Modulazione di ampiezza e distorsione lineare

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10.4 Appendici

Raggruppiamo qui alcuni collegamenti, approndimenti, e tecniche realizzative.

10.4.1 Effetto della distorsione lineare sui segnali modulati

Riprendiamo i risultati riassunti al § 128↑, applicandoli alle tecniche di modulazione affrontate in questo capitolo.

AM-BLD-PS In questo caso x_s(t) = 0, ed allora le (10.56↑) divengono ⎧⎨⎩ y_c(t) = (1)/(2)[x_c(t)*h_c(t)] y_s(t) = (1)/(2)[x_c(t)*h_s(t)] . Adottando, ad esempio, una demodulazione omodina, si ottiene un segnale demodulato pari a d(t) = x_c(t)*h_c(t), equivalente al caso di distorsione lineare di banda base.

AM-BLD-PI Il problema maggiore con la modulazione a portante intera può verificarsi se |H(f₀)| è molto ridotto (ad esempio a causa di una attenuazione selettiva, esemplificata all’esempio di pag. 1↑), perché in tal caso l’indice di modulazione I_a (eq. 11.24↑) supera il 100% ed il segnale risulta sovramodulato.

AM-BLU In questo caso il segnale modulato contiene ambedue le c.a. di b.f., e dunque il verificarsi delle condizioni (eq. 10.56↑) di intermodulazione tra componenti analogiche di bassa frequenza risulta particolarmente deleterio, in quanto in entrambe (y_c(t), y_s(t)), si trovano entrambe (x_c(t), x_s(t)), mescolate tra loro tramite (h_c(t), h_s(t)).

FM Se un segnale modulato angolarmente attraversa un canale affetto da distorsione lineare (di modulo, di fase, od entrambe), si verificano due fenomeni di conversione, indicati come conversione pm-am e pm-pm. La prima consiste in una modulazione di ampiezza sovrapposta, e la seconda in una alterazione della modulazione di fase, entrambe dipendenti dal messaggio modulante. Anche se la modulazione am “parassita” può essere rimossa da un limitatore in ricezione, ciò non è possibile per quella di fase; inoltre quest’ultima presenta anche termini non lineari, e dunque non eliminabili mediante equalizzazione.

10.4.2 Calcolo della potenza di un segnale AM BLU↓

Come anticipato in fondo al § 10.1.2↑, mostriamo che se

(11.32) x_BLU(t) = (k_a)/(√(2))(m(t)cosω₀t − ^m(t)sinω₀t)

allora P_x = (k²_a)/(2) P_m. Possiamo innanzitutto scrivere che

(11.33) P_x = P_x⁺ + P_x⁻ = 2 P_x⁺

in quanto le componenti a frequenza positiva e negativa di x(t) sono ortogonali [430] [430] Infatti risulta ∫^∞_− ∞X⁺(f)X⁻(f)df = 0. dato che i due termini non si sovrappongono in frequenza., e lo spettro di densità di potenza è una funzione pari della frequenza: P_x(f) = P_x( − f). Inoltre, invertendo la relazione P_x(f) = 4 P_x⁺(f − f₀) valida per la densità di potenza dell’inviluppo complesso, otteniamo P_x⁺(f) = (1)/(4) P_x(f + f₀), e quindi

P_x⁺ = (1)/(4)^∞⌠⌡_− ∞ P_x(f + f₀)df = (1)/(4) P_x

che, sostituita nella (11.33↑), fornisce P_x = 2 P_x⁺ = (1)/(2) P_x.

Come sappiamo, P_x = ℛ_x(0) in cui, nell’ipotesi di processo ergodico, ℛ_x(0) è l’autocorrelazione di un qualunque membro, ad es. proprio 11.32↑, e dunque essendo in tal caso x(t) = (k_a)/(√(2))[m(t) + j^m(t)], si ottiene

P_x = ℛ_x(0) = (1)/(2)⎛⎝(k_a)/(√(2))⎞⎠²[ℛ_MM(0) + ℛ_^M^M(0) + 2jℛ_M^M(0)]

Osserviamo ora che ℛ_M^M(0) = ∫^∞_− ∞m(t)^m(t)dt = 0 in quanto m(t) ed ^m(t) sono ortogonali; inoltre, ℛ_MM(0) = P_M = ℛ_^M^M(0) (non dimostrato). Pertanto si ottiene

P_x = (1)/(2)(k²_a)/(2)[ P_m + P_m] = (1)/(4)k²_a⋅2 P_m = (k²_a)/(2) P_m

10.4.2.1 Calcolo della potenza di segnali BLD-PI, PS, PPS

La tabella al § 10.1.4↑ è calcolata adottando lo stesso procedimento sopra esposto, in cui ora

P_x = P_{x_c
=}⎧⎨⎩ k²_aP_m (BLD-PS) a²_p + k²_aP_m (BLD-PI, PPS)

10.4.3 Il mixer↓

Il dispositivo moltiplicatore, presente negli schemi di mo-demodulazione, viene anche chiamato mixer, in quanto miscela tra loro due segnali.

Non è strettamente necessario disporre di un oscillatore sinusoidale per realizzare il prodotto di un segnale con una portante: ridotto ai minimi termini... è sufficiente un’onda quadra ed un filtro! Infatti, un qualunque segnale periodico

g_T(t) = g(t)*^∞⎲⎳_{n
= − ∞}δ(t − nT)

di periodo T = k ⁄ f₀ (con k intero) possiede una densità di potenza

P_{G_T}(f) = |G(f)|²⋅(1)/(T)^∞⎲⎳_{n
= − ∞}δ⎛⎝f − (n)/(k)f₀⎞⎠

Il prodotto di tale segnale per x(t) produce un x^•(t) con densità di potenza

P_x^•(f) = P_x(f)*P_{G_T}(f) = (|G(f)|²)/(T)^∞⎲⎳_{n
= − ∞}P_x⎛⎝f − (n)/(k)f₀⎞⎠

Pertanto, il desiderato spettro di potenza si ottiene inserendo dopo il moltiplicatore un filtro passa banda centrato su f₀, ossia sulla k − esima replica spettrale di P_x^•(f). Lo stesso dispositivo può essere usato anche per i moltiplicatori di ricezione: in tal caso, il filtro da usare sarà un passa basso.

Un secondo metodo di realizzare il mixer è con un sommatore, un oscillatore, un dispositivo non lineare,

e di nuovo un filtro passa-banda. Il dispositivo non lineare è del tipo

y = a₁x + a₂x² + a₃x³ + ⋯

e quando in ingresso viene applicata la somma di due segnali x(t) + cosω₀t, produce in uscita

y(t) = a₁(x(t) + cosω₀t) + a₂(x²(t) + cos²ω₀t + 2x(t)cosω₀t) + a₃(⋯) + …

in cui, osservando che i termini cosⁿω₀t sono relativi a termini a frequenza nf₀, è possibile ancora una volta estrarre il termine che ci interessa.

10.4.4 Modulazione FM a basso indice↓

Riprendiamo qui il caso in cui β≪1 ⇒ Δα≪1, e quindi l’espansione in serie di potenze di x(t) può arrestarsi al primo ordine; se il segnale modulante è cosinusoidale, il segnale FM risulta

x_FM(t) = acos(ω₀t + 2πk_f∫^t_− ∞cos(2πwτ)dτ) = acos(ω₀t + βsin(2πwτ))

Ricordando che cos(α + β) = cosαcosβ − sinαsinβ, x_FM(t) può essere riscritto come

x_FM(t) = acosω₀tcos(βsin2πwt) − asinω₀tsin(βsin2πwt)

che, se β≪1, diviene

x_FM(t) = acosω₀t − βasinω₀tsin2πwt

che confrontiamo con l’espressione

x_AM(t) = a_pcosω₀t + k_acosω₀tcos2πwt

che si otterrebbe per modulazione a portante intera, o ridotta, dello stesso m(t).

Il confronto rivela che mentre nell’am il segnale modulante opera in fase alla portante, nell’fm a basso indice opera in quadratura. Il risultato esposto costituisce ad ogni modo uno schema di modulazione per segnali fm a basso indice, realizzabile sommando alla portante, un segnale modulato am su di una portante in quadratura.

Resta il fatto che uno schema di modulazione del genere produce anche una modulazione am parassita: quest’ultima è eliminata in ricezione dall’azione congiunta di uno squadratore e di un filtro passa basso.

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