b, ρ_i è una v.a. con d.d.p. p(ρ) = (ρ)/(σ²) e^{− (ρ2)/(2σ2)} uguale per tutti i rami e E{ρ_iρ_j} = 0 con i  ≠ j, e ν_i(t) è un processo gaussiano complesso con c.a. di b.f. indipendenti, a media nulla e spettro di densità di potenza N₀. A ciò corrisponde un ^E_b⁄_N0 medio che indichiamo come Γ = (E_b)/(N₀)E{ρ²} = (E_b)/(N₀)2σ² (vedi pag. 1↑), mentre indichiamo con γ_i l’^E_b⁄_N0 istantaneo del ramo i, a cui compete una d.d.p. esponenziale p(γ_i) = (1)/(Γ) e^{− γ_i⁄_Γ} con γ_i  ≥ 0 (vedi eq. (16.121↑)). Pertanto, la probabilità che un singolo ramo abbia un γ_i inferiore ad una soglia δ risulta (vedi eq. (19.3↓) pag. 1↓) mentre la probabilità che tutti gli M rami indipendenti presentino contemporaneamente ^E_b⁄_N0 < δ vale Pr{γ₁,  γ₂, ⋯, γ_M ≤ δ} = (1 −  e^{− δ⁄_Γ})^M che indichiamo come P_M(δ), e quindi la probabilità che almeno uno dei rami consegua ^E_b⁄_N0i  = γ_i ≥ δ risulta

Svolgimento Risulta che Pr{γ₁,  γ₂,  γ₃, γ₄  ≤ δ}  = P₄(δ)  = (1 −   e^− 0.1)⁴  = 8.2⋅10^− 5, mentre Pr{γ_i ≥ δ} = P₁(δ) = 1 −  e^− 0.1 = 9.5⋅10^− 2: pertanto l’uso di quattro rami di diversità corrisponde ad un miglioramento di più di mille volte!

L’approccio della selezione di diversità è facilmente realizzabile in quanto coinvolge solamente il ricevitore, dove viene comparata la potenza del segnale in arrivo sulle diverse antenne, e quindi il più forte è inviato al ricevitore. Dato che il livello di potenza si basa su stime che richiedono una media temporale, la decisione non avviene in modo prettamente istantaneo; d’altra parte, è sufficiente che avvenga con tempi inferiori dell’inverso della frequenza di fading.

Nell’ipotesi più generale che il segnale ricevuto (16.137↑) sui diversi rami sia soggetto a fading di diversa intensità, e dunque con ^E_b⁄_N0 medio in condizioni di slow fading il ricevitore può essere in grado di stimare sia le fasi θ_i con cui il segnale si presenta sui diversi rami, sia i valori R_i del corrispondente guadagno medio di ampiezza. Pertanto, il ricevitore può annullare i termini di fase mediante il prodotto di r_i(t) per e^− jθ_i, e procedere ad una operazione di somma (pesata) coerente, dando luogo ad una grandezza di decisione in corrispondenza degli istanti di simbolo pari a dove i coefficienti G_i rappresentano il diverso peso da attribuire ai rami, da scegliere in modo da massimizzare ^E_b⁄_N0. Alla componente di segnale corrisponde dunque una energia media E_b(∑^M_{i  = 1}G_iR_i)², mentre per quella di rumore si ottiene N₀∑^M_i = 1G²_i, dato che i campioni di rumore sono statisticamente indipendenti: pertanto l’^E_b⁄_N0 medio della somma (16.138↑) risulta pari a Indicando ora con G = (G₁,  ⋯G_M) il vettore dei coefficienti della combinazione e con R  = (R₁, ⋯, R_M) quello dei guadagni di ampiezza medi dei rami, osserviamo che scegliendo un vettore cG il risultato non cambia, e dunque limitiamoci a cercare vettori con modulo unitario ovvero |G|² = ∑^M_{i  = 1}G²_i = 1, in modo da esprimere la (16.139↑) come Γ = (E_b)/(N₀)| G⋅R|². Dato che il prodotto scalare è massimo quando i vettori sono paralleli, si ottiene che Γ è massimizzato scegliendo G  = G_MR = ^R⁄_|R| in modo che risulti a modulo unitario, e che il segnale dei diversi rami sia pesato proporzionalmente al corrispondente guadagno medio R_i. Tale strategia è indicata come maximum ratio combining, e corrisponde ad un ^E_b⁄_N0 medio della (16.138↑) pari a [793]  [793] Infatti |R|²  = ∑R²_i, e con G = G_MR la (16.139↑) diviene Γ = (E_b)/(N₀)⋅((∑R²_i)²)/(∑R²_i) = (E_b)/(N₀)∑R²_i ovvero pari alla somma degli ^E_b⁄_N0 medi dei singoli rami, che quindi può conseguire valori accettabili anche se nessuno dei rami lo ottiene individualmente.