Prima di proseguire facciamo notare due aspetti, entrambi legati al fatto che x_q  ≠ x. Il primo, evidenziato fin dal § 1.2↑, rimarca che all’aumentare di M, aumenta la corrispondente velocità binaria f_b  = f_c⋅M bit/sec, mentre si riduce allo stesso tempo l’entità della distorsione prodotta dal quantizzatore: scrivendo infatti x_q  = x + ε_q viene reso evidente come ai campioni originari sia ora sovrapposto un segnale di errore. Il secondo è che tale errore può contenere componenti frequenziali assenti dal segnale di origine, a causa della natura non lineare (§ 7.3↓) del processo di quantizzazione.

Per ogni coppia di livelli è quindi individuata una soglia di decisione posta ad un valore intermedio tra quello dei livelli contigui, in modo da associare a tutti i valori di ingresso x compresi tra due soglie (ovvero che ricadono nel k  − esimo intervallo I_k), il valore x^k_q = Q(x) corrispondente al valore del livello che si trova nel mezzo delle soglie, realizzando così una corrispondenza tra valori di ingresso x e di uscita x_q = Q(x) a scaletta [89]  [89] In fig. 4.14↑ sono presenti un numero L di livelli dispari, a cui corrisponde ad una regola di quantizzazione basata sull’arrotondamento di x,   in modo che l’errore sia compreso tra ±(Δ_q)/(2), e la legge Q(x) viene detta mid-tread. Se al contrario L è pari, in prossimità dell’origine la legge Q(x) (detta ora mid-rise) si muove in verticale anziché in orizzontale, non esite un livello zero per l’uscita, e Q(x) si basa su di un troncamento; vedi ad es. http://www.tlc.polito.it/~perotti/it/ce/4-Campionamento.pdf, come mostrato a lato, dove è anche rappresentato il risultato della quantizzazione di una variabile aleatoria [90]   [90] Nel prosieguo di questa sezione sono usati i concetti definiti al capitolo 5↓, a cui si rimanda per le definizioni mancanti. continua con densità di probabilità uniforme, che si trasforma in una v.a. discreta.

Per proseguire con l’analisi della distorsione, poniamoci nella situazione fino ad ora descritta, ovvero di adottare un numero di livelli [91]  [91] Con M bit si possono descrivere al più L =  2^M diverse configurazioni binarie, e dunque per individuare uno tra L possibili oggetti occorrono M = ⌈log₂L⌉ bit, in cui la notazione ⌈a⌉ indica il primo intero di valore  ≥ a. Scegliendo L come una potenza di due, si ottiene il risultato esatto: ad esempio, scegliendo L = 64, si ottiene M  = 6. L  = 2^M pari ed equispaziati, a cui aggiungiamo l’ipotesi di stare quantizzando un processo stazionario ergodico con d.d.p. uniforme a media nulla, ovvero pari a p_X(x) = (1)/(Δ_x)rect_Δx(x).

La fig. 4.15↑, mostra un possibile andamento temporale per x(t), assieme alla sua versione quantizzata x^○_q(t), ed al corrispondente errore ε_q(t), per il quale si fa l’ulteriore ipotesi che anch’esso sia un processo ergodico a media nulla, descritto da una d.d.p. uniforme p(ε) = (1)/(Δ_q)rect_Δq(ε) in cui come anticipato Δ_q = (Δ_x)/(L − 1), e che sia anche statisticamente indipendente [92]  [92] Questa ipotesi, come anche quella delle v.a. uniformi, sono manifestamente non vere in generale, ma permettono di giungere ad un risultato abbastanza semplice, e che può essere molto utile nel dimensionamento dei progetti. da x(t). In queste ipotesi, la potenza P_x è pari alla varianza della v.a. x, e risulta (vedi § 5.2.3↓) [93]  [93] Assumendo che il processo sia ergodico, la potenza (media temporale) eguaglia la corrispondente media di insieme, ovvero il momento di secondo ordine m⁽²⁾_x, che a sua volta è pari alla varianza σ²_x , essendo m_x = 0. mentre per quanto riguarda la potenza del segnale di errore ε_q(t) il risultato è lo stesso, ma espresso nei termini di Δ_q, ovvero Siamo dunque in grado di valutare l’SNR di quantizzazione come in cui evidentemente l’ultima approssimazione ha validità nel caso in cui L≫1. Il risultato mostra che l’SNR_q cresce in modo quadratico con l’aumentare dei livelli, ovvero se L raddoppia, SNR_q quadruplica. Ricorrendo alla notazione in decibel [94]   [94] Una discussione relativa alla misura delle grandezze in decibel, è fornita al § 7.1↓. Qui ci limitiamo ad usare i dB come misura relativa di un rapporto, ossia

SNR_q(dB) = 10log₁₀(  P_x)/(P_ϵ) = 10log₁₀  P_x − 10log₁₀  P_ϵ = P_x[dBV²]  −  P_ϵ[dBV²]

in cui le grandezze espresse in dBV² rappresentano potenze di segnale di tensione, in unità logaritmiche. per l’SNR, otteniamo il risultato SNR_q(L)|_dB = 10log₁₀L²  = 20log₁₀L e, ricordando che L  = 2^M, si ottiene dato che log₁₀2≃0.3. Pertanto è possibile concludere che la qualità del quantizzatore uniforme, espressa da SNR_q[dB], aumenta linearmente con il numero M di bit/campione, con un incremento di 6 dB per ogni bit utilizzato in più.

Consideriamo ora cosa accade se il segnale in ingresso x ha una dinamica minore di quanto previsto: in tal caso σ²_x si riduce, mentre σ²_ϵ  = (1)/(12)⎛⎝(Δ_x)/(L − 1)⎞⎠² non cambia, e dunque SNR_q peggiora, come se avessimo ridotto i livelli. Ma la tecnica illustrata di seguito, è capace di mantenere un SNR_q elevato anche con bassi livelli di segnale.

in cui p_k  = ∫_Ikp_X(x)dx è la probabilità che x ∈ I_k. Il modo ottimo di disporre le soglie (θ_{k  − 1}, θ_k) che delimitano I_k in modo da rendere minima P_ϵ, è noto come algoritmo di Lloyd-Max↓ [96]  [96]  Il metodo è iterativo, ed inizia suddividendo l’intervallo Δ_x in modo uniforme. Per ogni iterazione:

• si determinano i valori quantizzati x_k (detti centroidi) come x_k  = E{x ∈ I_k} = ∫_Ikx⋅p_X(x ⁄ k)dx  = (∫_Ikxp_X(x)dx)/(p_k), in cui p_k  = ∫_Ikp_X(x)dx. In tal modo, i valori x_k si spostano (internamente a I_k) verso la regione in cui p_X(x) ha un valore più elevato, ovvero dove la v.a. si addensa;
• si ri-calcolano i confini di decisione θ_k come θ_k = (x_k  + x_k + 1)/(2), seguendo lo spostamento degli x_k.

Le iterazioni si arrestano quando non si riscontrano cambiamenti apprezzabili. .

Nella quantizzazione del segnale vocale, anche se è arbitrario identificare con esattezza una p_X(x), si verifica strumentalmente che quest’ultima è addensata nelle regioni con valori più piccoli. Per questo motivo, la legge di quantizzazione che si è adottata per ottenere gli 8 bit a campione utilizzati nel ↓pcm [97]  [97] La sigla pcm sta per Pulse Code Modulation, e trae origine dalla tecnica di quantizzazione di un segnale vocale di qualità telefonica (§ 9.1.2↓), anche se è stato poi adottato per indicare l’intera gerarchia di multiplazione plesiocrona (§ 19.3.1↓). Etimologicamente il termine deriva dall’onda pam (§ 6.9.3↓) in cui degli imPulsi sono Modulati in Ampiezza, mentre in questo caso le ampiezze degli impulsi sono Codificate. segue un andamento logaritmico [98]  [98] L’andamento esatto della curva segue uno di due standard, denominati legge μ (per USA e Giappone) e legge A (per gli altri), lievemente diverse nella definizione, ma sostanzialmente equivalenti., e dimezza progressivamente la pendenza della caratteristica di ingresso-uscita del quantizzatore all’aumentare dei valori in ingresso.

La fig. 4.16↑ mostra un esempio di tale realizzazione (per i soli valori positivi), evidenziando come il risultato possa essere approssimato individuando (a partire dall’origine) regioni di valori di ingresso con una ampiezza che di volta in volta raddoppia, e suddividendo ogni regione in un uguale numero di intervalli equispaziati. La caratteristica non lineare è realizzabile per via completamente numerica: per prima cosa si realizza un campionamento uniforme con M = 12 bit a campione, a cui corrispondono L = 2¹²  = 4096 livelli. Per ogni campione, il numero di bit pari a zero nella parte più significativa degli M individua la regione dei valori di ingresso, mentre i bit rimanenti sono shiftati a destra, per mantenere costante il numero di intervalli per regione, ottenendo in definitiva una rappresentazione in virgola mobile del valore del campione.

Nella figura a fianco viene mostrato l’andamento di SNR_q al variare della potenza di segnale rispetto al massimo possibile, nei due casi del quantizzatore uniforme, oppure con compressione logaritmica. Come si può notare, l’effetto della quantizzazione logaritmica penalizza l’SNR per i segnali a piena dinamica, ma peggiora molto più lentamente al diminuire della stessa. Al cap. 12↓ l’argomento della codifica di sorgente audio viene ripreso, e debitamente approfondito.

Le prossime sezioni non tengono più conto delle questioni relative alla quantizzazione dei campioni, anche se nella realizzazione di dispositivi reali può rivestire interesse di progetto.